76
Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 21, no. 1, Mar
co, 1999
A Func~ao Geratriz para um Oscilador Harm^onico
Linear, Segundo a Teoria das Transformaco~es Can^onicas
(The generating function for a linear harmonic oscillator, by canonical transformations theory.)
Gustavo Jes
us Bracho Rodr
guez
Instituto de Fsica - UFRGS,
Caixa Postal 15051, CEP: 91501-970, Porto Alegre - RS, Brasil
Recebido em 7 de Marco, 1998
Se apresenta um metodo para construir a func~ao geratriz para um oscilador harm^onico linear
que transforma o movimento oscilatorio em um movimento linear e retilneo; isto e, F1(q; Q) =
1
2
ao e necessario ter conhecimento avanzado sobre a teoria de
2 m! q cot(a ; Q ). Para tal efeito, n~
Hamilton-Jacobi, como tambem do formalismo da variaveis de a^ngulo de ac~ao.
The generating function for a linear harmonic oscillator F1 (q; Q) = 21 m!q 2 cot(a ; Q ) which transforms oscillator motion into uniform rectilinear motion is constructed without using advanced knowlodge of the Hamilton-Jacobi theory or action angle variables.
Para os fsicos especialistas em Mec^anica Estatstica
e Teoria Qu^antica, as transformaco~es can^onicas e uma
poderosa ferramenta de trabalho.
As transformac~oes can^onicas que tal qual como
todos nos as conhecemos, que preservam o formalismo Hamiltoniano das equaco~es de movimento s~ao
de grande interesse na teoria da transformac~ao da
din^amica classica [1]. Embora raramente seja resolvido
um problema din^amico por transformac~oes can^onicas,
existe uma ampla compreens~ao do formalismo Hamiltoniano do espaco de fase . Geralmente este conhecimento do espaco de fase, e atingido estudando as transformac~oes can^onicas.
Em muitas situac~oes e escolhido o oscilador
harm^onico na grande parte dos livros de texto que
tratam do assunto, devido a sua fsica familiar e
algebra simples, que ajudam ao estudante a obter
uma melhor compreens~ao dos procedimentos empregados. Para tal nalidade, a func~ao geratriz F1(q; Q) =
1 m!q 2 cot(a ; Q ) e considerada [2], onde a e uma cons2
tante. Infelizmente n~ao existe nenhum metodo padr~ao
simples para determinar a func~ao geratriz. A s vezes
a funca~o geratriz desejada pode ser encontrada por um
metodo intuitivo, ou resolvendo a equac~ao de HamiltonJacobi, ou ainda, pela utilizac~ao de avanzados conhecimentos de variaveis de ^angulo de ac~ao.
O objetivo principal deste trabalho, e a de apresentar um metodo alternativo para determinar a func~ao geratriz de um oscilador harm^onico linear sem fazer uso de
conhecimentos avanzados da teoria de Hamilton-Jacobi,
nem muito menos de variaveis de ^angulo de ac~ao,
mais sim mediante a utilizac~ao das transformac~oes
can^onicas.
O Hamiltoniado H de um oscilador harm^onico linear
de masa m tem a forma:
p2 + kq2
H = 2m
2
2
p
1
= 2m + 2 m!2 q 2
(1)
e as equac~oes de movimento de Hamilton s~ao
q_ = @@pH = mp
(2)
e
p_ = , @@qH = ,m!2 q
(3)
mediante a utilizac~ao destas equac~oes e obtida uma
equac~ao de movimento familiar para todos nos
q + !2 q = 0
(4)
cuja soluc~ao e
q = C sin (!t + )
(5)
77
Gustavo J. Bracho Rodr
gues
onde = 0 (imposta pela condic~ao inicial q(0) = 0).
Derivando a eq.(3) em relaca~o ao tempo, e substituindo na eq.(1) e possvel escrever a Hamiltoniana H
em termos da amplitude C:
H = 21 m!2 C 2 :
(6)
Como a energia potencial e independente de q,_ isto
permte-nos considerar H como a energia do sistema,
ent~ao
E = 21 m!2 C 2
(7)
ou
sendo as soluc~oes destas duas ultimas equac~oes dadas
por
Pt
Q = Pt
m + = m
P = P0 = constante ;
(12)
tendo como condic~oes iniciais Q(0) = 0 e P(0) = P0.
Procedendo a eliminac~ao do tempo t como um
par^ametro comum entre as soluc~oes apresentadas nas
eqs.(5) e (12) respectivamente, obtemos
q = C sin !t
= C sin CQ
P sin m! Q
= m!
P
r
(8)
C = 2mE
!2 :
Agora se consideramos um novo sistema de coordenadas (P; Q), a Hamiltoniana para o caso de uma
partcula livre, que chamaremos de H e representada
por
P2 :
H (P; Q) = 2m
(9)
E natural pensar que a Hamiltoniana H seja
tambem igual a energia E = P 2=2m. Ao combinar
esta ultima equac~ao com a eq.(7), obtemos:
0
0
0
P = m!C
(14)
p = mq_ = P cos m! PQ
0
Existe uma via para determinar se as equac~oes (13)
e (14) s~ao transformac~oes can^onicas; esta via consiste
em vericar si a forma diferencial
n
X
(10)
Nesta situaca~o as equac~oes de movimento de Hamilton
est~ao dadas por
P
Q_ = m
P_ = 0
(11)
(13)
0
i=1
piqi ,
n
X
i=1
Pi Qi = F
(15)
e um diferencial exato quando expresado em termos das
variaveis (q; P), ent~ao a transformac~ao dada pelas 2n
func~oes Qi (q; p; t), Pi(q; p; t) e can^onica e F e a func~ao
geratriz [3]. Se estabelece que as equac~oes (13) e (14)
s~ao can^onicas, devido a condic~ao necessaria e suciente
obtendo desta forma um diferencial exato:
c
pq , PQ =
= P cos m! PQ q ,
0
m!q Q
sin m! PQ0
ou mediante a utilizac~ao da eq.(13)
pq , PQ =
Q
= P cot m! P q ,
2
m!q
Q
0
q sin m! PQ0
2 2 2
Q
= m!q cot m! P q , m2 ! q Q Q
0
P0 sin m! P0
(16)
78
Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 21, no. 1, Mar
co, 1999
= 21 m!q2 cot m! PQ
(17)
0
que e um diferencial exato. Comparando a eq.(17) com eq.(15), vemos facilmente, que o gerador da transformac~ao
e do tipo F1 (q; Q):
F1(q; Q) = 12 m!q 2 cot(a ; Q )
d
Na analises anterior, demonstramos que efetivamente n~ao e necessario fazer uso da teoria de HamiltonJacobi, e muito menos dos formalismo das variaveis de
^angulo de ac~ao para construir a uma func~ao geratriz
capaz de transformar o movimento oscilatorio em um
movimento linear.
Refer^encias
1. Mann, R. A., The Classical Dynamics of Particles,
Galiean and Lorentz Relativity. Academic Press,
New York. (1974)
2. Goldstein, H., Mecanica Clasica. Editorial Aguilar, Madrid, (1975).
3. Chow, T. L., Classical Mechanics. John Wiley.
New York (1995)