Revista Brasileira de Ensino de F
sica, vol. 21, no. 1, Mar
co, 1999
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O Oscilador Relativ
stico For
cado
(The forced relativistic oscillator)
Bruno C. C. Mota
Departamento de Fsica, Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte, MG, Brasil
[email protected]
and
Carlos H. C. Moreira
Departamento de Matematica, Universidade Federal de Minas Gerais
Belo Horizonte, MG, Brasil
[email protected]
Recebido em 2 de Setembro, 1998
Apresentamos uma abordagem do oscilador harm^onico relativstico que, no caso livre, se baseia no
uso de funco~es especiais e, no caso forcado, no uso de expans~oes em serie de correco~es relativsticas.
E apresentada uma sistematica recursiva para obtenc~ao das sucessivas correc~oes que leva a soluc~ao
de uma cadeia de problemas de osciladores n~ao-relativsticos forcados.
We show a study of the relativistic harmonic oscillator that, in the free case, is based upon the
use of special functions and, in the forced case, upon the use of expansions in series of relativistic
corrections. A systematic recursive scheme to obtain the successive corrections by solving a chain
of forced non-relativistic oscillator problems is presented.
I Introduc~ao
As equac~oes de movimento de Newton admitem generalizac~oes relativsticas que apenas em um numero
limitado de casos podem ser resolvidas explicitamente. Contudo, vale o princpio pelo qual as
soluco~es relativsticas devem se reduzir as soluc~oes n~aorelativsticas, aqui denominadas classicas, no limite c !
1 e por isso faz sentido procurar soluc~oes na forma de
serie de pot^encias de c,2 , onde o termo de ordem zero
corresponde a soluc~ao classica e os demais s~ao correc~oes
relativsticas de ordem crescente. Neste trabalho desenvolvemos um estudo das soluco~es da equac~ao de movimento do oscilador harm^onico relativstico em uma
dimens~ao espacial. Abordaremos o caso livre (sem
forcamento) e o caso forcado senoidalmente. Apesar
da n~ao-linearidade das equac~oes diferenciais, ainda e
possvel obter varios resultados interessantes na forma
de series de pot^encias. Para o caso livre destacamos o
perodo da oscilac~ao e para o caso forcado a trajetoria
x(t) e a energia absorvida pelo sistema. Os metodos
matematicos empregados s~ao todos acessveis a alunos
de cursos de graduac~ao em ci^encias exatas: soluc~ao de
equac~oes diferenciais, series de pot^encias, func~oes especiais e transformadas de Laplace.
A equac~ao de forca para o oscilador harm^onico relativstico unidimensional difere do equivalente classico
pela substituic~ao do momento linear mv pelo momento
relativstico
p = p mv 2 2 ;
(1)
1 , v =c
onde m e a massa de repouso da partcula. Nos livrostexto padr~ao de Mec^anica Classica (veja por exemplo
Goldstein [2]) mostra-se que isso e suciente para garantir a requerida invari^ancia sob transformac~oes de Lorentz. Portanto, a equac~ao de forca se torna
!
d p mv
= ,kx + Fext:
(2)
dt
1 , v2 =c2
No caso livre a equac~ao acima pode ser tratada no
espaco fase, isto e, considera-se a velocidade v como
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Bruno C. C. Mota e Carlos H. C. Moreira
func~ao da posic~ao x. Isso sera feito na Sec~ao 2 deste
artigo e o que se obtem da e uma express~ao para a conservac~ao da energia relativstica e a soluc~ao inversa t(x)
(tempo em func~ao da posic~ao) na forma de combinac~ao
de integrais elpticas, que sera usada para identicar o
perodo do movimento na forma de serie de pot^encias
(valor classico, seguido de correco~es relativsticas). Na
Sec~ao 3 estudamos o oscilador com forcamento senoidal. A depend^encia explcita da forca externa com o
tempo inviabiliza o estudo no espaco fase. Ao inves
disso, aplicamos tecnicas de expans~ao em serie diretamente sobre a equaca~o de movimento, obtendo que
as correc~oes relativsticas de ordem crescente s~ao as
soluc~oes de uma sequ^encia de equac~oes diferenciais do
tipo oscilador harm^onico classico com forcamento que
envolve as correc~oes de ordem mais baixa. Os metodos
se aplicam tanto para o caso ressonante quanto para
o caso n~ao-ressonante. Obtemos ainda as primeiras
correc~oes relativsticas para a energia absorvida pelo
oscilador. Considerac~oes nais vir~ao na Sec~ao 4.
II O oscilador relativstico livre
Na equac~ao (2) removemos o termo de forca externa e
passamos ao espaco fase. Para isso, efetuamos a derivac~ao com respeito ao tempo e usamos a regra da
cadeia para fazer a substituic~ao
dv = dv dx = dv v:
(3)
dt dx dt dx
A equac~ao diferencial de primeira ordem resultante
e separavel,
m
Z
2 ,3=2
v
1 , c2
v dv = ,k x dx;
Z (4)
e pode ser integrada explicitamente, fornecendo
mc2 + kx2 = E:
1 , v2 =c2 2
p
(5)
A constante de integrac~ao E e a energia total relativstica do sistema, que se conserva ao longo da trajetoria. Observe que a energia relativstica difere da
energia total classica pela inclus~ao da energia de repouso mc2 e por termos de ordem c,2.
2
2
E = mc2 + mv2 + kx2 + O(c,2 )
(6)
Na Figura 1 tracamos diagramas de fase para os
osciladores harm^onicos classico e relativstico. Na horizontal temos a posica~o x e na vertical a velocidade v.
Utilizamos os valores c = 1, k = 5 e m = 1. Cada valor
de E fornece uma curva sobre o diagrama de fase. O
valor mnimo aceitavel para a energia e mc2 , o que corresponde somente ao ponto (0; 0). As energias usadas
na Figura 1 s~ao 1:01, 1:05 e de 1:25 a 7:00, com incrementos xos de 0:25. Como era de se esperar, no caso
classico (equac~ao 6 sem os termos de ordem c,2 ou superior) obtemos elipses e no caso relativstico (equaca~o
5) curvas semelhantes a elipses para energias mais baixas, que v~ao se achatando na direc~ao de v a medida que
vmax se aproxima de c.
Figura 1. Diagramas de fase: posica~o por velocidade.
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Na equac~ao (5) isolamos v,
voltando assim para as variaveis x e t. A nova equac~ao
diferencial e de primeira ordem e tambem separavel.
Escolhemos a condic~ao inicial x(0) = 0, obtendo
s
2 2
dx
mc
v = dt = c 1 ,
;
E , 12 kx2
(7)
c
#,1=2
"
Z x
2 2
1
mc
1, E, 1 2
t(x) = c
ds:
(8)
0
2 ks
Por conveni^encia notacional, dena = k=2mc2 e denote por b a amplitude do movimento, ou seja, o modulo
do valor de x correspondente a v = 0 na equac~ao da energia relativstica (5). Assim podemos escrever
),1=2
(
Z x
1
ds
(9)
1,
t(x) = 1c
[1 + (b2 , s2 )]2
0
e apos alguma manipulac~ao algebrica chegamos a express~ao
Z x
1 + (b2 , s2 )
t(x) = 1c q
(10)
ds:
0
2(b2 , s2 ) 1 + 12 (b2 , s2 )
Implementamos a mudanca de variavel s = b sen ' e com isso chegamos a
F arcsen x ; ;
(11)
t(x) = 1c b E arcsen xb ; , b
b
onde
r
2
= 2 +bb2
(12)
e as func~oes F(:; :) e E(:; :) s~ao as integrais elpticas de primeira e segunda especie (veja, por exemplo, [3]), dadas
respectivamente por:
Z d'
p
;
(13)
F (; ) =
0 1 , 2sen2 '
E(; ) =
Z
p
0
1 , 2sen2 ' d':
(14)
Nosso interesse principal e calcular o perodo de oscilac~ao e para tanto, a exemplo de Goldstein [2], usamos o
fato que exatamente um quarto do perodo total e gasto para a partcula ir da origem ate x = b. Assim
F ; :
T = 4c b E 2 ; , b
(15)
2
As integrais elpticas completas admitem expans~oes em series de pot^encias [3]:
(
1 (2n)! 2 )
X
2n
(16)
F( 2 ; ) = 2 1 +
22n(n!)2 ;
n
=1
(
)
1 (2n)! 2 1
X
2
n
E( 2 ; ) = 2 1 ,
;
(17)
2n 2 2n , 1 n=1 2 (n!)
e da se obtem a seguinte expans~ao para T:
1 (2n)! 2
2
2 n
X
2n
+
1
+
b
b
2
p
:
(18)
T= p
c 2 n=o 22n(n!)2 (1 , 2n) 1 + b2=2 2 + b2
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Bruno C. C. Mota e Carlos H. C. Moreira
A serie de pot^encias acima possui raio de converg^encia igual a 1 e assim a express~ao acima sera valida
para todo > 0. Coletando termos de ordem mais
baixa e usando a denic~ao de , segue que
r
3kb2 + O(c,4 ) :
T = 2 mk 1 + 16mc
2
(19)
Como era de se esperar, o termo dominante para c
grande coincide com o perodo do oscilador harm^onico
classico. A primeira correc~ao relativstica de T corresponde a 3/8 da raz~ao entre a energia potencial maxima
e a energia relativstica de repouso. Vale observar que
o sinal desse termo aparece trocado no resultado fornecido em [2].
III O oscilador
forcado
relativstico
Vamos agora adicionar um forcamento externo do tipo
senoidal. Portanto, na equac~ao (2) tomamos Fext =
F sen(!t). Efetuando a derivaca~o temporal indicada,
obtemos
2 ,3=2
x
_
F sen(!t): (20)
x 1 , c2
+ !02 x = m
Expandimos o termo da esquerda em serie de
pot^encias,
"
2 i#
(2i
+
1)!
x_
2x = F sen(!t);
x 1 +
+
!
0
i
2
2
c
m
i=1 (2 i!)
(21)
e procuramos soluc~oes para a equaca~o acima na forma
de serie de pot^encias:
1
X
c
x(t) = x0(t) + x1(t)c,2 + x2(t)c,4 + : : : =
1
X
n=0
xn(t)c,2n :
(22)
Note que xn(t)c,2n e a correc~ao relativstica de n-esima ordem na soluca~o. Derivamos formalmente a express~ao
acima e substituimos na equac~ao (21). Agrupamos os termos de mesma ordem em c,2 e o resultado e:
1 ,
X
1
F sen(!t) + X
xn + !02 xn c,2n = m
fn (t) c,2n ;
n=0
n=1
onde
1
X
n=1
fn(t) c,2n = ,x
(23)
1
X
(2i + 1)! x_ 2 i :
i 2 c2
i=1 (2 i!)
(24)
d
Da equaca~o acima pode-se obter fn (t) substituindo
a expans~ao em serie (22) e identicando o termo que
carrega c,2n no lado direito. Segue imediatamente
que fn (t) e um polin^omio nas derivadas primeira e segunda de x0, x1,: : :,xn,1. Na equac~ao acima devemos
igualar termos de mesma ordem em c,2, obtendo uma
sequ^encia de equac~oes diferenciais do tipo de oscilador
harm^onico classico forcado. A equac~ao para x0 (t) carrega o forcamento externo senoidal e e exatamente a
mesma equac~ao diferencial que se aplica ao caso n~ao-
relativstico:
F sen(!t);
x0 + !0 2x0 = m
(25)
e portanto, como era de se esperar, esse termo coincide
com a soluc~ao classica do problema. Um pouco menos esperado e que cada correc~ao relativstica posterior
vem a ser soluc~ao de uma equac~ao do tipo oscilador
harm^onico classico forcado:
xn + !0 2xn = fn (t):
Por exemplo
(n = 1; 2; : : :)
(26)
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c
x1 + !02 x1 = , 23 x_ 20 x0;
3 2
4
x2 + !02 x2 = , 15
8 x_ 0 x0 , 2 x_ 0 x1 , 3 x_ 0 x0 x_ 1:
(27)
(28)
A soluc~ao de (25) pode ser obtida da forma usual (por exemplo, pelo metodo dos coecientes indeterminados,
veja [1]). Quando a frequ^encia ! de forcamento e diferente da frequ^encia normal de oscilac~ao !0 entramos em regime
de batimento, com uma soluca~o limitada no tempo. Por simplicidade, tomamos condico~es iniciais nulas, obtendo
nesse caso
F!
F
xbat
(29)
0 (t) = m! (!2 , !2 ) sen(!0 t) , m(!2 , !2 ) sen(!t):
0
0
0
Se ! = !0, entramos no regime de resson^ancia, no
qual a soluc~ao adquire uma parcela com aplitude que
cresce linearmente com o tempo.
F
F
xres
(30)
0 (t) = 2m!2 sen(!t) , 2m! t cos(!t)
Note que a origem do termo ilimitado na soluc~ao de
resson^ancia se deve a ac~ao de um forcamento oscilatorio
com frequ^encia igual a frequ^encia natural do sistema, o
qual n~ao necessariamente deve estar na forma precisa do
lado direito da equac~ao (25). Em conex~ao com esse fato,
e interessante observar que as correc~oes relativsticas
d
x1, x2 , etc, devem conter termos com amplitude crescente no tempo mesmo quando ! 6= !0, pois no lado
direito de (26) comparecem termos envolvendo derivadas de x0 , que trazem termos oscilatorios na frequ^encia
natural. Veja por exemplo as equac~oes (27) e (28).
Pode-se obter recursivamente qualquer numero de
correc~oes relativsticas. Uma implementac~ao sistematica disso faz uso da transformada de Laplace.
Aplicamos a transformada sobre a equaca~o (26), obtendo
c
s2 Xn(s) , s xn (0) , x_ n(0) + !02 Xn(s) = Fn (s);
(31)
onde Xn = Lfxng e Fn = Lffng. Da segue
s xn(0) + x_ n(0)
Xn(s) = s2F+n(s)
(32)
!02 + s2 + !0 2 :
Usando a transformada de Laplace inversa e o teorema da convoluc~ao, segue que
Z t
xn(t) = xn(0) cos(!0t) + x_ n!(0) sen(!0 t) + !1 sen(!0 t , !0)fn () d:
(33)
0
0 0
As condic~oes iniciais para as correc~oes relativsticas x1, x2 , etc, podem ser zeradas se tomarmos x0(0) = x(0) e
x_ 0(0) = x(0).
_
Como exemplo, calculamos a primeira correc~ao relativstica na situac~ao em que ocorreria resson^ancia classica,
isto e, ! = !0 . O calculo pode ser facilmente executado com um programa de manipulac~ao algebrica. Aqui usamos
o Mathematica e obtemos
F 3 , 333 sen(!t) + 51 sen(3!t) + 9! t cos(!t)
xres
(t)
=
1
m3 !4 16384
16384
512
2
2
27! t cos(3!t) + 9! t2 sen(!t) , 15! t2 sen(3!t)
+ 4096
512
2048
3
4
3
3!
3!
3!
3
3
4
(34)
, 256 t cos(!t) + 512 t cos(3!t) + 512 t sen(!t)
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Em x0 temos um termo com amplitude que cresce
com t. Em x1 temos um termo que cresce com t4 e, trabalhando a express~ao para x2, veremos que nesse caso
temos um termo que cresce com t7. De um modo geral,
xn tera termos com amplitude maxima da ordem de
t3n+1, multiplicado por F 2n+1!n,1m,2n,1. Incorporando ainda o fator c,2n , concluimos que so podemos
garantir a converg^encia da expans~ao perturbativa para
tempo inferior a
2 2 1=3
c
tmax = m
:
(35)
2
F !
De maneira analoga pode-se calcular as primeiras
correc~oes relativsticas no caso n~ao-ressonante (batimento) ! 6= !0. Segue que x1(t) contera um termo da
forma t cos(!0 t) e as correc~oes subsequentes conter~ao
termos com pot^encias mais altas de t. A Figura 2 mostra a forma da primeira correca~o relativstica no caso
de batimento e permite observar o crescimento da amplitude com t. Essa peculiariedade n~ao deve ser levada
demasiado a serio, pois as correc~oes relativsticas v^em
acompanhadas de pot^encias de c,2 e so se tornam grandes para tempos extremamente grandes. Alem disso, no
momento que x1 se torna signicativo em comparac~ao
com x0, o mesmo ocorre para as correc~oes de ordem
mais alta e a propria expans~ao perturbativa se torna duvidosa, pois e obtida sob uma hipotese de converg^encia
que ca arruinada quando cada termo da serie se torna
grande.
Figura 2. Batimento no OHRF.
As correc~oes relativsticas da energia total absorvida pelo oscilador forcado tambem podem ser obtidas
a partir das correc~oes sobre x(t). Na express~ao
2
2
0 x2
(36)
E = p mc 2 2 + m!
2
1 , x_ =c
inserimos a forma perturbativa (22) para x(t) e coletamos os termos dominantes:
E = mc2 + E0 + E1c,2 + O(c,4 );
onde
2
(37)
0 2
E0 = m2 x_ 20 + m!
2 x0
(38)
E1 = mx_ 0 x_ 1 + m!02 x0 x1 + 38 mx_ 40
(39)
e a energia classica e
e a primeira correc~ao relativstica. Dos resultados (30)
e (34) vemos que no caso ressonante E1 deve conter
termos que crescem com t5.
IV Considerac~oes nais
Para o caso livre, a abordagem adotada n~ao difere signicativamente da vista em Goldstein [2] e outros textos
padr~ao de Mec^anica Classica. A equac~ao (8) e bem
conhecida. Porem, ao contrario de outros textos, aqui
obtemos uma soluc~ao explcita envolvendo func~oes especiais e so depois aplicamos expans~oes perturbativas.
Com isso, obtemos uma express~ao elegante para t(x) e
as correc~oes de relativsticas de ordem mais alta para o
perodo.
No caso forcado, vimos que as correc~oes relativsticas sucessivas v^em da soluc~ao de equac~oes diferencias lineares do tipo do oscilador harm^onico classico
forcado. Em cada termo de forcamento entram as
correc~oes de ordem mais baixa e a propria soluc~ao
classica, que carrega termos oscilatorios na frequ^encia
natural do sistema. Assim s~ao produzidas correc~oes
relativsticas com termos polinomiais em t mesmo no
caso n~ao-ressonante. Esse e um resultado que n~ao pareceria obvio a princpio e leva a perguntar se com
isso as correc~oes relativsticas poderiam se tornar, para
um tempo sucientemente grande, maiores que a parte
classica da soluc~ao. Essa conclus~ao n~ao pode ser tirada
porque nessa faixa de valores de t n~ao apenas as primeiras correc~oes relativsticas se tornam grandes, mas todas as demais, o que impede a converg^encia da propria
expans~ao em serie. Nessa situac~ao extrema se torna
necessario usar outro metodo para calcular a correc~ao
relativstica da soluc~ao.
Os resultados obtidos neste artigo s~ao acessveis a
estudantes de graduac~ao. O problema do oscilador
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harm^onico relativstico se converte em um exerccio interessante, ainda que trabalhoso, para varias tecnicas
matematicas que um estudante de Fsica deve dominar
ao m do ciclo basico. De especial interesse e a possibilidade de se usar programas de manipulac~ao algebrica,
como por exemplo o Mathematica, para se obter rapida
e sistematicamente resultados que seriam consideravelmente trabalhosos de se obter de outra maneira.
Agradecimentos
Este trabalho foi parcialmente nanciado pelo
59
CNPq e pela FAPEMIG.
References
[1] Boyce, W. E.; Di Prima, R. C., Equac~oes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno,
quinta edic~ao, editora LTC, 1994.
[2] Goldstein, H., Classical Mechanics, second edition, Reading, Addison-Wesley, 1980.
[3] Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M., Table of Integrals, Series, and Products, fth edition, ed. Alan Jerey, San
Diego, Academic Press, 1994.