Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 22, no. 2, Junho, 2000
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Efeito Pelicular
(On the Skin Eect)
Ren^e Robert
Departamento de Eletricidade, Universidade Federal do Parana
Caixa Postal 19047, Curitiba Pr, 81531-990
Recebido em 2 de setembro, 1999
Usando as equac~oes de Maxwell, apresenta-se o efeito pelicular para condutores com uma geometria
simples, onde as equac~oes s~ao facilmente resoluveis. Apresentam-se as principais caractersticas
deste efeito para o regime senoidal permanente e para o regime transiente.
Using the Maxwell's equations, the skin eect is shown for a simple geometry where the mathematical solutions are easy. The main characteristics of this eect, are shown in the sinusoidal and
transient state.
I Introduc~ao
Quando uma corrente eletrica constante ui em um o
condutor homog^eneo, de sec~ao transversal n~ao negligenciavel, ela se distribui uniformemente nesta sec~ao.
O mesmo n~ao se pode dizer quando a corrente e alternada, esta n~ao se distribui uniformemente e a distribuic~ao depende da frequ^encia, do campo eletrico,
da condutividade eletrica, das dimens~oes e da forma
geometrica do condutor. No caso de um condutor
de sec~ao transversal circular a densidade de corrente
varia ao longo do raio, sendo maxima na superfcie
e mnima sobre o eixo. A concentrac~ao de corrente
proxima a superfcie do condutor chama-se efeito pelicular ou efeito Kelvin em homenagem a Lord Kelvin,
por sua contribuic~ao ao estudo deste efeito em condutores cilndricos (1889)[1]. O efeito pelicular apresenta
interesse tecnico e tambem acad^emico, principalmente
pelas suas sutilezas. Neste trabalho nosso interesse se
restringe ao campo acad^emico pois e rara nos livrostextos[2,3] a exposic~ao deste topico. Existem apenas
dois casos cuja soluc~ao analtica e simples: condutores
com sec~ao circular e condutores em forma de ta, ambos de comprimento innito. Nos demais casos a unica
soluc~ao possvel e obtida atraves de calculo numerico.
Em corrente alternada o efeito pelicular imp~oe algumas
desvantagens: A resist^encia eletrica efetiva do condutor
aumenta em relac~ao a resist^encia medida em corrente
constante. Consequentemente havera maior perda sob
forma de calor, por unidade de comprimento de condutor, que se o mesmo fosse percorrido por uma corrente
eletrica constante. A reat^ancia indutiva interna do con-
dutor e igualmente modicada. Em geral na pratica
contorna-se este problema usando-se condutores ocos e
cabos entrelacados. Em outros casos o efeito pelicular
e util, como ocorre em frequ^encias de microonda, tornando possvel o transporte e armazenagem de energia
eletromagnetica em guias de onda e cavidades ressonantes sem perda por radiac~ao. O efeito pelicular de~ da sua frequ^encia angular !
pende do campo eletrico E,
e da condutividade do condutor[4]. E comum medir o
efeito pelicular por uma grandeza metrica chamada de
espessura pelicular (skin depth) a qual diminui com o
aumento da frequ^encia e da condutividade. Em teorias
simples a condutividade do condutor e proporcional
ao livre caminho medio ` dos eletrons de conduca~o.
Quando < `, a densidade de corrente em um dado
ponto n~ao sera determinada simplesmente pela intensidade de campo local e pela condutividade estatica.
Nestas condic~oes a teoria classica do efeito pelicular n~ao
mais se aplica, e esta situac~ao e chamada de efeito pelicular an^omalo. Com o aumento de frequ^encia outros
efeitos tornam-se signicativos, por exemplo, o efeito de
relaxac~ao. Os eletrons s~ao submetidos a muitos ciclos
do campo eletrico alternado entre duas colis~oes durante
o intervalo de tempo medio que permanece na \skin
layer". A grosso modo, o campo v^e uma camada de
eletrons livres. Aumentando-se ainda mais a frequ^encia
atinge-se a frequ^encia de plasma do condutor na qual o
metal e transparente.
Neste trabalho discutiremos somente o efeito pelicular classico, usando-se as equac~oes de Maxwell. O problema sera analiticamente tratavel, desde que facamos
alguma simplicac~oes. Estas simplicac~oes s~ao con-
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seguidas com as seguintes hipoteses: (a)- Os meios s~ao
supostos metalicos, n~ao magneticos, cuja permeabilidade relativa e a permissividade relativa s~ao da ordem da unidade; (b)- Sobre um grande intervalo de
frequ^encias o termo da densidade de corrente de deslo~ e pequeno quando comparado com a
camento @ D=@t
~ podendo ser ignorado; (c)- A
densidade de corrente J,
lei de Ohm, J~ = E~ e valida; (d)- as frequ^encias s~ao
sucientemente baixas de modo a escaparmos da regi~ao
de efeito pelicular an^omalo; (e)- a densidade de carga
no condutor e nula, isto e, = 0.
E possvel dar uma explicac~ao qualitativa de como
ocorre o efeito pelicular. Considere a Fig. 1 onde
mostra-se um condutor percorrido por uma corrente
I tal que dIdt > 0. Esta corrente gera um campo de
induc~ao B~ , cujas linhas de campo s~ao circunfer^encias e
ao qual esta associado um campo eletrico E~ , que obe~ E~ = ; @@tB~ . O campo eletrico assim
dece a relaca~o r
gerado tende a reforcar a corrente proximo a superfcie
e enfraquec^e-la no centro.
e das relac~oes constitutivas
D~ = E~ ;
~
B~ = H;
A deduc~ao da equac~ao que explica o efeito pelicular pode ser obtida facilmente a partir das equac~oes de
Maxwell[5,6] sob forma diferencial:
(1)
(2)
~
r~ E~ = ; @@tB
(3)
~
r~ H~ = J~ + @@tD
(4)
(6)
~
J~ = E;
(7)
Usando as equac~oes (1) a (7) e as hipoteses (a) a (e)
chega-se facilmente as seguintes relac~oes:
~
r~ 2E~ = @@tE ;
(8)
~ 2 H~ = @ H~ ;
(9)
r
@t
~
r~ 2J~ = @@tJ ;
(10)
com as quais e possvel resolver o problema do efeito
pelicular. As equac~oes (8), (9) e (10) s~ao equac~oes
diferenciais a derivadas parciais de segunda ordem do
tipo parabolico[7] (equac~ao de difus~ao) cujas tecnicas
de soluc~ao s~ao conhecidas. Nosso interesse sera focalizado sobre o efeito pelicular em uma ta metalica de
largura 2a, altura b e comprimento L, com a condic~ao
de que L >> b >> 2a:. Deste modo despreza-se os
efeitos de extremidade e admite-se que a densidade de
corrente seja uniforme ao longo de oy porem variando
com a abcissa x, como mostra a Fig. 2. Este modelo sera aplicado tanto em regime senoidal permanente
como transiente.
Figura 1. J indica a corrente no condutor, B o campo
magnetico e E o campo eletrico.
r~ D~ = r~ B~ = 0
(5)
Figura 2. Geometria da ta metalica.
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II
Efeito pelicular em regime
senoidal permanente
A aplicac~ao da Eq.(10) a ta metalica, levando em
conta as hipoteses feitas anteriormente, leva esta
equaca~o a seguinte forma:
@ 2 Jz (z; t) = @Jz (x; t)
@x2
@t
(11)
Levando em conta que nos interessa a soluc~ao estacionaria na forma jz (x; t) = jz (x) exp(i!t), onde ! e a
frequ^encia angular do campo eletrico senoidal aplicado.
Logo, a Eq. (11) se reduz ao seguinte:
@ 2 Jz (x) = i!J (x):
(12)
z
@x2
A soluc~ao da equac~ao diferencial (12) pode ser escrita como
c
1=2
cosh(2mx)
+
cos(2mx)
Jz (x) = Jz (a) cosh(2ma) + cos(2ma) f(x) ; (a)g;
(13)
d
;
1=2
onde: m = !
= 1=; tan(x) = tanh(mx) 2
tan(mx), e f(x) ; (a)g a diferenca de fase na densidade de corrente entre o ponto de abcissa x e o ponto
de abcissa a em notac~ao fasorial[8]. Nas Figs. 3 e
4 mostram-se, respectivamente, a variac~ao do modulo
da densidade de corrente e da diferenca de fase desta
em relac~ao a densidade na superfcie ambas para diversos valores do par^ametro m. Para efeito de calculo
numerico neste trabalho, a largura foi tomada como
a = 0:02 m, a condutividade como = 5; 71 107 S=m
(cobre) e a permeabilidade como = 4 10;7 H/m.
sendo i a unidade imaginaria, Ze a imped^ancia equivalente e R0 a resist^encia do condutor para corrente
eletrica constante.
Figura 4. Diferenca de fase entre a densidade de corrente
na abcissa x e na abcissa a.
Da Eq.(15) obtem-se os valores da resist^encia equivalente e do coeciente de auto-indut^ancia:
Figura 3. Modulo da densidade de corrente na sec~ao
transversal da ta.
senh(2ma) + sen(2ma)
Re
R0 = ma cosh(2ma) ; cos(2ma) ;
(16)
O calculo da corrente total I permite determinar
a resist^encia equivalente Re e o coeciente de autoindut^ancia Le . Obtem-se ent~ao que
!Le = ma senh(2ma) ; sen(2ma) :
R0
cosh(2ma) ; cos(2ma)
(17)
+ i)a] ;
I = 2bJz (a) tanh[m(1
m(1 + i)
Ze = R0m(1 + i)a=tanh[m(1 + i)a];
(14)
(15)
As Figs. 5 e 6 mostram as variac~oes de Re=R0 e
!Le =R0 em func~ao do par^ametro m. Outros topicos
podem ser explorados, tais como o calculo dos campos
eletrico e magnetico, vetor de Poynting, calor Joule etc.
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Figura 5. Resist^encia efetiva em func~ao do par^ametro m.
III Efeito pelicular em regime
transiente
Figura 6. Variac~ao da reat^ancia indutiva efetiva em funca~o
do par^ametro m.
(1) ; Jz (a; 0) = 0;
(2) ; Jz (x; t) = Jz (;x; t);
(3) ; Jz (x; 1) = Jc :
Nesta condic~oes obt^em-se a soluc~ao
O problema consiste em resolver a Eq.(11) para o
regime transiente. Usa-se a tecnica de separac~ao de
variaveis com constante de separac~ao complexa e com
as seguintes condic~oes de contorno:
c
1 (;1)n
h
X
x i exp(; t);
4J
c
cos
(2n
+
1)
Jz (x; t) = Jc ; n
2n + 1
2a
n=0
(18)
d
sendo
1 h(2n + 1) i2 ;
n = 2a
onde n e um numero inteiro.
A corrente total
R pode ser calculada com auxlio da
equac~ao i(t) = b ;aa Jz (x; t)dx obtendo-se
"
#
1
X
;n t) ;
(19)
i(t) = Ic 1 ; 82 exp(
(2n
+
1)2
n=0
sendo Ic = 2abJc: A partir da Eq.(18) calcula-se a resist^encia efetiva que sera fornecida pela equac~ao:
R0
Re =
(20)
P1 exp(;n t)
8
1 ; 2 n=0 (2n+1)2
Nas Figs. 7, 8 e 9 mostra-se respectivamente a
variaca~o temporal da densidade de corrente, da corrente
e da resist^encia efetiva.
IV Discuss~ao e conclus~oes
Algumas conclus~oes interessantes podem ser tiradas
da teoria exposta. Em regime senoidal permanente
conclui-se que: (1) - a densidade de corrente acumulase proximo a superfcie do condutor a medida que o
par^ametro m aumenta, ou seja, com o aumento da
frequ^encia, da condutividade ou da permeabilidade; (2)
- A diferenca de fase entre a densidade de corrente na
abcissa x com relaca~o a densidade na superfcie varia
com o par^ametro m, podendo mesmo ocorrer que a
densidade de corrente instant^anea mude de sentido em
pontos da sec~ao transversal; (3) - A resist^encia efetiva
cresce com o par^ametro m e tem como consequ^encia o
aumento da pot^encia dissipada por efeito Joule, a qual
e mnima[9] quando a corrente se distribui homogeneamente sobre a sec~ao transversal; (4) - a medida que o
par^ametro m aumenta a auto- indut^ancia do circuito
aumenta.
Em regime transiente alguns fatos interessantes
ocorrem: (1) No incio, a corrente comeca a se estabelecer pela superfcie do condutor e a medida que o tempo
ui, esta se distribui paulatinamente da superfcie para
o centro, ate que a distribuic~ao de corrente seja uniforme. Obviamente este fen^omeno ocorre de forma mais
rapida ou lenta dependendo das caractersticas eletricas
do condutor; (2) O condutor apresenta inicialmente
uma resist^encia muito grande ate atingir no limite da
resist^encia para corrente constante.
Este mesmo raciocnio matematico pode ser estendido a uma sec~ao transversal retangular ou circular,
embora os calculos sejam mais elaborados.
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Figura 9. Variac~ao da resist^encia efetiva como funca~o do
tempo (a=0,02m e = 7; 71 107 : S/m).
Figura 7. Densidade de corrente na sec~ao transversal para
t=1s, 1ms, 1.
Figura 8. Variaca~o da corrente como funca~o do tempo
(a=0,02m e = 5; 71 107 : S/m).
References
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Concept of Inductance, Skin Eect and Proximity Effect, Am. J. of Physics, 9, 6 (1941), p.337-346.
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