Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 19, no. 1, marco, 1997
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Soluc~ao da Equac~ao de Schrodinger Independente
do Tempo para um Poco de Potencial
Quadrado Assimetrico
(Solution of time-independent Schrodinger equation for an assymmetric square potential well)
Paulo Cesar M. Machado
Escola de Engenharia Eletrica, Universidade Federal de Goias
C.P. 12082, CEP 74641-970 Goi^ania - Go, E-mail: [email protected]
Francisco Aparecido P. Osorio
Departamento de Fsica, Universidade Federal de Goias
Departamento de Matematica e Fsica, Universidade Catolica de Goias
C.P. 131 CEP 74001-970 Goi^ania - Go.
Ant^onio Newton Borges
Departamento de Fsica, Universidade Federal de Goias
Departamento de Matematica e Fsica, Universidade Catolica de Goias
C.P. 131 CEP 74001-970 Goi^ania - Go, E-mail: [email protected]
Trabalho recebido em 20 de outubro de 1996
Utilizando um tema muito comum na Mec^anica Qu^antica, chegamos a um resultado muito
interessante que n~ao e usualmente abordado na literatura tradicional. Trata-se do calculo
dos autovalores da energia do eletron em pocos de potenciais quadrados nitos assimetricos.
Mostraremos que os autovalores da energia do eletron em pocos de potenciais nitos assimetricos podem ser obtidos a partir das soluc~oes de primeira e segunda classes dos pocos
de potenciais quadrados nitos simetricos, que s~ao encontradas nos livros de Mec^anica
Qu^antica.
Abstract
Using a common theme in Quantum Mechanics, we reached an interesting result which is
not usually developed in the traditional literature. This theme is the calculation of the
electron energy eigenvalue in assymmetric nite square potential wells. We will show that
the electron energy eigenvalue in assymmetric nite square potential wells may be obtained
from rst and second classes solutions of symmetric nite square potential wells, which are
found in Quantum Mechanics books.
I. Introduc~ao
Nos anos recentes com o desenvolvimento de sosticadas tecnicas de crescimento de cristais, tais como a
Epitaxia por Feixe Molecular (MBE), tornou-se possvel
a fabricac~ao de estruturas semicondutoras, nas quais
eletrons cam connados em pocos qu^anticos quadrados, geralmente constitudos de GaAs. Ent~ao o que
antes era um simples problema acad^emico de encontrar
a soluc~ao da equac~ao de Schrodinger para o eletron connado em um poco qu^antico, passou a ter um interesse
pratico[1] .
Frequentemente os pesquisadores que trabalham
nessa area se defrontam com a quest~ao de se considerar
o poco como simetrico ou assimetrico. Dependendo do
P. C. M. Machado et al.
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problema que se esta estudando, a escolha correta pode
trazer grande simplicac~ao nos calculos.
Tradicionalmente os livros de Mec^anica Qu^antica
apresentam a soluc~ao do problema classico, que e o
calculo dos autovalores da energia de um eletron em um
poco de potencial quadrado nito, considerando o poco
simetrico e de largura L(;L=2 < y < L=2): Normalmente calcula-se as autofunc~oes do eletron e, atraves
de metodos gracos, calcula-se quantos e quais s~ao os
autovalores deste problema [2 3] . No entanto, quando
se trata de um poco de potencial quadrado nito assimetrico de mesma largura L(0 < y < L) n~ao se v^e o
mesmo tratamento. Neste trabalho vamos calcular os
autovalores da energia do eletron para os dois tipos de
pocos simetrico e assimetrico e mostrar que as soluc~oes
s~ao equivalentes.
Fazendo
r
K1 = 2mE
~2
(3)
d2(y) + K 2 (y) = 0
1
dy2
(4)
teremos a equac~ao diferencial
cuja soluc~ao e
;
(y) = B1 senK1y + B2 cosK1 y; p= ; L2 < y < L2 (5)
Nas regi~oes y < ;L=2 e y > L=2 teremos:
d2(y) ; 2m(V0 ; E) (y) = 0
dy2
~2
e fazendo
II. Poco de potencial quadrado nito simetrico
Seja um eletron em um poco qu^antico de largura
L(;L=2 < y < L=2); connado pelo potencial V (y),
dado por:
V (y) =
V0 p=jyj >
0 p=jyj <
L
2
2
L
K2 = 2m(V~02; E)
(7)
teremos a equac~ao diferencial
d2(y) ; K 2 (y) = 0
2
dy2
cujas soluc~oes s~ao
(1)
conforme mostrado na gura 1.
Consideremos o caso em que a energia do eletron e
menor que a altura da barreira, isto e, E < V0 e seja m
a massa efetiva do eletron. Na regi~ao ;L=2 < y < L=2
devemos resolver a equac~ao de Schrodinger independente do tempo:
d2(y) + 2mE (y) = 0(2)
dy2
~2
r
(6)
(y) = C1e
e
K2 y
(y) = D1 e
+ C2 e;
K2 y
K2 y
(8)
; p=y < ; L2
(9)
; p=y > L2
(10)
+ D2 e;
K2 y
Impondo a condic~ao de que a autofunc~ao permaneca
nita para todo y, deveremos ter C2 = 0 e D1 = 0. As
equac~oes (9) e (10) se reduzem ent~ao a
(2)
(y) = C1 e
K2 y
e
(y) = D2 e;
; p=y < ; L2
(11)
; p=y > L2
(12)
K2 y
Usando as condic~oes de continuidade das autofunc~oes e conservac~ao da corrente nas interfaces do
poco, teremos as seguintes relac~oes a serem satisfeitas:
Figura 1. Representaca~o de um poco de potencial quadrado
simetrico.
e
K1 tg K21L = K2
(13)
K1 cotg K21 L = ;K2 :
(14)
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Como as duas equac~oes (13) e (14) n~ao podem ser
satisfeitas simultaneamente, teremos duas classes de autofunco~es para o poco quadrado simetrico.
Denida pela equac~ao (13):
K1 tg K21L = K2
II.1 Primeira classe
e com a func~ao de onda do eletron dada por
(y) =
8 <
2
2
: 2
B cos 21 e
B cosK1 y
B cos 21 e
K2 L=
K L
K2 L=
K L
2
2
e
K2 y
p=y < ; 2
p= ; 2 < y <
p=y > 2
9
=
L
L
e;
K2 y
L
(15)
L
2 ;
II.2 Segunda classe
Denida pela equac~ao (14):
e com a func~ao de onda do eletron dada por
8 <
K1 cotg K21 L = ;K2
;B1 sen
K1 L
2
senK1y
(y) = : B
1
B1 sen 21 e
K L
e
K2 L=
K2 L=
As constantes B1 e B2 s~ao determinadas atraves da
normalizac~ao da func~ao de onda em todo o espaco.
III. Poco de potencial quadrado nito assimetrico
2
2
e
K2 y
p=y < ; 2
p= ; 2 < y <
p=y > 2
L
L
e;
K2 y
L
V0 p=y < 0
V (y) = : 0 p=0 < y < L
(17)
V0 p=y > L
conforme mostrado na gura 2.
Estaremos novamente considerando o caso em que a
energia do eletron e menor que a altura da barreira, isto
e, E < V0 . Como no caso anterior, teremos as soluc~oes:
8
>
>
<
(y) = Ce
(y) = >
>
:
K2 y
(19)
; p=y > L
(20)
1K2
tg K1 L = K2K
2 ; K2
1
2
(21)
com a func~ao de onda do eletron dada por
K y
K
K
K
; p=y < 0
Usando novamente as condic~oes de continuidade das
autofunc~oes e conservac~ao da corrente nas interfaces do
poco, teremos a seguinte relac~ao a ser satisfeita:
K
K
K2 y
(y) = De;
A 12 e 2
A senK1 y + 12 cosK1y A senK1 L + 12 cosK1 L e
K
2
(y) = AsenK1 y + BcosK1 y ; p=0 < y < L (18)
Seja agora um eletron em um poco qu^antico de largura L(0 < y < L); connado pelo potencial V (y); dado
por:
8
<
(16)
L
K2 L
e;
K2 y
p=y < 0
p=0 < y < L
p=0 > L
(22)
P. C. M. Machado et al.
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e igual ao conjunto das soluco~es de primeira e segunda
classe do poco qu^antico nito simetrico. Ent~ao, se encontrarmos as soluco~es das equac~oes (13) e (14), estaremos encontrando as soluc~oes da equac~ao (21).
VI. Conclus~oes
Figura 2. Representaca~o de um poco de potencial quadrado
assimetrico.
A constante A e determinada atraves da normalizac~ao da func~ao de onda em todo o espaco.
IV. Comparac~ao entre os autovalores de energia
dos dois pocos
Com o uso da relac~ao trigonometrica
1
tgK1 L = 2tg 22 1 ;
1 ; tg 2
a equac~ao (21) se torna:
K L
(23)
K L
; tg2 K1 L=2
K12 ; K22 = 2K1 K2 1 2tg
K1 L=2
que pode ser fatorada, resultando em:
A grande vantagem de trabalharmos com o poco
assimetrico e que temos uma unica express~ao para a
func~ao de onda que descreve o conjunto completo dos
nveis de energia, enquanto que para o poco simetrico
temos duas classes de func~oes. A desvantagem caria por conta de encontrar as soluc~oes para a equaca~o
transcendental (21). No entanto, no presente trabalho,
nos mostramos que tais soluc~oes podem ser obtidas a
partir das soluc~oes do poco simetrico, que s~ao conhecidas e podem ser facilmente encontradas em livros de
Mec^anica Qu^antica.
Refer^encias
(24)
K1 tg K21 L ; K2 K1 cot g K21 L + K2 = 0 (25)
Esta equac~ao e o produto das equac~oes (13) e (14) e,
portanto, a soluc~ao do poco qu^antico nito assimetrico
1. T. Ando, A. B. Fowler e F. Stern, Rev. Modern
Phys., 54, 437 (1982).
2. R. M. Eisberg, Fundamentos da Fsica Moderna.
Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1979.
3. R. M. Eisberg, R. Resnick, Fsica Qu^antica. Campus, Rio de Janeiro, 1988.