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Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 21, no. 4, Dezembro, 1999
Uma Equac~ao Barometrica Coerente com
a Equac~ao de Laplace
(A Coherent Barometric Equation with Laplace's Equation)
Wilson Lopes
Universidade Guarulhos: Praca Tereza Cristina, 1, 07023-070, Guarulhos, SP
Universidade de Mogi das Cruzes: Av. Dr. C^andido Xavier de Almeida Souza, 200
08780-911, Mogi das Cruzes, SP
Recebido em 11 de Novembro, 1998
Foram feitas algumas aproximac~oes e transformac~oes na equac~ao de nivelamento de Laplace,
obtendo-se uma equaca~o que, neste trabalho, foi nomeada de Equac~ao Barometrica Modicada
de Laplace. Obtem-se, com essa equac~ao, bons resultados para as variac~oes da press~ao, com a
altitude e latitude, na camada mais baixa da atmosfera terrestre, a Troposfera, onde o gradiente
termico varia de uma maneira quase constante com a altitude: = 6; 50 10,3 C/m prop~oe-se,
tambem, uma equaca~o barometrica, cujos resultados s~ao muito proximos aqueles obtidos com a
Equac~ao Modicada de Laplace.
We present some approximations and transformations in Laplace's barometric equation, leading to
an equation here called Laplace's Modied Barometric Equation. Employing this new expression,
we obtain good results for the variations of pressure, with altitude and latitude, in the lowest layer
of the terrestrial atmosphere, the Troposphere, where the thermal gradient varies in an almost
constant way with the altitude: = 6; 50 10,3 C/m. We propose, also, a barometric equation,
whose results are very close to those obtained with the Laplace's Modied Barometric Equation.
I Introduc~ao
Chama-se nivelamento a um conjunto de operaco~es
para se medir a diferenca de altura entre dois pontos da
superfcie terrestre. Quando essa altura relativa e de-
terminada atraves das variac~oes da press~ao, entre esses
dois pontos, o nivelamento se diz barometrico (Libault,
1975).
Uma das equac~oes de nivelamento barometrico,
muito usada, e a de Laplace dada por
c
z , z0 = 18400 1 + t +2 t0 log pp0 g 2g+pg 1 + 0; 0185 p + p0 :
;z
;0
0
(1)
d
Neste trabalho, deve-se entender por p; t e , respectivamente, press~ao atmosferica, temperatura e press~ao
de vapor, observadas no ponto P e que se encontra a
altitude z. Essas mesmas grandezas fsicas com ndice
\0", s~ao consideradas ao nvel do mar em que z0 = 0 (as
press~oes barometricas, as press~oes de vapor e as temperaturas devem ser medidas simultaneamente nos pontos
P0 e P). O coeciente de dilataca~o dos gases e representado por = 1=(273; 2) C ,1; g;0 e gp = 9; 8060
m/s2 s~ao, respectivamente, os valores da aceleraca~o da
gravidade ao nvel do mar e nas latitudes e 450; g;0
e o valor a latitude e a altitude z (Libault, op. cit.).
Pretende-se, neste trabalho, em primeiro lugar, proceder a uma aproximac~ao na equac~ao (1), em relaca~o a
press~ao de vapor, obtendo-se a equac~ao que sera chamada de Equac~ao Barometrica Aproximada de Laplace.
Em segundo lugar, modicar a equac~ao obtida, em
relac~ao a acelerac~ao da gravidade, e obter a equaca~o
que sera chamada de Equac~ao Barometrica Modicada
de Laplace. E, nalmente, propor uma equaca~o barometrica cujos resultados sejam equivalentes aos obtidos com a Equac~ao Modicada de Laplace.
Wilson Lopes
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II Equac~ao barometrica aproximada de Laplace
Considera-se o ponto P0 , ao nvel do mar, como sendo
a projec~ao de P que se encontra numa altitude z (ver a
Fig. 1). Esses dois pontos t^em as mesmas coordenadas
geogracas de latitude e longitude. Assim, n~ao se leva
em conta a press~ao de vapor no ponto P0 (0 = 0). Por
outro lado, no ponto P, mesmo se considerando uma
temperatura atmosferica relativamente alta, da ordem
de 30 0 C, a press~ao normal de 1013 mb (equivalente a
altura barometrica de 760 mmHg), a press~ao de vapor
e da ordem de 42; 41 mb (equivalente a altura barometrica de 31,82 mmHg). Observa-se, portanto, que
o termo entre colchetes da equaca~o (1) e muito proximo
de 1, a saber: [1 - 0,00185(42,41/1013)] 1.
Figura 1. O ponto P0 , que se encontra ao nvel do mar,
e a projeca~o do ponto P que se encontra a altitude z . A
latitude e longitude de P e P0 s~ao iguais.
Com a aproximac~ao considerada acima, a equac~ao
(1) se transforma em
onde
z 18400 1 + t +2 t0 log pp0 g ;
(2)
g = 2gp=(g;z + g;0)
(3)
representa um coeciente dependente da acelerac~ao da
gravidade (esse coeciente, de maneira implcita, depende da latitude e altitude).
Resolvendo-se a equac~ao (2) para p, obtem-se
, 18400
(
z
t+2t0 )g
p p0 10
:
(4)
Assumindo-se, em (4), t = t0 , z, onde = 6; 50 10,3 C/m representa o gradiente termico padr~ao da
baixa atmosfera, tem-se que
1+
, 18400 1+ zt , z g
[ ( 0 2 )] ;
p p0 10
(5)
que representa a Equac~ao Barometrica Aproximada de
Laplace.
Dias (1917), apresenta a seguinte equaca~o barometrica de Laplace:
z
(6)
p p0 10 [ ; (t , z )] ;
para a reduc~ao das press~oes ao nvel do mar.
Comparando-se as equac~oes (5) e (6), chega-se a
conclus~ao que = 0; 00367 = 1=272; 5 C,1, =
5; 56 10,3 C/m e g = 1:
18400 1+0 00367
0
360
III Variac~ao da acelerac~ao da
gravidade em func~ao da latitude e altitude
A variac~ao da acelerac~ao da gravidade, com a latitude
, e dada por (Cook, 1969)1:
g = ge(1 + ' sen2 );
(7)
onde ge = 9; 7804m=s2 representa a acelerac~ao da gravidade no equador e ' = 5; 240 10,3 e um fator
numerico2.
Deve-se incluir, na express~ao (7), um termo que faca
depender a acelerac~ao da gravidade, tambem, da altitude z, a saber
g;z ge(1 + ' sen2 ) , 2gez=RT ;
(8)
onde RT = 6; 371 106m representa o raio da Terra3 .
IV Equac~ao barometrica modicada de Laplace
A equac~ao (8) fornece a aceleraca~o da gravidade, nas
varias localidades da superfcie terrestre, e esta relacionada com a acelerac~ao da gravidade no equador. Contudo, pode-se relaciona-la com a acelerac~ao da gravidade a latitude de 450 e ao nvel do mar, gp = 9; 806
m/s2, que se assume como acelerac~ao da gravidade
padr~ao:
g;z = 1 +gp'=2 K , 2R z ;
(9)
T
onde K = 1 + 'sen2 :
1 Quando se trabalha com ^
angulos de co-latitude, a express~ao (7) apresenta a func~ao co-seno. Para a^ngulos de latitude, que s~ao
complementares da co-latitude, a express~ao se apresenta com a func~ao seno.
2 Se fossem levadas em conta somente as inu^
encias da acelerac~ao centrpeta nas variac~oes da acelerac~ao da gravidade, em relac~ao a
latitude, o fator numerico teria o valor de 3; 460 10,3. O valor do fator usado na express~ao (7), considera a acelerac~ao centrpeta
e o achatamento da Terra, onde o raio equatorial e cerca de 21,4 km maior que o polar. A contribuica~o do achatamento terrestre e de,
aproximadamente, 1; 78 10,3.
3 Assumiu-se, por hip
otese, uma Terra esferica, de raio RT = (R2e Rp)1=3 = 6; 371 106 m, com o mesmo volume do elipsoide de
revoluc~ao, de raios equatorial e polar, respectivamente, iguais a Re = 6; 3781 106 m e Rp = 6; 3567 106m (Estacey, 1977).
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Convem notar que, ao nvel do mar (z = 0), a
equac~ao (9) fornece
g;0 = 1 +gp'=2 K:
(10)
Substituindo-se as equaco~es (9) e (10) em (3),
obtem-se que
'=2 :
g = K1 ,+ z=R
(11)
T
O valor do coeciente g , calculado atraves da
equac~ao (11), substitui-se na equac~ao (5), obtendo-se
onde representa a densidade do ar atmosferico a uma
altitude z e a aceleraca~o da gravidade que varia com a
latitude e altitude de acordo com a equac~ao (9).
Admitindo-se a atmosfera com comportamento de
gas ideal, a uma altitude z, onde a press~ao e a temperatura s~ao, respectivamente, p e T , a densidade e dada
por
= Mp=(RT);
(14)
onde M = 28; 96 10,3kg/m3 representa a massa molecular media do ar na troposfera desconsiderando-se a
umidade (Houghton 1977) e R = 8; 314 J/(mol K) e
a constante dos gases. A temperatura T , na equaca~o
(14), em Kelvin, e denida por T = T0 , z, que
admite a atmosfera com comportamento padr~ao, onde
= 6; 50 10,3 K/m.
Assim, a equac~ao (14) se transforma em
:
(15)
= R(TMp
0 , z)
Substituindo-se as equac~oes (9) e (15) em (13), temse que
,
'=
[ (t , z )] K,z=R
T ;
(12)
p p0 10
que representa a Equac~ao Barometrica Modicada de
Laplace.
z
18400 1+
0
2
1+
2
V Equac~ao Proposta
Construimos, a seguir, uma equac~ao barometrica para
a Troposfera, levando-se em conta as variac~oes da acelerac~ao da gravidade com a latitude e altitude. Antes
de tudo, devemos considerar a atmosfera em equilbrio
hidrostatico, de tal maneira que o vetor velocidade seja
constante em todas as posic~oes ou de valor nulo. Desta
maneira vale a equac~ao de Stevim (Halliday e Resnick
1962)
dp=dz = ,g;z ;
(13)
gp K , 2z : (16)
dp=dz = , R(TMp
, z) 1 + '=2
R
T
0
Separando-se as variaveis e integrando-se a equac~ao
(16), obtem-se
c
ln(p =p) =
Z p
0
p0
p
dp=p = , R(1Mg
+ '=2)
Mgp
= , RT (1
0 + '=2)
Z z
0
(K , 2z=RT ) dz
T0 , z
Z z
dz + 2T0 Z z dz K , R2T0
RT 0
T
0 1 , z=T0
= , RT (1Mg+p'=2) R2T0 z , T0 K , R2T0 ln 1 , T z
0
T
T
0
Explicitando-se p , na equac~ao (17), obtem-se que
p = p0 Mgp z
e, RRT (1+'=2)
2
onde p representa a press~ao ao nvel do mar.
R
1 , z
T0
Mgp ,K , 2T0 RT '=2)
(1+
;
:
(17)
(18)
d
As Tabelas abaixo foram geradas com as equac~oes
(12) e (18). Para se testar a coer^encia entre as
duas equac~oes, foram assumidas, arbitrariamente, as
press~oes e temperaturas ao nvel do mar, para as latitudes: 0, - 45 e - 900 (localidades do hemisferio Sul)4 .
4 As press~
oes p e p s~ao medidas em milibares (mb). A relac~ao entre a press~ao medida em atmosfera (atm), o pascal (Pa) e o milibar
(mb), e dada por: 1,000atm = 1,013105 Pa = 1013 mb.
Wilson Lopes
VI Conclus~ao
Usamos, na equac~ao (1) a aproximac~ao 1+0; 0185(=p+
0=p0 ) 1, obtendo-se a Equac~ao Barometrica Aproximada de Laplace: a equac~ao (5). Comparando-se
essa equac~ao com a equac~ao (6), apresentada por Dias
(1917), vericou-se que o coeciente de dilatac~ao dos
gases e o gradiente atmosferico termico s~ao, respectivamente, = (1/272,5) C,1 e = 5; 56 10,3 C/m,
ligeiramente diferentes dos valores padronizados atualmente. Sera que o coeciente de dilatac~ao dos gases
e o gradiente atmosferico termico eram conhecidos por
Laplace com os valores apresentados por Dias? Em
relac~ao aos valores atuais, essas grandezas fsicas apresentam os seguintes desvios: E 0; 25% e E 14%.
Por outro lado, na equac~ao (6), n~ao se leva em conta
as variac~oes da press~ao com a latitude, assumindo-se
g = 1, o que n~ao nos parece correto.
Transformou-se a equac~ao (5) na equac~ao (12), pelo
motivo de se ter encontrado maior facilidade em se calcular g em func~ao de ', K, z e RT do que em funca~o
de possveis valores tabelados de gp , g;z e g;0.
As equac~oes (12) e (18) s~ao equivalentes. Chegamos
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a essa conclus~ao pela simples observac~ao dos resultados
das press~oes p e p , calculados, respectivamente, com
as equac~oes (12) e (18) e registrados na Tabela 1.
Poder-se-ia levar em conta, tambem, na equaca~o
(18), a umidade atmosferica, pelas variac~oes que o
vapor d'agua poderia causar em M que representa a
massa molecular media da baixa atmosfera terrestre.
References
[1] COOK, A. H. Gravity and the Earth. London: Wykeham
Publications, 1969. 95 p.v.6. (The Wykeham Science Series: for schools and universities).
[2] DIAS, A. de Padua. Meteorologia e Climatologia. S~ao
Paulo: Secc~ao de Obras do \O Estado". 1917. 245 p.
[3] HALLIDAY , D. e RESNICK, R. Physics For Students
of Science and Engineering. New York: John Wiley &
Sons. 1962. 1075 p.
[4] LIBAULT, A. Geocartograa. S~ao Paulo: Editora Nacional. 1975. 388 p.
[5] STACEY, F. D. Physics of the Earth. New York: John
Willey & Sons, 1977. 414 p. 2. ed.