Problemas de Mecânica Quântica
Folha 5 - Formalismo e momento angular
Espectros vibracionais e rotacionais
(2007/2008)
1. Diga, justificando, se os seguintes operadores são lineares:
(a) T̂1 : T̂1 Ψ(x) = Ψ(x + a), em que a é uma constante real.
(b) T̂2 : T̂2 Ψ(x) = Ψ(x)2
(c) T̂3 : T̂3 Ψ(x) = Ψ(−x)
(d) T̂4 : T̂4 Ψ(x) = Ψ(x) + K, c/ K constante.
(e) T̂5 : T̂5 Ψ(x) = Ψ(x/2)
2. Calcular o operador adjunto do operador quantidade de movimento. Verificar que este operador é
hermı́tico.
3. Verifique as seguintes propriedades do comutador de dois operadores:
(a)
[Â, Â] = 0;
(b)
(c)
[Â, cB̂] = c[Â, B̂], em que c é uma constante;
(e)
[Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ].
(d)
[Â, B̂] = −[B̂, Â];
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂;
4. Calcular:
(a)
d
[x, dx
];
(b)
d
[x, −ih̄ dx
];
(c)
d
[x2 , −ih̄ dx
].
5. Dados os operadores hermı́ticos Â, B̂ e Ĉ, verifique quais dos seguintes operadores também são
hermı́ticos:
(a)
 + B̂;
(b)
1
2i [Â, B̂];
(c)
ÂB̂ Ĉ − Ĉ B̂ Â.
6. Demonstre que o produto das incertezas na energia e na posição verificam a seguinte relação:
h̄
∆ x ∆ E ≥ 2m
<p>.
Que informação nos dá esta relação para um estado estacionário?
7. Teorema do virial.
(a) Demonstre que
d
dt
2
< x p > = 2 < T > − < x dV
dx >, sendo H = T + V, T = p /(2m).
(b) Demonstre que, para um estado estacionário, 2 < T > = < x dV
dx > .
(c) Demonstre que < T > = < V > para um estado estacionário do oscilador harmónico.
8. Mostre que para o oscilador harmónico se tem (∆ x)n (∆ p)n = h̄ (n + 1/2). Confirme o resultado
recorrendo ao teorema do virial.
9. Mostre que, para que um operador comute com todas as componentes do momento angular basta
que comute com duas delas.
10. Verifique as relações de comutação:
(i)
(iii)
(v)
(ii)
[L̂x , L̂2 ] = 0;
[L̂x , x̂] = 0;
(iv)
[L̂x , p̂x ] = 0;
[L̂x , ŷ] = ih̄ẑ;
(vi)
[L̂x , p̂y ] = ih̄p̂z .
[L̂x , L̂y ] = ih̄L̂z ;
11. O movimento vibracional dos núcleos de uma molécula diatómica para oscilações de pequena amplitude, é razoavelmente bem descrito pelo hamiltoniano do oscilador harmónico uni-dimensional
p2
mω 2 2
+
x ,
2m
2
onde x é o desvio do equilı́brio, m é a massa reduzida do sistema e ω é a frequência angular da
oscilação. Suponha que no instante t = 0 a molécula está no estado
H=
|Ψ >=
4
3
|0i + i |1i,
5
5
onde os estados |ni são estados próprios do operador número, N̂ = ↠â, associados ao valor próprio
n, n = 0, 1, 2, ....
(a) Escreva o operador Hamiltoniano em função do operador número e mostre que os estados
próprios de N̂ são também estados próprios de Ĥ.
(b) Calcule o valor expectável da energia da molécula.
(c) Calcule o valor expectável de x em função do tempo.
12. O espectro rotacional de uma molécula formada por dois átomos de massa m à distância a é descrito
pelo hamiltoniano
L2
H0 =
,
m a2
onde L é o momento angular relativamente ao centro de massa. Usando uma base de funções próprias
comuns a L2 e Lz responda às seguintes questões.
a) Quais são os nı́veis de energia permitidos. Qual é a degenerescência de cada nı́vel?
b) Quais são os nı́veis de energia permitidos e qual a degenerescência de cada um, se for aplicado
um campo magnético? Nestas condições o hamiltoniano do sistema tem uma contribuição extra
H1 = −βLz , onde β é uma constante real positiva e Lz é a componente do momento angular
segundo a direcção do campo magnético.
1/2
c) Sabendo que o esférico harmónico Y10 = (3/4π)
cos θ, determine Y1±1 .
13. Uma função de onda do momento angular é dada pela seguinte expansão em harmónicos esféricos,
|lm >,
!
r
r
√ Ã
i 2
3
i 2
|00 > +
Ψ (θ, φ) =
|11 > +
|1 − 1 > .
2
2 3
2 3
(a) Se medirmos a componente segundo o eixo dos z do momento angular (Lz ) neste estado, que
valores podemos obter e com que probabilidade?
(b) Quais os valores expectáveis de Lz e de L2 ? Calcule também ∆Lz .
14. O deutério é um dos isótopos estáveis do hidrogénio cujo núcleo é formado por um protão e um
neutrão, encontrando-se na natureza na proporção de um para cada 7 000 átomos de hidrogénio. De
entre as variadı́ssimas aplicações do deutério salientamos a sua utilização em RMN (espectroscopia
de ressonância magnética nuclear).
Uma molécula de Deutério (D2 ) à temperatura de 30 K encontra-se num estado quântico descrito,
para t = 0, pela função
¢
1 ¡ 1
Ψ (θ, φ) = √
3 Y1 + 4 Y73 + Y71
26
(a) Efectuando medições sobre este estado que valores de L2 e de Lz poderão ser encontrados e com
que probabilidade ocorrerão?
(b) Obtenha Ψ(θ, φ, t).
(c) Qual o valor expectável da energia para a molécula (em eV) para t > 0?
Notas: Sabe-se que o rotor rı́gido é um modelo adequado ao estudo de moléculas diatómicas sendo
2
descrito pelo Hamiltoniano H = L2I . Para estados puramente rotacionais de D2 , admita que
h̄/2Ic = 30, 4 cm−1 (h̄c = 1, 97 × 10−5 eV cm).