Resumo do Curso:
Ondas / Duas primeiras partes
Notas: Rodrigo Ramos∗
1o . sem. 2015 – Versão 1.0
Observação: Segue o resumo das duas primeiras partes do curso – Oscilações e Osciladores.
Para o curso de Engenharia elétrica foram tratados, ainda, o circuito LC (osciladores ideais) e
RLC (osciladores forçados e amortecidos); Para o curso de Engenharia ambiental a discussão de
exponenciais foi realizado em maior detalhamento tendo em vista sua importância para modelos
populacionais.
1
Oscilações
Perı́odo – T : tempo de uma oscilação completa. [T ] = s, no geral: [T ] = tempo - tempo: ano, min,
semana...
frequência – f : número de oscilações em um interfavalo de tempo. [f ] = s−1 = Hz, no geral:
[f ] = tempo−1 – tempo: ano, min, semana...
f=
1
T
Descrição matemática: funções oscilantes.
∗
Caso encontre erros ou coisas do tipo, por favor me avise. [email protected], ou pessoalmente.
y = A sin(ωt + φ)
A: amplitude.
2π
ou equivalentemente: ω = 2πf
T
φ: fase, ângulo (em rad) em que se inicia a oscilação (adotamos a forma do seno). Utilize o diagrama.
ω: frequência angular, [ω] = rad/s. ω =
2
Osciladores
1) Osciladores ideais
Força restauradora em cada caso:
Pêndulo simples: Peso =−mg sin(θ); Massa-mola: Força elástica = −kx.
Pêndulo simples
– Obedecem y = A sin(ωt + φ)
– Conservam energia mecânica.
Massa-mola
2) Osciladores amortecidos
Em ambos a força de arrasto: F = −bv é inserida no modelo. O movimento não é mais periódico,
mas tem uma parte periódica de perı́odo T .
Pêndulo simples
– Amplitude decresce exponencialmente.
Massa-mola



y


A(t) = Ae−bt/m
= A(t) sin(ωt + φ)
– Força de resistência: proporcional e oposta à velocidade. Modelo Força de arrasto: FR = −bv.
[b] = N s/m = kg/s.
– Se ω = 0, ou não existir: apenas amortece exponencialmente sem oscilação (casos crı́tico e
supercrı́tico). Não há oscilação, apenas A(t) descreve o movimento.
– Não conservam a energia mecânica (perdem energia mecânica exponencialmente, assim como a
amplitude)
3) Osciladores forçados e amortecidos
Exemplo de oscilador forçado–amortecido.
– Forças externas oscilantes (têm frequência).
– Forças externas repõem a energia perdida pelo amortecimento.
– Oscilação (final, ou estacionária) do sistema: Mesma frequência da força externa.
– Diferentes frequências da força externa levam à diferentes respostas (amplitudes) de oscilação.
– Exibem o fenômeno de Ressonância – máxima amplitude de oscilação para uma frequência
caracterı́stica do sistema (ou frequencia natural), a Frequência de Ressonância). Figura abaixo,
equação no quadro–resumo.
Fonte da figura: http://www.physics.louisville.edu/cldavis/phys298/notes/resonance.html
Amplitude do oscilador forçado amortecido como função da frequência da força externa. Três
curvas para diferentes valores de coeficiente de arrasto são exibidas.
Quadro – Resumo (Fórmulas)
Modelo
ω
s
Massa-mola
oscilação da posição
k
m
A
k
b2
−
m 4m2
Ae−bt/m
Ideal
s
Amortecido
Forçado
Amplitude
ω → Força
F0 /m
s
(ω 2 − ω02 )2 +
g
L
A
b2
g
−
L 4m2
Ae−bt/m
r
Pêndulo simples
Ideal
s
oscilação do arco Lθ
Amortecido
Forçado
ω → Força
F0 /m
s
(ω 2 − ω02 )2 +
*ω0 = ω da situação ideal.
b2 ω 2
m2
b2 ω 2
m2