Oscilações
Constantes
Constante de Gravitação Universal: G = 6.67 × 10−11 N m2 Kg−2
Massa da Terra: M = 6 × 1024 kg, Raio da Terra R = 6400 km
1. Uma massa m = 900 g ligada a uma mola é largada com velocidade inicial zero de um ponto
a 20 cm da posição de equilı́brio. A constante da mola é k = 81 N/m. Considere o movimento
no plano horizontal sem atrito.
(a) Escreva a equação de movimento da massa presa à mola
(b) Calcule o perı́do de oscilação, a amplitude e a fase inicial.
(c) Represente os gráficos da solução x(t), da velocidade ẋ e da aceleração.
(d) Calcule a velocidade e aceleração quando o deslocamento é 10 cm.
(e) Represente o gráfico da energia cinética, da enegia potencial e da energia mecânica da
massa.
2. Sabe-se que frequência angular de uma massa presa a um dinamómetro é de 3 rad/s. Num
dado instante a posição da massa relativamente à posição de equilı́brio é de 30 cm e a velocidade nesse instante é de 10 m/s.
(a) Qual a equação para o movimento da massa presa à mola.
(b) Qual a velocidade máxima atingida pela mola.
3. As lombas existentes numa estrada, e que antecedem uma passagem de peões, estão espaçadas
10 metros. Considere que os amortecedores de um carro têm o coeficiente de elasticidade
k = 105 N/m e a massa do mesmo é M =1000 kg. Menospreze os efeitos do atrito. Determine
a velocidade do carro para a qual os amortecedores entram em ressonância.
4. Imagine que se fez um túnel em profundidade, que tem inı́cio de Lisboa e atravessa a Terra
passando, pelo centro da Terra. Imagine agora que larga um corpo de massa m na extremidade
desse túnel em Lisboa. Qual a força que actua nesse corpo em função da distância r ao centro
da Terra? Considere a Terra uma esfera com densidade uniforme. Como vai oscilar a massa,
i.e determine o tempo que a massa demora a regressar a Lisboa
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5. Um motor vibra com uma frequência de ωext = 10 rad s−1 e está montado numa plataforma
com um amortecedor. O motor tem uma massa m =250kg e a mola do amortecedor tem uma
constante elástica k=104 Nm−1 . Despreze a massa da plataforma. A amplitude de oscilações
de uma massa a oscilar em regime forçado com atrito é dada por
A= q
Fo /m
2
ωo2 − ωext
2
(1)
2
+ 4λ2 ωext
onde m é a massa do motor, Fo /m é a amplitude da força exterior, ωo é a frequência própria
do sistema, ωext é a frequência da força exterior, λ é a constante de amortecimento das
oscilações.
(a) Qual a frequência própria de vibração da plataforma com o motor instalado (ωo )?
(b) Quando o motor pára de trabalhar a amplitude das oscilações da plataforma reduz-se
a metade ao fim de 20 segundos. Calcule a constante de amortecimento das oscilações
(λ).
(c) Escreva a equação de movimento do motor, quando o motor está ligado e explique a
origem de cada uma das forças que actuam no motor.
(d) Qual a solução geral para o movimento em função da amplitude da força exterior, em
regime permanente.
(e) Suponha que em regime permanente, com o motor ligado, a amplitude de vibração é 1
cm. Qual a amplitude da força exterior?
(f) Suponha que a frequência do motor pode variar. Determine a frequência do motor para
a qual o sistema entra em ressonância.
(g) Qual a amplitude do movimento da plataforma se a frequência do motor fôr a frequência
de ressonância e a amplitude da força exterior fôr a determinada anteriormente?
Bibliografia
1. J. Dias de Deus et al, Introdução à Fı́sica, McGrawHill, 1a edição.
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