Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2º Ano
Tipos de matrizes
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Tipos de Matrizes
TIPOS DE MATRIZES
ALGUMAS
MATRIZES
APRESENTAM
CERTAS CARACTERÍSTICAS QUE FAZEM
COM QUE RECEBAM NOMES ESPECIAIS.
VAMOS INVESTIGAR ESSAS MATRIZES?
VOCÊ É CAPAZ DE DESCOBRIR ESSAS
CARACTERÍSTICAS SOZINHO E PRODUZIR
NOMES ESPECIAIS PARA AS MATRIZES?
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Tipos de Matrizes
OBSERVE AS MATRIZES ABAIXO:
A=
D=
1
4
0
15
5
1
3
12
1
4
B=
5 10
-3 7
-6
5
-8
E=
25
0
C=
-32 14
1
4
-5
2
-4
8
11
7
0
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Tipos de Matrizes
O QUE PODEMOS OBSERVAR QUANTO AO
NÚMERO DE LINHAS E COLUNAS?
RESPOSTA:
As matrizes A, B e C têm 2 linhas e 2
colunas, ou seja, o número de linhas é
igual ao de colunas.
As matrizes D e E têm 3 linhas e 3 colunas,
além do que também possuem o número
de linhas igual ao de colunas.
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Tipos de Matrizes
QUAL A ORDEM DAS MATRIZES APRESENTADAS?
RESPOSTA:
As matrizes A, B e C são de ordem 2 X 2, e
as matrizes D e E são de ordem 3 X 3.
Podemos simplificar dizendo que as
matrizes A, B e C são de ordem 2, e
as matrizes D e E são de ordem 3.
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Tipos de Matrizes
AS MATRIZES ESTUDAS LEMBRAM ALGUMA FIGURA PLANA?
QUADRADOS
A=
1 1
4 3
0 12 -6
D= 15 1 5
5 4 -8
5
10
B=
-3 7
25
0
C=
-32 14
1 2 11
E= 4 -4 7
-5 8 0
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Tipos de Matrizes
As matrizes apresentadas são
denominadas MATRIZES QUADRADAS.
GENERALIZANDO, TEMOS:
Uma matriz A de ordem m x n é
denominada MATRIZ QUADRADA quando
O NÚMERO DE LINHAS É IGUAL AO DE
COLUNAS, isto é, m = n. Nesse caso,
dizemos que a matriz A é do tipo n x n, ou
seja, de ordem n, e é indicada por An.
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Tipos de Matrizes
Assim como os quadrados, as matrizes
quadradas também possuem diagonais.
Considere a matriz genérica A de ordem 3:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
DIAGONAL SECUNDÁRIA
Quais são as
diagonais dessa
matriz?
DIAGONAL PRINCIPAL
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Quanto aos índices dos elementos da
diagonal principal, o que podemos
observar de interessante?
Podemos observar que são iguais.
Quanto aos índices dos elementos da
diagonal secundária, o que podemos
observar de interessante?
Ah! Essa é mais difícil!?!? Vejamos:
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Vamos analisar o elemento a13 da diagonal secundária:
A ordem da matriz é 3 e o elemento a13 está
localizado na linha 1 e coluna 3.
Somando o número 1 (linha 1) com 3
(coluna 3), dá 4, que é justamente a ordem
da matriz (3) mais 1:
1 + 3 = 3+ 1
4=4
Será que isso acontece com todos os elementos
da diagonal secundária? Vejamos:
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O elemento a22 está localizado na linha 2 e
2 + 2 = 3+ 1
4=4
coluna 2:
O elemento a31 está localizado na linha 3 e
3 + 1 = 3+ 1
4=4
coluna 1:
CONCLUSÃO:
Em uma matriz quadrada A de ordem n , os
elementos aij , em que i + j = n + 1, formam a
DIAGONAL SECUNDÁRIA.
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Observe as matrizes quadradas abaixo:
8 -4 3
0 1 5
0 0 6
O que está
acontecendo
de especial?
4 5
0 3
6 0 0
5 1 0
3 2 7
Abaixo da diagonal
principal os elementos
são todos NULOS.
2 0
1 4
Acima da
diagonal
principal os
elementos
também são
todos NULOS.
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Os elementos nulos acima ou abaixo da diagonal
principal estão na forma de um triângulo, e a soma de
suas quantidades representam números triangulares.
8 0 0
5 1 0
3 2 7
4 5
0 3
8 -4
0 1
0 0
0 0
3
5
6
0
2
4
3
2
8
3
4
7
4
0
1
1
5
7
0
0
6
9
3
0
0
0
2
2
0
0
0
0
4
Pesquisa na
internet: O
que
são
números
triangulares.
NÚMEROS TRIANGULARES
1
3
6
10
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CONCLUSÃO:
Uma matriz
quadrada de ordem
n é denominada
MATRIZ
TRIANGULAR,
quando todos os
elementos ACIMA
OU ABAIXO da
diagonal principal
são NULOS.
Nesse tipo de matriz,
aij = 0 para i<j ou
aij = 0 para i>j.
A matriz triangular pode
ser denominada MATRIZ
TRIANGULAR SUPERIOR
ou MATRIZ TRIANGULAR
INFERIOR.
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4 5
0 3
8 -4
0 1
0 0
0 0
3
5
6
0
2
4
3
2
SÃO MATRIZES
TRIANGULARES
SUPERIORES.
NA SUA OPINIÃO, POR QUE
ELAS RECEBEM ESSA
DENOMINAÇÃO?
RESPOSTA CORRETA:
PORQUE OS
ELEMENTOS NULOS
ESTÃO ABAIXO DA
DIAGONAL
PRINCIPAL.
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8 0 0
5 1 0
3 2 7
8
3
4
7
4
0
1
1
5
7
0
0
6
9
3
0
0
0
2
2
SÃO MATRIZES
TRIANGULARES
INFERIORES.
0 E AGORA, POR QUE ELAS
RECEBEM ESSA
0
DENOMINAÇÃO?
0
RESPOSTA
CORRETA:
0
4
PORQUE OS
ELEMENTOS NULOS
ESTÃO ACIMA DA
DIAGONAL
PRINCIPAL.
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OBSERVE AS MATRIZES QUADRADAS.
4 0 0
0 1 0
0 0 3
O QUE ELAS POSSUEM DE ESPECIAL?
RESPOSTA: Os elementos
ACIMA E ABAIXO da diagonal
6 0 0 0 principal são todos nulos, e...
0 1 0 0 ...estão dispostos na forma de
0 0 5 0
triângulo, como na Matriz
0 0 0 2
Triangular.
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Percebe-se que as matrizes dadas deixam
em evidência os elementos da
DIAGONAL principal.
CONCLUSÃO:
Toda matriz quadrada de ordem n,
em que os elementos ACIMA E
ABAIXO da diagonal principal são
nulos, é denominada...
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MATRIZ DIAGONAL!!!!
Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j.
Podemos observar ainda que a MATRIZ
DIAGONAL é um caso particular da
MATRIZ TRIANGULAR, por apresentar
algumas características semelhantes :
É uma matriz quadrada e os elementos
nulos acima e abaixo da diagonal
principal têm a forma de triângulo.
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O que as matrizes quadradas abaixo
têm de curioso?
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Os elementos da diagonal principal são
todos iguais a 1, e os demais, iguais a 0.
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A matriz quadrada de ordem n, em que
todos os elementos da diagonal
principal são iguais a 1 e os demais
elementos são nulos, é denominada
MATRIZ IDENTIDADE.
Nesse tipo de matriz, aij = 0 para i ǂ j
e aij = 1 para i = j
Indicamos uma matriz identidade de
ordem n por In.
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EXEMPLOS:
I2 = 1 0 MATRIZ IDENTIDADE de ordem 2: I2
0 1
1 0 0
I3 = 0 1 0 MATRIZ IDENTIDADE de ordem 3: I3
0 0 1
A matriz identidade é uma caso particular de
matriz diagonal.
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Note que toda matriz identidade, diagonal e triangular é
uma matriz quadrada.
Utilizando o diagrama de Venn, podemos relacionar as matrizes
quadradas (Q), triangulares (T), diagonais (D) e identidades (I),
assim:
Todos os elementos
ACIMA E ABAIXO da
diagonal principal
são nulos.
Todos os elementos
ACIMA E ABAIXO da
diagonal principal
são nulos e os que a
compõem são
iguais a 1.
Q
T
D
I
O NÚMERO DE
LINHAS É IGUAL AO
NÚMERO
DE
COLUNAS.
Todos os
elementos ACIMA
OU ABAIXO da
diagonal principal
são nulos.
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Observe as matrizes atentamente.
0 0
A=
0 0
B= 1 2
C= 0 0 0
0 0 0
1 2
D= 4 5
7 8
Das matrizes apresentadas, quais
você denominaria MATRIZ NULA?
Por quê?
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RESPOSTA PROVÁVEL :
As matrizes A e C são nulas, pois
todos os seus elementos são iguais a
zero, ou seja , NULOS:
0 0
A=
0 0
PARABÉNS!!!!!!
É ISSO MESMO!!!
0
0
0
C=
0 0 0
Observe que a matriz A é
quadrada, e a matriz C não é.
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Concluindo:
Denominamos MATRIZ NULA aquela
que possui todos os elementos
iguais a zero. E tem mais...
...nesse tipo de
matriz, aij = 0 para
qualquer i e j, com
1 ≤ i ≤ m e i ≤ j ≤ n.
Indicamos uma matriz
nula de ordem m x n
por 0mxm ou, se a
matriz
nula
for
quadrada, por 0n.
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EXEMPLOS:
0 0 0
02x3 = 0 0 0
MATRIZ NULA de
ordem 2 x 3.
0 0
02 = 0 0
MATRIZ NULA de
ordem 2.
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Seguindo a sua intuição, separe as
matrizes abaixo em dois grupos: MATRIZ
LINHA E MATRIZ COLUNA. Em seguida,
justifique sua resposta.
2 4 0 -3
2
5
-1
1
-4
3
4 0 -1
2
15
-3 2 7 0 6
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RESPOSTA ESPERADA:
MATRIZ LINHA
2 4 0 -3
4 0 -1
-3 2 7 0 6
MATRIZ COLUNA
1
-4
3
2
15
2
5
-1
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JUSTIFICATIVA:
Toda matriz que possui apenas uma
linha ou que possui uma coluna
recebe, respectivamente, o nome de
MATRIZ LINHA e MATRIZ COLUNA.
PARABÉNS!!!!! MUITO BEM!!!!
Sendo assim, de modo geral, temos:
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Uma matriz do tipo 1 x n é chamada
MATRIZ LINHA.
2 4 0 -3
Matriz linha de ordem 1 x 4
Uma matriz do tipo m x 1 é chamada
MATRIZ COLUNA.
1
-4
3
Matriz coluna de ordem 3 x 1
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ATIVIDADES
1. Dada a matriz
A=
2
3
1
-5
0
6
-4
1
1
0
-1
0
10
-2
3
-6
, calcule a diferença entre a soma dos elementos da diagonal principal e a dos
elementos da diagonal secundária.
Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
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2. Classifique cada matriz em quadrada, triangular, diagonal, identidade, nula,
linha ou coluna
a) A=
0 1 0 1
d) D=
3 -1
0 3
b) B=
0 0 0
0 0 0
c) C=
e) E=
f) F=
0
1
0
0
3. O traço de uma matriz quadrada é igual à soma dos elementos da diagonal
principal. Calcule o traço da matriz:
a) A=
5 12
8 -9
b) B=
-1 0 2
4 5 -2
8 9 3
Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
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4.Julgue cada afirmação verdadeira (V) ou falsa (F).
a)
b)
c)
d)
Toda matriz quadrada nula é triangular.
A matriz identidade é um exemplo de matriz diagonal.
Toda matriz quadrada é triangular superior.
Quando pelo menos um elemento da matriz é igual a 0, então a
matriz é denominada nula.
e) O traço da matriz identidade é numericamente igual a sua
ordem.
Extraído do livro, Novo Olhar MATEMÁTICA, Joamir Souza,1 ed., vol. 2, Página133, São Paulo,FTD, 2010.
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GABARITO
1) 0
2)
a)linha
b)nula
c)quadrada
d)quadrada e triangular
e)quadrada, triangular, diagonal e identidade
f)coluna
3) A= -4; B = 7
4)a)V b)V c)F d)F e)V
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ATIVIDADES
B=
A=
Extraído do livro, MATEMÁTICA: ciência, linguagem e tecnologia,2, Jackson Ribeiro, Página121, São Paulo,Scipione, 2010.
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20. (Unifor – CE) Qual a alternativa verdadeira?
a)
1
1
1
0 0
1 0
1 1
b)
1
0
1
1
é uma matriz triangular
c)
0
1
1
0
é uma matriz identidade
d)
1
1
0
1
é uma matriz simétrica
e)
0
1
0
1
é a matriz simétrica de
é uma matriz diagonal
1
1
0
0
Extraído do livro, MATEMÁTICA: ciência,
linguagem e tecnologia,2, Jackson Ribeiro,
Página121, São Paulo,Scipione, 2010.
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GABARITO
18) x = -2 e x = 0
19) x = 1
20) b
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BIBLIOGRAFIA
-Behrens, Marilda Aparecida. O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição,
Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.
-Parâmetros curriculares nacionais: Matemática, Ensino Médio – Brasília : MEC.
-Ribeiro, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 2,Ensino Médio,São Paulo,
Scipione, 2010.
Souza, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática, vol. 2,1 ed.,São Paulo, FTD, 2010
-www.somatematica.com.br
-http://tvescola.mec.gov.br/
-www.brasilescola.com/matematica/tipo-matrizes.htm
-www. matematicoteca.blogspot.com.br/2011/08/tipos-de-matrizes.html