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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 4, Dezembro, 1999
Um Setor Especial Generalizado da
Equac~ao do Oscilador Harm^onico Simples
(A Generalized Special Sector of Simple Harmonic Oscillator Equation)
Claudio Ichiba, Rogerio Ichiba e Jose Noboru Maki
Universidade Estadual de Maringa
Centro de Ci^encias Exatas
Departamento de Fsica
Av. Colombo,5790, CEP87030-121, Maringa, PR
Recebido em 20 de Novembro, 1998
Vamos mostrar uma generalizac~ao da equac~ao vinda do problema de oscilador harm^onico simples
(OHS) em pot^encias de x(t). Estas equaco~es apresentam soluco~es simples, tornam-se uteis nas
ilustrac~oes de problemas didaticos e para aplicaco~es em testes de aproximac~oes, tanto numericas
quanto analticas.
We will show a generalization of the equation coming of the problem of simple harmonic oscillator
in powers of x(t) potencies. These equations present simple solutions. Hence they become useful
in the illustrations of pedagogical problems and for applications in tests of approximations, both
numeric and analytic.
I Introduc~ao
O desenvolvimento de metodos matematicos que visam
facilitar o trabalho dos fsicos e um dos maiores entraves
para chegar a soluco~es de determinados sistemas fsicos
n~ao-lineares. Sabemos que soluc~oes para equac~oes diferenciais destes sistemas n~ao s~ao faceis de se obterem.
Desta forma, este artigo exibe uma classe generalizada
de equac~oes diferenciais do OHS concomitante com suas
soluc~oes.
Uma generalizac~ao de equac~oes diferenciais e de
grande valia no reforco de ensino ilustrativo se suas
soluc~oes forem simples, pois, torna-se possvel expandir outras possibilidades didaticas e traz tambem, uma
ajuda oportuna para aqueles que buscam aperfeicoar
seus programas computacionais, aprimorar os testes de
tecnicas em aproximac~oes, alem de muitas outras utilidades.
Com essa losoa o presente artigo apresenta de
forma intuitiva uma generalizac~ao para uma classe de
equac~oes com soluc~ao harm^onica, isto e, func~ao senoidal. Iniciaremos pela equac~ao que descreve o OHS e
evoluiremos para equac~oes diferenciais n~ao-lineares.
II Um Metodo Intuitivo
A equac~ao do OHS, e dada por
d2 x(t) + !2 x(t) = 0;
(1)
dt2
onde ! e a frequ^encia angular. A soluc~ao geral e dada
por
x(t) = A cos(!t + 1 );
(2)
onde A e a amplitude do movimento e 1 a constante
de fase que s~ao obtidas pelas condico~es iniciais.
Se, por exemplo, o sistema for um bloco de massa m
suspensa por uma mola ideal num campo gravitacional
ent~ao temos
d2 x(t) + !2 x(t) = g;
(3)
dt2
onde x(t) representa direca~o vertical. A sua soluc~ao
geral e dada por
x(t) = B cos(!t + 1 ) + g=!2 :
(4)
Se incidentemente o dobro da amplitude for, 2B =
A = 2g=!2 , ent~ao teremos
x(t) = A cos2(!t=2 + 2 ):
(5)
Assim, a soluc~ao da equac~ao (3) apresenta-se na forma
quadratica, onde a constante de fase, 1 = 22 . Podemos escalonar t ! !t e x(t) ! x(t)=A:
Vamos generalizar o segundo membro da equac~ao
(3) com uma simulac~ao de campo externo variavel, adequando em pot^encias de func~ao x(t). Para isso, veremos
Claudio Ichiba et al.
qual e uma das possveis equac~oes diferenciais caso um
sistema din^amico seja descrito pela func~ao
x(t) = A cos3 (!t=3 + 3 ):
(6)
Vericamos que pode vir de uma equac~ao diferencial
n~ao-linear dada por
d2 x(t) + !2 x(t) , 2!2 A2=3x(t)1=3 = 0; (7)
dt2
3
onde o campo externo e o ultimo termo da equac~ao (7)
e A e um par^ametro ajustavel de modo que ocorra um
estado estacionario dado em (6).
Assim tambem, para um sistema com movimento
descrito pela func~ao
x(t) = A cos4 (!t=4 + 4 );
(8)
vericamos que
d2 x(t) + !2 x(t) , 3!2 A1=2x(t)1=2 = 0; (9)
dt2
4
e assim sucessivamente. Logo, por induc~ao, temos que,
x(t) = A cosq (!t=q + q );
(10)
cuja equaca~o generalizada, se escalonada, sera dada por
d2 x(t) + x(t) , (q , 1) x(t)q,2=q = 0: (11)
dt2
q
Para i = 1 temos a equac~ao (1) do OHS. Para q = 2
temos OHS num campo externo constante, e assim por
diante. E interessante notar que na equac~ao (11) q pode
ser qualquer numero real diferente de zero. Esta propriedade aparece por estarmos lidando com uma func~ao
periodica. O ultimo termo da equac~ao (11) representa
a forca de campo externo geral que pode ser produzida, por exemplo, no interior de uma espaconave cuja
propuls~ao (acelerac~ao) pode ser ajustada a um q desejado. Assim, para um observador externo, num referencial inercial, observar-se-a a lei de movimento (1)
se a espaconave estiver parada ou em movimento retilneo e uniforme, nesse caso q = 1. Se estiver em
movimento retilneo e uniformemente variado, teremos
a lei do tipo (3), nesse caso q = 2, vemos que ha uma
forca constante atuando no sistema massa-mola ideal.
Se a espaconave acelerar de tal modo que forneca uma
forca proporcional a x1=3 teremos q = 3, e assim por
diante. Se o referencial estiver dentro da espaconave e
q 2 ent~ao para este observador as equac~oes diferenciais governadoras tornam-se de ordens superiores porque
o referencial e n~ao-inercial. Para um observador fora da
espaconave e em referencial inercial a lei que governa e
de segunda ordem, a lei de Newton [1].
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Para q = ,1, temos a equaca~o de Dung [2],
d2 x(t) + !2 x(t) + x3(t) = 0;
(12)
dt2
onde = ,2 e ! = 1. Esta equac~ao (12) e encontrada
frequentemente em diversos estudos de sistemas hamiltonianos, por exemplo, na transformac~ao da equaca~o do
p^endulo simples, assim como, em metodos perturbativos [2]. E interessante notar que a soluc~ao da equac~ao
(12) para par^ametros arbitrarios e ! tem soluc~oes que
envolvem func~oes elpticas. Alem disso, essa equac~ao
pode ser obtida por mudanca de variaveis, como e feita
na equac~ao do p^endulo simples. Portanto, apresenta
tr^es setores de soluc~oes distintas [4].
Os resultados do presente estudo s~ao de fato bastante simplicados. Para comprovar isso, testamos algumas das resoluc~oes provenientes das equac~oes diferenciais (11) pelo pacote MATHEMATICAr 3.0 [3] o
que resultaram em soluc~oes a primeira vista assustadoras e impossveis de se interpretar.
Uma continuidade deste trabalho e expandir essas
formas de equac~oes e suas soluc~oes a outras funco~es trigonometricas e hiperbolicas
III Conclus~ao
Atraves do presente metodo, baseado na estetica indutiva, conseguimos encontrar uma equac~ao diferencial n~ao linear generalizada (11) que tem como soluca~o
pot^encias reais da funca~o harm^onica. Abre-se a possibilidade de novas explorac~oes em aplicac~oes de metodos
algebricos e numericos aproximados onde ha necessidade de soluc~oes exatas para as suas comparaco~es, alem
de uso didatico. Vamos estender brevemente a presente
abordagem para sistemas matematicamente semelhante
e assim, aqueles cujas soluc~oes tem din^amicas descritas
pelas soluc~oes de func~oes periodicas e hiperbolicas [5].
References
[1] Picoli Jr., Sergio, Trabalho de Graduac~ao, Publicaca~o
Interna do DFI/UEM, janeiro de 1999.
[2] Hagedorn, Peter, Oscilac~oes N~ao Lineares. Editora Edgard Blucher Ltda.. S~ao Paulo, SP. 1984.
[3] Wolfram, Stephen, The Mathematica R. Book, 3a.
edic~ao, Editora Cambridge University Press. USA,
1996.
[4] T. Davis, Harold, Introduction to Nonlinear Dierential and Integral Equations. Dover Publications, Inc.,
New York 1960.
[5] Ichiba, Rogerio, Trabalho de Graduac~ao, Publicac~ao Interna do DFI/UEM, janeiro de 1999.