Mecânica e Ondas, 20 Semestre 2006-2007, LEIC
Série II
Energia
1. Uma partı́cula de massa m é largada sem velocidade ini-
P
cial de um ponto P situado a uma altura h = 4 R e desliza
sem atrito ao longo de uma pista contida no plano vertical
constituı́da pela curva P A, o loop ABCA de raio R e a recta
horizontal AD como se pode ver na figura. Determine:
C
4R
B
R
D
Α
a) A velocidade nos pontos A, B e C;
b) A reacção normal nos mesmos pontos;
c) A altura mı́nima de que a partı́cula deve ser largada para que o loop seja realizado com
sucesso.
2. Sabendo que a lei da atracção universal entre duas massas pontuais, M e m, distanciadas
de r é dada por:
F~ = −G Mr2m ~er
a) Mostre que para pequenos deslocamentos junto da superfı́cie da Terra se tem para o
potencial gravı́tico:
V = mgh
em que h é a distância de um ponto à superfı́cie da Terra e g = GMT /RT2 é a aceleração da
gravidade também à superfı́cie da Terra;
b) Calcule a diferença entre o potencial gravı́tico aproximado e o “exacto” a 6.0 × 104 m de
altitude.
3. Considere um planeta de raio R, que supomos sem rotação em torno do seu eixo e sem
atmosfera.
a) Determine a velocidade de mı́nima para que um corpo à sua superfı́cie se possa libertar
da sua atracção (velocidade de escape). Calcule o seu valor para o caso da Terra;
b) Suponha que um satélite descreve uma órbita de raio R. Qual o acréscimo de velocidade
que se deve comunicar ao satélite para que este se liberte da atracção do planeta?
4. Um satélite descreve uma órbita circular junto da superfı́cie da Terra. Mostre que a sua
√
velocidade é dada por v = RT g em que RT é o raio da Terra e g = G M/RT2 .
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5. Pretende-se colocar um satélite em órbita circular geo-estacionária em torno da Terra
a) Qual ou quais os planos possı́veis para o realizar?
b) Determine o raio dessa órbita;
c) Determine a velocidade do satélite nessa órbita.
6. Um projéctil é lançado da superfı́cie da Terra para a Lua. A distância da Terra e da Lua
é dada por dT L = 3.84 × 108 m.
a) Determine a velocidade de escape do projéctil à superfı́cie da Terra e no ponto mais
próximo da Lua. Verifique que é superior à situação em que não é considerado o potencial
da Lua;
b) Não considerendo o movimento orbital da Lua, qual é a velocidade mı́nima de impacto
do projéctil na superfı́cie da Lua?
7. A órbita (de grande excentricidade) de um asteroide extende-se desde a órbita da Terra
até à de Júpiter, tocando apenas em ambas. Considerando as órbitas dos dois planetas como
circunferências de raios 1 UA = 149.6 × 109 km e 5.2 UA, respectivamente, e sabendo que a
massa do sol é MS = 1.99 × 1030 kg,
a) Determine o perı́odo da órbita do asteroide;
b) Calcule as velocidades máxima e mı́nima do asteroide no seu movimento de translacção.
8. Sabendo que aceleração da gravidade à superfı́cie da Terra igual a 9.9 m/s2 , a distância
da Terra à Lua é d = 3.844 × 105 km, o raio da Terra é de RT = 6.37 × 103 km e que periodo
de revolução da Lua em volta da Terra é de TLua = 27.32 dias, mostre que a intensidade do
campo gravı́tico é inversamente proporcional ao quadrado da distância.
9. Para cada uma das energias potenciais que se seguem, encontre a expressão da força
associada:
a) V (x, y) = x sin xy + y cos xy ,
b) V (x, y, z) =
1
2
k (x2 + y 2 + z 2 ).
10. Verifique quais das forças que se seguem são conservativas e encontre as energias potenciais correspondentes (a e b são constantes):
~ = −a (x − b) ~ex ;
a) F
b) F~ = ~a × ~r;
c) F~ = (a x + b y 2 ) ~ex + (a z + 2 b x y) ~ey + (a y + b z 2 ) ~ez .
2
11. Uma partı́cula de massa m percorre o troço AB de uma calha
A
circular de raio R disposta verticalmente, conforme mostra a figura.
a) Calcule, a partir da definição, o trabalho realizado pelo peso da
partı́cula durante o trajecto AB e verifique que iguala a variação
B
de energia potencial gravı́tica.
b) Calcule o trabalho de uma força constante de módulo Fb e sempre tangente à calha no
mesmo trajecto AB.
12. Numa partı́cula de massa m = 1 kg actua uma força dada por
F~ = −(4 x3 + 2 x y 2 ) ~ex − 2 x2 y ~ey .
a) Mostre que a força é conservativa;
b) Determine a energia potencial V (x, y) associada a esta força, escolhendo para referência
o potencial na origem, isto é, V (0, 0) = 0;
c) Verifique explicitamente que a energia potencial derivada na alı́nea anterior corresponde
à força, F~ ;
d) Determine o módulo da velocidade da partı́cula na origem, sabendo que ela é largada,
sem velocidade inicial, no ponto (1, 0).
13. Um campo de forças é dado por:
F~ = k y z sin (kxy) ~ex + k x z sin(kxy) ~ey − cos(kxy) ~ez
a) Calcule o rotacional da força para verificar se ela é conservativa;
b) Se a energia potencial de referência em (0,0,0) for zero, calcule a energia potencial no
ponto (1,1,1). Utilize um caminho conveniente qualquer.
14. Considere a seguinte força:
F~ = −k (x − z)2 (~ex − ~ez )
a) Mostre que a força é conservativa;
b) Determine a energia potencial, V (r);
c) Calcule o gradiente da energia potencial e relacione-o com a força.
15. Um campo de forças é dado por:
F~ = (x − a y) ~ex + (3 y − 2 x) ~ey
a) Calcule o rotacional da força e verifique para que valores da constante a a força é conservativa; b) Determine para esses valores o função potencial;
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