~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
1
~ CARLOS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SAO
^
CENTRO DE CIENCIAS
EXATAS E DE TECNOLOGIA
¶
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
¶
O ENSINO DA ALGEBRA
ELEMENTAR
¶ DE SUA HISTORIA
¶
ATRAVES
Prof. Jo~ao C.V. Sampaio. [email protected]
1
~
EQUAC
» OES
DO PRIMEIRO GRAU
As equa»c~oes do 1o grau n~ao tem uma hist¶oria propriamente dita. A
simbologia moderna com que s~ao escritas s¶o come»cou a surgir no s¶eculo
18. Do ponto de vista elementar, equa»co~es s~ao problemas do seguinte
tipo: Determine certos valores desconhecidos, sabendo que quando esses valores s~ao manipulados algebricamente, de uma certa maneira, s~ao
obtidos certos valores dados. As primeiras equa»co~es na forma escrita
surgiram no antigo Egito 3000 anos a.C.
~
EQUAC
» OES
DO 1o GRAU NO EGITO ANTIGO
A maior parte da matem¶atica eg¶³pcia antiga, ou seja, do 3o mil^enio
antes do in¶³cio da era crist~a, encontrada em alguns poucos papiros famosos, consiste de um comp^endio de t¶abelas e algoritmos aritm¶eticos,
visando a resolu»ca~o de problemas u
¶teis tais como problemas de medi»c~ao
de ¯guras geom¶etricas.
Num desses papiros, o Papiro de Rhind, encontramos as primeiras
equa»c~oes do primeiro grau, na forma de problemas "aha". Aha signi¯cava quantidade. Tais problemas referem-se aµ determina»c~ao de quantidades desconhecidas.
PROBLEMAS aha DO PAPIRO RHIND
1. (Problema 24) Uma quantidade e seu s¶etimo, somadas juntas, d~ao 19. Qual ¶e a
quantidade?
2. (Problema 25) Uma quantidade e sua metade, somadas juntas, resultam 16. Qual
¶e a quantidade?
3. (Problema 26) Uma quantidade e 2=3 dela s~ao somadas. Subtraindo-se, desta
soma, 1=3 dela, restam 10. Qual ¶e a quantidade?
2
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
Note que as equa»co~es do 1o grau correspondentes aos tr^es problemas acima s~ao,
respectivamente (con¯ra),
x+
x
= 19;
7
x+
x
= 16;
2
(x +
2
1
2
¢ x) ¡ (x + ¢ x) = 10
3
3
3
O m¶
etodo da falsa posi»c~
ao
Para problemas desse tipo, isto ¶e, para problemas que se reduzem, ap¶os simpli¯ca»c~oes, a uma equa»c~ao da forma a ¢ x = b, os eg¶³pcios empregavam o m¶etodo da falsa
posi»c~ao, exempli¯cado como segue, na resolu»c~ao do problema 1.
Resolu»
c~
ao do problema 1 Escolhemos, ao acaso, uma quantidade inteira divis¶³vel
por 7, digamos 7. Um s¶etimo de 7 ¶e 1. Somando 7 a 17 de 7 obtemos 8. Agora
empregamos uma regra de tr^es simples:
quantidade
7
x
resultado
8
19
Portanto,
7
8
133 .
5
=
) 8x = 7 ¢ 19 ) 8x = 133 ) x =
: : x = 16
x
19
8
6
Observa»c~ao: 16 56 signi¯ca 16 inteiros e cinco sextos, isto ¶e, 16 56 = 16 +
5
6
Quest~
oes complementares
1. Resolva os problemas 2 e 3 acima, utilizando o m¶etodo da falsa posi»ca~o. Resolvaos tamb¶em pelos m¶etodos alg¶ebricos usuais.
2. Porque o m¶etodo da falsa posi»c~ao funciona na resolu»ca~o dos problemas acima?
Ele funciona para quaisquer equa»c~oes do 1o grau?
3. Quest~ao para discuss~ao: Voc^e acha que tais problemas, juntamente com o m¶etodo
da falsa posi»c~ao, constituem material adequado numa introdu»c~ao µas equa»co~es do
primeiro grau?
O BANHO DE ARQUIMEDES
Arquimedes de Siracusa foi um grande f¶³sico e matem¶atico grego do
s¶eculo 3 a.C., pesquisador da \Universidade" de Alexandria, em Alexandria, cidade do antigo Egito fundada por Alexandre o Grande µas margens
do Rio Nilo. Nesse mesmo lugar, nessa mesma Universidade, meio s¶eculo
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
3
antes, Euclides escrevera o primeiro livro de matem¶atica sistematicamente organizado da hist¶oria, Os Elementos, constitu¶³do de 13 Livros,
os quais hoje s~ao chamados os 13 Cap¶³tulos dos Elementos.
Conta uma lenda que o rei Hier~ao de Alexandria suspeitava que sua
coroa n~ao teria sido feita de ouro puro, mas sim de uma mistura (liga) de
ouro e prata, e incumbiu Arquimedes de calcular as quantidades desses
metais empregadas na confec»ca~o da coroa. Arquimedes descobriu um
meio de fazer isso enquanto se banhava. Celebrando a descoberta, saiu
µas ruas gritando Eureka! (Descobri!), tendo no entanto se esquecido de
vestir-se ao sair.
Arquimedes deduziu v¶arias rela»c~oes m¶etricas de c¶³rculos e esferas. Arquimedes foi
o primeiro matem¶atico a deduzir que a a¶rea do c¶³rculo de raio r ¶e dada por A = ¼r2 .
10
Deduziu tamb¶em a seguinte aproxima»c~ao para o n¶
umero ¼: 3 71
< ¼ < 3 17 . Deduziu
ainde que a ¶area da superf¶³cie da esfera de raio r ¶e dada por S = 4¼r2 , enquanto que
o volume da esfera ¶e dado por V = 43 ¼r3 .
PROBLEMAS ELEMENTARES
DE BALANCEAMENTO DE MISTURAS
Veremos agora que, al¶em de algumas considera»c~oes f¶³sicas elementares, as ferramentas necess¶arias para a resolu»c~ao do problema da coroa do rei Hier~ao s~ao equa»c~oes do
1o grau!
Al¶em disso, veremos que o procedimento matem¶atico utilizado na resolu»c~ao desse
problema aplica-se a outros problemas an¶alogos, aos quais chamare-mos problemas de
balanceamento de misturas.
Como exemplos de problemas de balanceamento de misturas, apresentamos os dois
seguintes:
1. Um t¶ecnico de laborat¶orio tem duas solu»c~oes de ¶acido sulf¶
urico (solu»c~ao ¶acida
= ¶agua destilada + a¶cido). A primeira ¶e 30% a¶cida e a segunda ¶e 70% a¶cida.
Quantos mililitros de cada ele dever¶a usar para obter 200 m` de uma solu»c~ao 60%
¶acida?
2. Que volume de ¶alcool deve ser adicionado a 600 litros de uma solu»c~ao 15% alco¶olica (solu»ca~o alco¶olica = ¶alcool + a¶gua) de modo que a solu»c~ao resultante seja
25% alco¶olica?
Veremos agora como equa»co~es do 1o grau podem ser empregadas na resolu»ca~o dos
dois problemas acima.
Resolu»
c~
ao do problema 1 Ser~ao utilizados x m` da solu»c~ao 30% ¶acida e y m` da
solu»ca~o 70% ¶acida. A solu»c~ao resultante ser¶a de 200 m` e 60% ¶acida.
Sendo assim, x m`+y m` = 200 m`. Comparando-se por¶em as quantidades de a¶cido
sulf¶
urico, temos agora:
4
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
30% de x m` + 70% de y m` = 60% de 200 m`
Temos ent~ao o sistema linear de duas equa»co~es em duas inc¶ognitas
½
x
30
x
100
+
+
y
70
y
100
=
=
200
¢ 200
60
100
Tudo se reduz a uma equa»c~ao do 1o grau quando substitu¶³mos y = 200 ¡ x na
segunda equa»ca~o, obtendo ent~ao:
3
7
6
x + (200 ¡ x) =
¢ 200
10
10
10
Da¶³ pra frente, as coisas se simpli¯cam:
3x + 7(200 ¡ x) = 6 ¢ 200 ) ¡4x + 1400 = 1200 ) 4x = 200 ) x = 50
Como y = 200 ¡ x, obtemos tamb¶em y = 200 ¡ 50 = 150.
Assim, s~ao necess¶arios 50 m` da solu»ca~o 30% ¶acida e 150m` da solu»c~ao 70% ¶acida
para se obter 200 m` de uma solu»c~ao 60% ¶acida.
Resolu»
c~
ao do problema 2 A adi»c~ao de mais a¶lcool aumenta, na solu»c~ao, a quantidade de ¶alcool, mas deixa inalterada a quantidade de ¶agua, de onde deduzimos uma
equa»ca~o do 1o grau que nos dar¶a solu»c~ao do problema:
A quantidade de a¶gua presente na solu»ca~o alco¶olica ¶e, conforme o enunciado do
85
problema, 85% de 600 litros, ou seja, 100
¢ 600 = 85 ¢ 6 = 510 litros.
Ap¶os a adi»ca~o de x litros de a¶lcool, a solu»c~ao alco¶olica ter¶a volume de 600 + x
litros e concentra»ca~o de ¶alcool da ordem de 25%. A ¶agua permanecer¶a a mesma em
quantidade, tendo agora por¶em concentra»c~ao da ordem de 75%, de onde deduzimos:
75
(600 + x) = 510
100
ou seja
3
4 ¢ 510
(600 + x) = 510 ) 600 + x =
) 600 + x = 680 ) x = 680 ¡ 600 :.: x = 80
4
3
Portanto, ser¶a necess¶ario adicionar 80 litros de ¶alcool aos 600 ` da solu»c~ao 15%
alco¶olica para que ela se torne 25% alco¶olica.
~ DO PROBLEMA DE ARQUIMEDES
SOLUC
» AO
A densidade de um corpo material n~ao oco (um prato de porcelana, uma bola de
metal, uma placa de isopor, etc.) ¶e a raz~ao entre sua massa e seu volume. Por exemplo,
a densidade do mel ¶e de 1300 g por litro, ou seja, 1300 g=1000 cm3 = 1; 3 g=cm3 .
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
5
Assim a densidade de um corpo met¶alico ¶e ent~ao calculada pela f¶ormula
densidade =
massa
volume
Desta rela»c~ao, deduzimos que, uma vez conhecida a densidade do corpo, seu volume
¶e dado pela raz~ao
massa
volume =
densidade
Por exemplo, o volume de 1 kg de mel ¶e dado por
volume =
massa
1 kg
=
¼ 769 m`
densidade
1; 3 kg=`
A massa de um corpo ¶e uma quantidade calcul¶avel por compara»c~ao com outra
massa. Para calcul¶a-la, basta que tenhamos aµ m~ao uma balan»ca de dois pratos e v¶arios
pesos de metal. Este procedimento do c¶alculo da massa j¶a foi muito utilizado nas
mercearias.
J¶a o volume do corpo, desde que n~ao seja esponjoso, pode ser determinado por
imers~ao deste corpo num tanque de a¶gua. Imergindo um corpo met¶alico num tanque
de a¶gua, a varia»c~ao da altura do n¶³vel da ¶agua nos d¶a o volume do corpo mergulhado.
Suponha ent~ao que voc^e tem um coroa de m gramas de uma liga de ouro e prata.
Suponha que voc^e deseja determinar a quantidade x de gramas de ouro e a quantidade
y de gramas de prata presentes nessa liga de metal. Ent~ao x + y = m. Por outro lado,
o volume de ouro presente na coroa ¶e dado pela raz~ao
volume do ouro =
massa do ouro
densidade do ouro
Nesse caso, sendo a densidade do ouro previamente conhecida (sabe-se que ela ¶e
19; 3 g=cm3 = 19 300 kg=`) teremos que
volume do ouro =
x
cm3
19; 3
Analogamente, como a densidade da prata ¶e 10; 5 g=cm3 = 10 500 kg=`, teremos
volume da prata =
y
cm3
10; 5
A soma dos volumes do ouro e da prata presentes na coroa ¶e o volume da coroa, ou
seja
x
y
cm3 +
cm3 = volume da coroa
19; 3
10; 5
Chegamos ent~ao a um sistema linear de duas equa»co~es em duas inc¶ognitas
½
x + y = m
y
x
+ 10;5
= v
19;3
6
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
onde m ¶e a massa da coroa (em gramas) e v ¶e o seu volume (em cent¶³metros c¶
ubicos).
Um problema de ilustra»c~
ao
A densidade do ouro ¶e 19; 3 g=cm3 e a da prata ¶e 10; 5 g=cm3 . Suponha que a coroa
do Rei Hier~ao, feita de uma liga de ouro e prata, tenha massa de 4 200 g (ser¶a que a
cabe»ca do rei agÄ
uenta?) e volume de 268 cm3 . Quais s~ao as quantidades de ouro e
prata presentes na coroa?
Solu»c~
ao Segundo as equa»c~oes que deduzimos acima, sendo x e y as respectivas quantidades (em gramas) de ouro e prata presentes na coroa, teremos
½
x + y = 4 200
y
x
+ 10;5
= 268
19;3
Teremos ent~ao que, como y = 4 200 ¡ x,
x
4 200 ¡ x
+
= 268
19; 3
10; 5
¡8;8
Au
¶ ltima equa»c~ao nos d¶a a equa»c~ao do 1o grau simpli¯cada 202;65
x + 400 = 268 e
ent~ao x = 3 039; 75 g e y = 1 160; 25 g. Veri¯que os c¶alculos. Uma calculadora ajudar¶a
muito, mas ¶e dispens¶avel neste exemplo escolhido.
Problemas complementares
1. Duas toneladas de uma liga met¶alica contem 15% de estanho. Que quantidade
de estanho deve ser adicionada a essa liga de modo a aumentar a concentra»c~ao
de estanho a 20%? Resposta: 125 kg.
2. (Este problema requer o uso de uma calculadora eletr^onica). A densidade do
ouro ¶e de 19; 3 g=cm3 e a do cobre ¶e de 8; 9 g=cm3 . Uma liga de ouro e cobre
tem 6 cm3 e 95 g. Quais s~ao as quantidades de ouro e cobre presentes na liga?
Resposta: 77; 2 g de ouro e 17; 8 g de cobre.
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
2
7
~
EQUAC
» OES
DO SEGUNDO GRAU
^
¶ DIOFANTO
DA ANTIGA BABILONIA
ATE
Os antigos babil^onios (ou babil^onicos) (c. 1800 a.C.), habitantes do sul
da antiga Mesopot^amia (parte do atual Iraque), j¶a resolviam o problema
de encontrar dois n¶
umeros x e y cuja soma ¶e p e cujo produto ¶e q.
O m¶etodo empregado pelos babil^onios, traduzido para nossas nota»co~es
modernas, ¶e basicamente o seguinte:
A priori, x e y s~ao representados na forma
x=
p
p
+a e y = ¡a
2
2
dado que x + y = p.
Tem-se ent~ao
p
p2
p
¡ a2 = q
xy = ( + a)( ¡ a) =
2
2
4
de onde
p2
p2 ¡ 4q
a =
¡q =
4
4
2
Daqui, se deduz
r
a=
p2 ¡ 4q
4
(os n¶
umeros negativos ainda n~ao haviam sido inventados).
Assim, x e y acabam sendo expressos como
r
r
2
p ¡ 4q
p2 ¡ 4q
p
p
x= +
e y= ¡
2
4
2
4
Cerca de dois mil^enios depois (em torno do ano 250 da era crist~a),
este mesmo m¶etodo aparece no tratado Arithmetica do grego Diofanto,
um conjunto de 13 livros sobre solu»c~oes racionais de equa»co~es alg¶ebricas.
8
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
Diofanto ¶e considerado o pai da ¶algebra no sentido de ter sido o
primeiro a empregar nota»co~es simb¶olicas para express~oes alg¶ebricas. Suas nota»c~oes por¶em eram bem diferentes das empregadas hoje. Os tratados de matem¶atica dos precursores de Diofanto eram escritos no estilo
ret¶orico, isto ¶e, sem nenhum emprego de s¶³mbolos.
~
^
EQUAC
» OES
DO SEGUNDO GRAU DOS BABILONIOS
A DIOFANTO
Como exemplos dos primeiros problemas de equa»c~oes do segundo grau, encontrados
nas t¶abuas de argila dos antigos babil^onios, bem como no livro Arithmetica de Diofanto,
resolvidos pelo m¶etodo acima descrito, temos os seguintes:
1. (Babil^onios, 1800 a.C.) Encontre dois n¶
umeros cuja soma ¶e 14 e cujo produto ¶e
45.
2. (Diofanto, em Arithmetica) Encontre dois n¶
umeros cuja soma ¶e 20 e cuja soma
de seus quadrados ¶e 208.
Resolu»c~ao do problema 1 S~ao procurados dois n¶
umeros x e y satisfazendo
x + y = 14 e x ¢ y = 45
Segundo o m¶etodo acima descrito, fazemos
x= 7¡a e y = 7+a
Teremos ent~ao que a equa»c~ao xy = 45 torna-se (7 ¡ a)(7 + a) = 45, ou seja,
72 ¡ a2 = 45, de onde a2 = 4, e portanto a = §2.
Os babil^onios, bem como Diofanto, consideravam apenas a solu»c~ao positiva a = 2.
Historicamente, o conceito de n¶
umero negativo parece ter surgido no s¶eculo 7, num
tratado do astr^onomo hindu Bramagupta.
Assim sendo, tomando a = 2, teremos x = 5 e y = 9. Se tomarmos a = ¡2, teremos
x = 9 e y = 5. Portanto os n¶
umeros procurados s~ao 5 e 9.
Resolu»
c~
ao do problema 2 S~ao procurados dois n¶
umeros satisfazendo
x + y = 20 e x2 + y 2 = 208
Novamente, assumimos, com base na soma dada dos n¶
umeros procurados,
x = 10 ¡ a e y = 10 + a
A equa»c~ao x2 + y 2 torma-se ent~ao
(10 ¡ a)2 + (10 + a)2 = 208
ou seja
(100 ¡ 20a + a2 ) + (100 + 20a + a2 ) = 208
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
de onde
9
200 + 2a2 = 208 ) 2a2 = 8 ) a2 = 4 :.: a = §2
Voltamos a lembrar que somente a solu»ca~o positiva a = 2 era admitida.
Assim sendo, os n¶
umeros procurados s~ao 10 ¡ 2 = 8 e 10 + 2 = 12.
Problemas Complementares
1. (Outro problema do Arithmetica de Diofanto) Encontre dois n¶
umeros cuja soma
¶e 10 e cuja soma de seus cubos ¶e 370. Resposta: 3 e 7.
2. Encontre dois n¶
umeros cujo produto ¶e 24 e cuja soma dos cubos ¶e 280. Resposta:
4 e 6.
3. Explique porqu^e, se x + y = p, existir¶a sempre um n¶
umero a tal que
x=
p
p
+ a e y = ¡ a:
2
2
4. Considere o problema dos babil^onios de encontrar dois n¶
umeros cuja soma ¶e 14 e
cujo produto ¶e 45. Que outros m¶etodos podem ser empregados em sua resolu»c~ao?
Que vantagens e desvantagens apresentam estes m¶etodos em rela»ca~o ao m¶etodo
exposto nos exemplos acima?
5. (Diofanto) Encontre dois n¶
umeros x e y satisfazendo
x ¡ y = 10 e x3 ¡ y 3 = 2170
[M¶etodo de Diofanto: se a diferen»ca x ¡ y = p ¶e dada, escrevemos
x=a+
p
p
e y =a¡
2
2
Compare-o com o caso em que a soma x + y ¶e dada.] Resposta: x = 13, y = 3
6. (Diofanto) Encontre dois n¶
umeros x y y satisfazendo
x ¡ y = 4 e x3 + y 3 = 28(x + y)
Resposta: x = 6 e y = 2; ou x = 2 e y = ¡2; ou x = ¡2 e y = ¡6. Diofanto
buscava somente solu»c~oes n~ao negativas.
7. Resolva a equa»c~ao x2 ¡6x = 27. [M¶etodo babil^onico: Escreva a equa»c~ao na forma
x ¢ (x ¡ 6) = 27. Fa»ca x ¡ 6 = y. O problema ent~ao consiste em determinar x (e
y, embora s¶o estejamos buscando valores de x) satisfazendo
x ¡ y = 6 e xy = 27:]
Resposta: x1 = 9, x2 = ¡3
8. Resolva a equa»c~ao x2 + 6x = 16 pelo m¶etodo babil^onico descrito no exerc¶³cio
anterior. Resposta: x1 = 2, x2 = ¡8
10
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
AL-KHWARIZMI
O primeiro tratado a abordar sistematicamente as equa»c~oes do 2o
grau e suas solu»c~oes foi Os Elementos de Euclides (s¶ec. 3 a.C.). Em Os
Elementos, Euclides nos d¶a solu»co~es geom¶etricas da equa»ca~o do segundo
grau. Os m¶etodos geom¶etricos ali encontrados, embora interessantes,
n~ao s~ao pr¶aticos.
No in¶³cio do s¶eculo 9, o Califa Al Mamum, recebeu atrav¶es de um
sonho, no qual teria sido visitado pelo imortal Arist¶oteles, a instru»ca~o
de fundar um centro de pesquisa e divulga»c~ao cient¶³¯ca. Tal institui»c~ao,
a Casa de Sabedoria, foi fundada em Bagd¶a, hoje capital do Iraque,
µas margens do Rio Tigre. L¶a, a convite do Califa, estabeleceu-se AlKhwarizmi, juntamente com outros ¯l¶osofos e matem¶aticos do mundo
¶arabe.
A pedido do Califa, Al-Khwarizmi escreveu um tratado popular sobre
a ci^encia das equa»c~oes, chamado Hisab al-jabr wa'l muqabalah, ou seja,
o Livro da Restaura»c~ao e Balanceamento.
Al-Khwarizmi introduziu simpli¯ca»co~es que popularizaram, ou melhor, simpli¯caram a ¶algebra das equa»co~es do 2o grau. Seu m¶etodo de
resolu»ca~o da equa»c~ao do 2o grau ¶e inspirado na interpreta»c~ao de n¶
umeros
por segmentos, introduzida por Euclides. Al-Khwarizmi tamb¶em popularizou o sistema de representa»ca~o decimal posicional dos n¶
umeros inteiros,
criado pelos hindus, hoje de uso corrente.
De Al-Khwarizmi derivam-se as palavras algarismo e algoritmo, ambas latiniza»c~oes de Al-Khwarizmi. Do termo al-jabr, que signi¯ca restaura»c~ao, deriva-se a palavra ¶algebra ! O termo al-muqabalah, que signi¯ca
oposi»c~ao ou balanceamento, ¶e o que hoje entendemos como cancelamento.
Por exemplo, dada a equa»ca~o
x2 + 3x ¡ 2 = 3x + 4
a al-jabr nos d¶a
x2 + 3x = 3x + 4 + 2
enquanto que a muqabalah cancela o termo 3x, nos dando
x2 = 6
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
11
No seu trabalho, Al-Khwarizmi apresenta dois m¶etodos geom¶etricos
de solu»c~ao da equa»ca~o do 2o grau. Al-Khwarizmi n~ao fazia uso de nota»c~oes simb¶olicas em seu tratado. Suas equa»c~oes s~ao escritas no estilo
ret¶orico, isto ¶e, sem o emprego de s¶³mbolos.
~ DA EQUAC
~ DO 2o GRAU PELOS METODOS
¶
RESOLUC
» AO
» AO
DE ALKHWARIZMI
Para exempli¯car seus dois m¶etodos, buscaremos a solu»c~ao da equa»ca~o do 2o grau
x2 + 10x = 39
Esta equa»c~ao ¶e realmente encontrada no trabalho de Al-Khwarizmi.
Solu»c~
ao da equa»c~
ao x2 + 10x = 39 pelo 1o m¶
etodo de Al-Khwarizmi
Primeiramente, a equa»c~ao ¶e escrita na forma
10
5
¢ x = 39; ou seja, x2 + 4 ¢ ¢ x = 39
x2 + 4 ¢
4
2
Figura 1. Na parte superior, a equa»c~ao x2 + 5x = 39 ¶e interpretada geometricamente. Na
parte inferior, o completamento do quadrado ¶e realizado, resultando na equa»c~ao equivalente x2 + 4 ¢ 52 x + 4 ¢ ( 52 )2 = 39 + 4 ¢ ( 52 )2
Interpretando geometricamente o lado esquerdo desta equa»ca~o, como na ¯gura 1,
temos a soma das ¶areas de um quadrado de lado x e de quatro ret^angulos de lados 5=2
e x totalizando 39 unidades de ¶area.
Completando ent~ao essa soma de a¶reas com a a¶rea de quatro quadrados de lados
5=2, cada um de ¶area 25=4, obt¶em-se a ¶area de um quadrado de lado x + 2 ¢ ( 52 ) = x + 5,
medindo ent~ao 39 + 4 ¢ ( 25
) = 39 + 25 = 64 unidades de a¶rea. Algebricamente,
4
µ ¶
µ ¶2
µ ¶2
5
5
5
2
x +4¢
x+4¢
= 39 + 4 ¢
2
2
2
12
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
ou seja,
(x + 5)2 = 39 + 25 = 64
de onde, ent~ao, Al-Khwarizmi deduz que
x+5 =
p
64 = 8
Chega-se ent~ao µa solu»ca~o x = 8 ¡ 5 = 3. Para Al-Khwarizmi por¶em, quantidades
negativas careciam de sentido. No seu m¶etodo, a solu»c~ao x = ¡8 ¡ 5 = ¡13 n~ao vem
µa tona. Ao resolvermos equa»c~oes do 2o grau n¶os podemos, no entanto, usar o m¶etodo
geom¶etrico de Al-Khwarizmi como um guia no completamento de quadrados e, ao ¯nal,
\esquec^e-lo", deduzindo tamb¶em eventuais solu»c~oes negativas da equa»ca~o.
Solu»c~
ao da equa»c~
ao x2 + 10x = 39 pelo 2o m¶
etodo de Al-Khwarizmi
Neste m¶etodo mais simples, a equa»c~ao ¶e escrita na forma
x2 + 5x + 5x = 39
Figura 2. Na parte superior, a equa»c~ao x2 + 5x = 39 ¶e interpretada geometricamente. Na
parte inferior, o completamento do quadrado ¶e realizado, resultando na equa»c~ao equivalente x2 + 5x + 5x + 52 = 39 + 52
Interpretando geometricamente o lado esquerdo desta equa»ca~o, como na ¯gura 2,
temos agora a soma das ¶areas de um quadrado de lado x e de dois ret^angulos de lados
5 e x totalizando 39 unidades de ¶area. Completando ent~ao essa soma de a¶reas com a
¶area de um quadrado de lado 5, portanto de ¶area 25, obt¶em-se a ¶area de um quadrado
de lado x + 5, medindo ent~ao 39 + 25 = 64 unidades de a¶rea. Algebricamente,
x2 + 5x + 5x + 52 = 39 + 52
de onde, ent~ao,
(x + 5)2 = 39 + 25 = 64
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
13
Mas e se tivermos que tratar da equa»ca~o x2 ¡ 5x = 39? Como interpretar geometricamente o completamento de quadrados, se agora estamos subtraindo dois ret^angulos
de lados 5 e x?
O melhor, neste caso, ¶e fazer uma substitui»ca~o x = ¡u, de onde x2 = u2 . A equa»c~ao
ent~ao se torna u2 + 8u = 33. Aplicando ent~ao o m¶etodo geom¶etrico de Al-Khwarizmi,
chegaremos µas solu»c~oes u1 = 3 e u2 = ¡11, de onde obtemos x1 = ¡3 e x2 = 11.
Problemas complementares
1. (Al-Khwarizmi) Encontre o lado de um quadrado inscrito num tri^angulo de lados
10, 10 e 12. Resposta: O quadrado tem lado de comprimento 4;8.
2. (Al-Khwarizmi) Resolva as seguintes equa»co~es :
(a) 50 + x2 = 29 + 10x. Resposta: x1 = 7; x2 = 3.
(b) x2 = 40x ¡ 4x2 . Resposta: x1 = 8; x2 = 0
3. Resolva as seguintes equa»c~oes
(a) x2 ¡ 16x + 80 = 0. Resposta: A equa»c~ao n~ao tem solu»c~ao (real).
(b) x2 ¡ 12x = 28. Resposta: x1 = 14; x2 = ¡2
14
3
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
~
EQUAC
» OES
DO TERCEIRO GRAU
ARQUIMEDES, NOVAMENTE
Num tratado sobre esferas e cilindros, Arquimedes estudou o seguinte
problema:
Cortar uma esfera por um plano de modo que uma das partes resultantes tenha o dobro do volume da outra parte.
Isto deu origem a uma das primeiras equa»co~es do 3o grau da hist¶oria:
Se o plano que corta a esfera de raio r ¶e visto de per¯l, como na
¯gura, ent~ao o volume do segmento esf¶erico de altura h ¶e dado por
V = 13 ¼h2(3r ¡ h). Sendo hr = y, se o segmento inferior da esfera tem o
dobro do volume do superior, ent~ao
y 3 ¡ 3y 2 = ¡
4
3
Fazendo-se y = x + 1, obtemos a c¶
ubica na forma reduzida
x3 ¡ 3x ¡
2
=0
3
¶
¶
A BUSCA DA FORMULA
GERAL DA CUBICA
Por muitos s¶eculos, desde o per¶³odo a¶ureo da Gr¶ecia antiga, matem¶aticos tentaram em v~ao deduzir um m¶etodo geral de solu»c~ao da equa»ca~o
ubica
do 3o grau ou equa»ca~o c¶
ax3 + bx2 + cx + d = 0
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
15
Procurava-se uma f¶ormula geral da solu»c~ao da c¶
ubica, isto ¶e, uma
f¶ormula que desse suas solu»c~oes como express~oes alg¶ebricas envolvendo
os coe¯cientes a; b; c e d.
A conhecida f¶ormula de Bhaskara, creditada assim ao matem¶atico
hindu Bhaskara, do s¶eculo 12, nos d¶a as soluc~oes da equa»ca~o quadr¶atica
ax2 + bx + c = 0, como express~oes alg¶ebricas dos coe¯cientes a; b e c, a
saber
p
¡b § b2 ¡ 4ac
x=
2a
DEL FERRO, TARTAGLIA E CARDANO. UMA TRAGI¶
~
COMEDIA
DE DISPUTAS, CONQUISTAS E DECEPC
» OES
O primeiro matem¶atico a desenvolver um m¶etodo para resolver equa»c~oes c¶
ubicas da forma
x3 + ax + b = 0
foi Scipione del Ferro, professor da Universidade de Bolonha, It¶alia,
na passagem do s¶eculo 15 ao s¶eculo 16. Antes de morrer, revelou seu
m¶etodo, que mantivera em segredo, a Antonio Fiore.
Nicollo Tartaglia nasceu em Brescia, It¶alia, em 1499. Conta-se que
era t~ao pobre quando crian»ca que estudava matem¶atica escrevendo nas
l¶apides de um cemit¶erio. Em 1535 foi desa¯ado por Antonio Fiore a
uma competi»c~ao matem¶atica. Na ¶epoca, disputas acad^emicas eram comuns, muitas vezes premiando o ganhador com o emprego do perdedor.
Tartaglia sabia resolver as equa»c~oes c¶
ubicas de del Ferro, mas tinha descoberto tamb¶em um m¶etodo para resolver c¶
ubicas da forma
x3 + ax2 + b = 0
De posse deste conhecimento, foi o vencedor na competi»c~ao.
Os u
¶ltimos anos de Tartaglia foram amargurados por uma briga com
Girolamo Cardano (1501{1576), um matem¶atico italiano que, al¶em de
m¶edico famoso em Mil~ao, foi tamb¶em astr^onomo. Cardano ¶e tido como
o fundador da teoria das probabilidades, a qual estudou por interesses
pessoais (jogatina). Em 1570, Cardano foi preso por heresia, por ter
escrito um hor¶oscopo de Jesus Cristo.
Em 1539, em sua casa em Mil~ao, Cardano persuadiu Tartaglia a
contar-lhe seu m¶etodo secreto de solu»ca~o das c¶
ubicas, sob o juramento de jamais divulg¶a-lo. Alguns anos mais tarde, por¶em, Cardano soube
16
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
que parte do m¶etodo constava de uma publica»ca~o p¶ostuma de del Ferro.
Resolveu ent~ao publicar um estudo completo das equa»co~es c¶
ubicas em
seu tratado Ars Magna (1545), um trabalho que superou todos os livros
de ¶algebra publicados at¶e ent~ao.
Em Ars Magna, Cardano exp~oe um m¶etodo para resolver a equa»ca~o
c¶
ubica baseado em argumentos geom¶etricos. L¶a tamb¶em exp~oe a solu»ca~o
geral da equa»c~ao qu¶artica ou equa»c~ao do quarto grau
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
descoberta por Ludovico Ferrari (1522{1565), discipulo de Cardano, que
parece ter superado o mestre na a¶lgebra das equa»c~oes polinomiais.
Em 1548, Tartaglia desa¯ou Cardano para uma competi»c~ao matem¶atica, a ser realizada em Mil~ao. Cardano n~ao compareceu, tendo enviado
Ferrari para represent¶a-lo. Parece que Ferrari venceu a disputa, o que
causou a Tartaglia desemprego e morte na pobreza nove anos mais tarde.
¶
~ CUBICA
¶
A FORMULA
DE CARDANO PARA A EQUAC
» AO
O m¶etodo de Cardano para resolver equa»c~oes c¶
ubicas, ligeiramente modi¯cado em
rela»c~ao ao m¶etodo historicamente original, ¶e essencialmente o seguinte:
Consideremos a equa»ca~o c¶
ubica
z 3 + az 2 + bz + c = 0
A substitui»ca~o
a
3
transforma a equa»c~ao dada numa equa»ca~o c¶
ubica na forma reduzida, isto ¶e, uma
o
equa»c~ao c¶
ubica sem o termo de 2 grau:
z = x¡
x3 + px + q = 0
Cardano ent~ao \tenta" obter uma soluc~ao na forma
x= u+v
Ele nota que
ou seja,
(u + v)3 = u3 + 3u2 v + 3uv 2 + v 3
(u + v)3 ¡ 3uv(u + v) ¡ (u3 + v 3 ) = 0
Tendo em conta esta u
¶ltima identidade, Cardano observa que para que x = u + v
seja solu»c~ao da c¶
ubica x3 + px + q = 0, ¶e su¯ciente encontrar u e v satisfazendo
3uv = ¡p e u3 + v 3 = ¡q
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
ou seja,
17
p3
e u3 + v3 = ¡q
27
u3 v3 = ¡
Ao estilo de Diofanto, fazendo ent~ao
q
q
u3 = ¡ + ® e v 3 = ¡ ¡ ®
2
2
teremos
u3 v 3 =
Se
q2
4
+
p3
27
³ q ´2
2
¡ ®2 =
q2
p3
q 2 p3
¡ ®2 = ¡ ) ®2 =
+
4
27
4
27
¸ 0, deduzimos ent~ao
r
®=§
q2
4
p
q 2 p3
+
=§ D
4
27
3
+ p27 ¶e o assim chamado discriminante da c¶
ubica reduzida x3 + px + q = 0.
p
Finalmente, assumindo que D ¸ 0, teremos, para ® = D,
q p
q p
u3 = ¡ + D e v 3 = ¡ ¡ D
2
2
onde D =
r
e entao
x= u+v =
ou seja
s
r
3
q p
¡ + D+
2
r
q p
3
¡ ¡ D
2
s
q
¡ +
2
q 2 p3
+
+
4
27
r
q 2 p3
+
4
27
p
O mesmo resultado ¶e obtido quando consideramos ® = ¡ D (veri¯que), assumindo
que a ra¶³zes c¶
ubicas calculadas s~ao as ra¶³zes c¶
ubicas reais de n¶
umeros reais.
x=
3
3
q
¡ ¡
2
Se o discriminante D ¶e negativo, o uso da f¶ormula de Cardano requer um c¶alculo
cuidadoso de ra¶³zes c¶
ubicas complexas de n¶
umeros complexos. Cardano simplesmente
µ ¶epoca de
a¯rmava que, no caso em que D < 0, sua f¶ormula n~ao se aplicava. A
Cardano, os n¶
umeros complexos n~ao haviam sido inventados. A f¶ormula de Cardano
por¶em, foi a g^enese dos n¶
umeros complexos, conforme explicaremos a seguir.
Problemas complementares
1. Deduza as equa»c~oes c¶
ubicas correspondentes ao problema geom¶etrico de Arquimedes, dadas aµ p¶agina 14.
2. Veri¯que que a c¶
ubica reduzida, correspondente ao problema de Arquimedes, tem
discriminante D negativo.
3. Aplique a f¶ormula de Cardano para encontrar uma solu»ca~o de cada uma das
c¶
ubicas dadas abaixo.
p
p
p
p
3
3
(a) (Cardano) x3 + 6x ¡ 20 = 0. Resposta: x = 10 + 6 3 + 10 ¡ 6 3
18
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
(b) x3 + 6x + 2 = 0. Resposta: x =
p
p
3
2¡ 34
(c) x3 ¡ 3x + 2 = 0. Resposta: x = ¡2
4. Encontre as solu»c~oes das c¶
ubicas
(a) (Cardano) x3 + 10x = 6x2 + 4. Resposta: 2 e 2 §
p
(b) x3 ¡ 12x2 + 26x ¡ 12 = 0. Resposta: 2 e 5 § 19
p
2
¶
BOMBELLI, CRIADOR DOS NUMEROS
COMPLEXOS
O primeiro algebrista a formular regras elementares das opera»co~es dos
n¶
umeros complexos foi o engenheiro hidr¶aulico italiano Rafael Bombelli,
em seu tratado L'Algebra (1572), quase trinta anos depois da publica»ca~o
de Ars Magna por Cardano.
Bombelli notou que a equa»ca~o x3 ¡ 15x ¡ 4 = 0 tem uma solu»c~ao real
positiva, a saber
p x = 4. Notou tamb¶em que as demais solu»c~oes dessa
equa»c~ao, ¡2 § 3, s~ao tamb¶em reais, sendo elas as ra¶³zes do polin^omio
do 2o grau x2 + 4x + 1, obtido como quociente da divis~ao de x3 ¡ 15x ¡ 4
por x ¡ 4.
No entanto, notou Bombelli, a f¶ormula de Cardano n~ao se aplica µa
2
p3
= ¡121 < 0. Um
c¶
ubica em quest~ao, pois nesse caso D = q4 + 27
3
not¶avel paradoxo surgiu ent~ao: a c¶
ubica x ¡ 15x ¡ 4 = 0 tem suas tr^es
ra¶³zes reais e, no entanto, a formula de Cardano, quando a ela aplicada,
produzia uma express~ao num¶erica que carecia de sentido:
q
q
p
p
3
3
x = 2 + ¡121 + 2 ¡ ¡121
Por conta disso, Bombelli p^os-se a estudar essa nova esp¶ecie de n¶
umeros, mais tarde denominados n¶
umeros complexos.
Com a f¶
ormula de Cardano, todo cuidado ¶
e pouco!
Mesmo quando D > 0, a f¶ormula de Cardano mostra-se pouco pr¶atica, pois pode
ocultar solu»c~oes racionais de uma c¶
ubica sob a apar^encia de express~oes que parecem
irracionais.
Por exemplo, a c¶
ubica x3 + 3x ¡ 4 = 0 tem x = 1 como solu»c~ao. Dividindo-se
x3 + 3xp¡ 4 por x ¡ 1, obtemos x2 + x + 4, que tem como ra¶³zes os n¶
umeros complexos
(¡1 § 15i)=2, as outras duas soluc~oes da c¶
ubica dada.
No entanto, a aplica»c~ao da f¶ormula de Cardano a essa c¶
ubica nos d¶a a solu»ca~o real
q
q
p
p
3
3
x = 2+ 5+ 2¡ 5
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
19
que ¶e, na verdade x = 1.
µ
¶
FRANC
» OIS VIETE
CRIA UM METODO
ALTERNATIVO
¶
¶
PARA O CASO INDESEJAVEL
DA FORMULA
DE CARDANO
Fran»cois Viµete (1540{1603) foi um advogado franc^es, membro do parlamento, com grande voca»ca~o matem¶atica. Em seu tratado In artem
analyticem Isagoge, Viµete aplica ¶algebra ao estudo de geometria, quando
at¶e ent~ao, a pr¶atica tinha sido sempre a de aplicar geometria µa a¶lgebra.
Durante uma guerra contra a Espanha, Viµete serviu ao rei franc^es
Henri IV, decifrando o c¶odigo usado pelos espanh¶ois em suas correspond^encias militares.
Usando trigonometria, a¶rea da matem¶atica elementar onde descobriu
muitas de suas conhecidas rela»co~es, Viµete desenvolveu um m¶etodo para
calcular as tr^es ra¶³zes reais da c¶
ubica x3 + px + q = 0 no caso em que
a f¶ormula de Cardano \falha," isto ¶e, no caso em que o discriminante
2
p3
¶e negativo.
D = q4 + 27
O m¶
etodo de Viµ
ete
Consideremos a equa»ca~o c¶
ubica
x3 + px + q = 0
onde suporemos que os coe¯cientes p e q s~ao n¶
umeros reais n~ao nulos.
No seu m¶etodo, Viµete tenta buscar uma solu»c~ao real para essa c¶
ubica, escrevendo-a
na forma
x = k cos µ; com k > 0
Note que o caso k = 0 ocorre quando x = 0 ¶e uma solu»c~ao da c¶
ubica. Nesse caso, q = 0
e as outras duas ra¶³zes s~ao as solu»c~oes complexas da equa»ca~o x2 = ¡p.
Usando a rela»c~ao trigonom¶etrica
cos 3µ = 4 cos3 µ ¡ 3 cos µ
temos entao
4 cos3 µ ¡ 3 cos µ ¡ cos 3µ = 0
A substitui»c~ao de x = k cos µ na c¶
ubica x3 + px + q = 0 nos d¶a
k 3 cos3 µ + pk cos µ + q = 0
express~ao que, multiplicada por 4=k 3 em ambos os lados, passa a ser
4 cos3 µ +
4p
4q
cos
µ
+
=0
k2
k3
20
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
Comparando esta u
¶ltima equa»c~ao com a identidade trigonom¶etrica
4 cos3 µ ¡ 3 cos µ ¡ cos 3µ = 0
Viµete ent~ao observa que x = k cos µ ser¶a solu»ca~o da c¶
ubica dada desde que se tenha
4q
4p
= ¡3 e ¡ cos 3µ = 3
2
k
k
ou, equivalentemente,
k2 = ¡
4q
4p
e cos 3µ = ¡ 3
3
k
Estas duas u
¶ltimas equa»co~es (em k e µ) ter~ao solu»ca~o se, e somente se, tivermos
¯ 4q ¯
¯ ¯
p < 0 e ¯ 3¯ · 1
k
ou, equivalentemente
p<0 e
16q2
·1
k6
Como k 2 = ¡ 4p
, esta u
¶ ltima condi»c~ao equivale a
3
q 2 p3
D=
+
·0
4
27
(note que, sendo q 6
= 0, ent~ao D · 0 ) p < 0)
Sendo ent~ao D · 0, o m¶etodo de Viµete nos d¶a tr^es solu»c~oes reais da c¶
ubica:
q
Primeiramente calculamos k = ¡ 4p
e ent~ao procuramos os tr^es valores de µ,
3
compreendidos entre 0 e 360± satisfazendo cos 3µ = ¡ k4q3 . Sendo ^eles µ1 ; µ2 e µ3 , teremos
as tr^es solu»co~es da c¶
ubicas dadas por x1 = k cos µ1 , x2 = k cos µ2 e x3 = k cos µ3 .
No c¶alculo dos tr^es valores de µ, podemos tomar
µ
¶
1
4q
µ1 = arc cos ¡ 3
3
k
e ent~ao
µ2 = µ1 + 120± e µ3 = µ1 + 240±
Problema Utilizando uma calculadora (computando ^angulos em graus), calcule as
ra¶³zes de x3 ¡ 15x ¡
p 4 = 0 (a equa»c~ao estudada por Bombelli) pelo m¶etodo de Viµete.
Voc^e obter¶a r = 2 5 e cos 3µ = 5p2 5 , de onde um dos valores de µ ¶e dado por µ1 =
³ ´
1
2
p
arccos
. Tome ent~ao µ2 = µ1 + 120± , µ3 = µ1 + 240± . Correspondentemente,
3
5 5
teremos x1 = 4, e as aproxima»co~es x2 = ¡0; 268 e x3 = ¡3; 732
~ es do primeiro, segundo e terceiro graus
Equac
»o
21
~
¶
EQUAC
» OES
DO 4o GRAU E ALEM.
ALGUMAS POUCAS
PALAVRAS.
Por ora n~ao trataremos das equa»c~oes do 4o grau. A f¶ormula de Ludovico Ferrari, publicada por Cardano em Ars Magna, exprime algebricamente as solu»c~oes da equa»c~ao qu¶artica
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0
em termos dos coe¯cientes a; b; c e d, utilizando somente as quatro opera»c~oes aritm¶eticas elementares e extra»c~ao de ra¶³zes. Uma solu»ca~o desse
tipo ¶e chamada solu»c~ao por radicais.
Nos 250 anos que se seguiram, todos os esfor»cos para resolver a
equa»c~ao geral de 5o grau falharam. Em 1786, E.S. Bring mostrou que a
equa»c~ao geral do 5o grau pode ser reduzida, por transforma»co~es alg¶ebricas, µa equa»c~ao x5 ¡ x ¡ A = 0. Embora uma tal redu»ca~o parecesse um
grande passo em dire»c~ao µa solu»c~ao geral da equa»c~ao qu¶³ntica por radicais, Paolo Ru±ni mostrou, em 1799, que uma solu»c~ao geral da equa»ca~o
qu¶³ntica por radicais era imposs¶³vel. A demonstra»ca~o desse fato, feita
por Ru±ni, foi considerada insatisfat¶oria µa ¶epoca. Entretanto, em 1826,
Niels Abel publicou uma prova satisfat¶oria desse fato, fato repetido com
a teoria mais geral ulteriormente desenvolvida por Evariste Galois, em
1831.
¶
O Teorema Fundamental da Algebra
Os n¶
umeros complexos foram criados para suprir solu»c~oes de equa»co~es
polinomiais. Mas h¶a alguma equa»c~ao polinomial de coe¯cientes reais ou
complexos que n~ao possui nenhuma solu»c~ao complexa? A resposta ¶e n~ao,
¶
sendo enunciada pelo Teorema Fundamental da Algebra:
Toda equa»c~ao polinomial de grau ¸ 1, com coe¯cientes reais ou complexos, possui uma solu»c~ao complexa.
Esse teorema foi enunciado, sem demonstra»ca~o, por Albert Girard
em 1629. Os matem¶aticos Jean D'Alembert, em 1746, e Carl Friedrich
Gauss, em 1799, publicaram demonstra»co~es desse teorema.
22
~o Carlos V. Sampaio { DM-UFSCar
Joa
As refer^
encias utilizadas para a confec»c~ao do presente texto s~ao as seguintes:
1. Anglin, W.S.
Mathematics: A Concise History and Philosophy
Springer, New York, 1994.
2. Boyer, C.B.
Hist¶oria da Matem¶atica
Editora Edgard BlÄ
ucher, S~ao Paulo, 1968.
3. Bunt, L.N.H. et alii
The Historical Roots of Elementary Mathematics
Dover, New York, 1988.
4. Kleiner, I.
Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral)
Mathematics Teacher 81, Oct., 1988, 583-592.
5. Pi¶orichkine, A.V. e R¶odina, N.A.
F¶³sica 1
Editora Mir, Moscou, 1986
6. Smith, D.E.
History of Mathematics, vol. II
Dover, New York, 1953.
7. Stillwell, J.
Mathematics and Its History
Springer-Verlag, New York, 1989.
8. van der Waerden, B.L.
Geometry and Algebra in Ancient Civilizations
Springer-Verlag, New York, 1983
9. van der Waerden, B.L.
A History of Algebra
Springer-Verlag, New York, 1985