Universidade de Lisboa
Faculdade de Ciências, Departamento de Fı́sica
Electromagnetismo e Óptica
Série-2: Campo Electrostático e Lei de Gauss
Outubro de 2009
1. Um fio com uma densidade de carga linear uniforme de carga total 2µC e de
20 cm de comprimento é colocado ao longo do eixo Oz e centrado na origem.
Determine o campo eléctrico nos pontos (8 cm, 0 cm, 0 cm) e (0 cm, 8 cm, 0 cm).
R : E1 = (1.76 × 106 N/C)ex ;
E2 = (1.76 × 106 N/C)ey .
2. Dois planos infinitos com uma densidade de carga uniforme de 8µC/m2 estão
colocados segundo o plano (y, z), passando um deles pelo ponto x = 3 cm
e o outro pelo ponto x = −3 cm. Determine o campo eléctrico nos pontos:
(x, y, z) = (0, 0, 0), (5 cm, 0, 0) e (5 cm, 2 cm, 3 cm).
E(0, 0, 0) = 0;
105 N/C)ex .
E(5, 0, 0) = σ/ε0 ex = (9.0 × 105 N/C)ex ;
E(5, 2, 3) = (9.0 ×
3. Um plano infinito tem uma densidade de carga uniforme σ = 3.56 × 10−6 C/m2 .
Uma bola de massa m = 0.732 g é colocada em repouso a 0.215 m do plano. A
bola transporta uma carga negativa de q = −1.14 × 10−6 C. Qual é a velocidade
da bola quando esta atinge o plano? Ignore todas as forças excepto a atracção
electrostática.
R : v = 11.6 m/s.
4. Um dipolo eléctrico é constituı́do por duas cargas opostas de grandeza 2µC
à distância de 10 cm. O dipolo é colocado num campo eléctrico uniforme de
10 N/C dirigido segundo o eixo Ox, fazendo p um ângulo de 45◦ com E no
plano x − y.
(a) Determine o binário que actua no dipolo e escreva-o em termos do momento
dipolar eléctrico.
(b) Descreva o movimento do dipolo.
(c) Qual é o trabalho realizado pelo campo eléctrico quando o dipolo se move
até se alinhar com o campo eléctrico externo?
R : a)τ = p ∧ E = −(1.41 × 10−6 N · m)ez ;
E)f − (−p · E)i ] = 5.9 × 10−7 J.
b) . . .
c)W = −∆U = −[(−p ·
5. Uma molécula de água tem um momento dipolar eléctrico permanente de grandeza p = 6 × 10−30 C · m. Determine a intensidade do campo eléctrico que este
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dipolo produz na posição de uma molécula de água vizinha a uma distância de
3 × 10−9 m ao longo do eixo do dipolo.
R : E ' (2/4πε0 )p/z 3 = 2 × 106 N/C.
6. A molécula de fluoreto de lı́tio (LiF ) tem um momento dipolar permanente.
A molécula é colocada num campo eléctrico uniforme de intensidade 104 N/C,
e a diferença entre o máximo e o mı́nimo da energia potencial neste campo é
4.4 × 10−25 J. Qual é o momento dipolar eléctrico da molécula de LiF ?
R : p = 2.2 × 10−29 C · m.
7. Um campo eléctrico tem as seguintes componentes: Ex = 5x, Ey = −3y,
Ez = 4z. Calcule o fluxo deste campo eléctrico através dos lados dum cubo
unitário cujos vértices são os pontos de coordenadas: (0, 0, 0), (1, 0, 0),
(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1) e (0, 1, 1). (As componentes dos campos estão medidas em N/C e as distâncias em m.)
R : Φ = +6 N · m2 /C.
8. Por cálculo directo (isto é, sem usar a lei de Gauss), determine o fluxo de um
−
→
campo eléctrico constante E através da superfı́cie de uma semi-esfera de raio R
cuja base circular é perpendicular à direcção do campo. Compare o resultado
anterior com cálculo do fluxo do mesmo campo eléctrico através duma superfı́cie
cilı́ndrica cuja base circular, de raio R, está orientada perpendicularmente à
direcção do campo. [Sugestão: a área de uma tira infinitesimal de latitude θ e
de espessura Rdθ é 2πR2 sin θdθ; θ varia de 0 no polo norte a π/2 no equador].
9. Considere dois planos infinitos paralelos colocados no vácuo, separados entre
si de uma distância L, carregados respectivamente com densidades uniformes
σ1 e σ2 . Qual é a força exercida sobre uma carga positiva Q colocada a meia
distância entre os dois planos?
F = QE = Q(σ1 − σ2 )/2ε0 .
10. Considere cargas positivas distribuı́das uniformemente sobre uma circunferência
de raio R com densidade de carga λ. (a) Use argumentos de simetria para
deduzir a direcção do campo eléctrico num ponto do plano da circunferência
mas fora da circunferência. (b) Qual é a intensidade do campo eléctrico a uma
distância L À R ao longo do eixo da circunferência?
R : a)E está dirigido radialmente, para fora; b)Eeixo = (Rλ/2ε0 L2 ), L À R.
11. Considere uma esfera metálica oca, inicialmente descarregada. Suponha agora
que uma carga positiva q é colocada algures no interior da esfera, sem ser no
centro (como se mostra na figura 1), sem tocar na parede interior da esfera.
(a) Como se distribui a carga na superfı́cie metálica interior e na superfı́cie
exterior da esfera? Indique quais são as densidades superficiais de carga.
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Faça um desenho (aproximado) das linhas de força do campo eléctrico,
dentro e fora da esfera.
(b) Se mover a carga no interior da cavidade, a distribuição de carga na superfı́cie exterior modifica-se? Explique a sua resposta.
(c) Image que traz a carga pontual q a contactar a superfı́cie interior da esfera.
Qual é distribuição de carga agora nas superfı́cies interior e exterior?
Figura 1: Problema 12
12. Uma esfera oca não-condutora com uma carga total Q distribuı́da uniformemente tem um raio interno R1 e um raio exterior R2 . Calcule o campo eléctrico
resultante nas três regiões: r < R1 , R1 < r < R2 , e r > R2 .
~ = [Q(r3 − R3 )/4πε0 (R3 − R3 )r2 ]r̂ N/C; r >
R : r < R1 , E = 0; R1 < r < R2 , E
1
2
1
~ = (Q/4πε0 r2 )r̂.
R2 , E
Página produzida em LATEX por Paulo Crawford em 6 de Outubro de 2009.
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