Geometria no Espaço II
(11º ano)
Modos de definir um plano
Um plano fica definido por:
Um vector normal ao plano n (n1, n2, n3)
e
Um ponto do plano dado A (a1, a2, a3)
Sendo P (x, y, z) um ponto qualquer do
plano
Equação do plano
n1x + n2y + n3z + d = 0
Sendo o vector normal ao plano:
n = (n1, n2, n3)
Equação do plano
Resultante de: n  AP = 0
(vectores perpendiculares, produto escalar nulo)
n1(x-a1)+ n2(y-a2)+ n3(z-a3) = 0
n1x - n1a1 + n2y - n2a2 + n3z -n3a2= 0
n1x + n2y + n3z + (- n1a1 - n2a2 -n3a3 ) = 0
d
(- n1a1 - n2a2 -n3a3 )
y
RECTA NO PLANO
r : x+y= 1
1
r
x
1
José Maria
Pl ano_01
Recta no plano
"traduz"
z
um plano no ESPAÇO
1
O
1
1
y
José Maria
Plano_02
x
Recta no plano
"traduz"
z
um plano no ESPAÇO
1
O
1
1
y
José Maria
Plano_02
x
y
RECTA NO PLANO
s : y = 2x -4
1
1
-2
2
x
s
-4
José Maria
Pl ano_04
Recta no plano
s: y = 2x -4
"traduz"
z
um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos zz)
1
O
-4
1
y
1
2
x
José Maria
Plano_05
Recta no plano
s: y = 2x -4
"traduz"
z
um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos zz)
1
O
-4
1
y
1
2
x
José Maria
Plano_05
Recta no plano (yOz)
t : z = -2y + 3 "traduz"
z
um plano no ESPAÇO  (paralelo ao eixo dos xx)
3

t
1
O
1
1
2
y
x
José Maria
Plano_06
Recta no plano (yOz)
t : z = -2y + 3 "traduz"
z
um plano no ESPAÇO  (paralelo ao eixo dos xx)
3

t
1
O
1
1
2
y
x
José Maria
Plano_06
Plano definido por :
vector normal:
2x - y + z - 2 = 0
= (2, -1, 1)
n
z
Inters ecção com o eixo Ox : y = 0 e z = 0
2x - 0 + 0 -2 = 0
x= 1
(1, 0, 0)
n
Inters ecção com o eixo Oy : x = 0 e z = 0
2(0) - y + 0 -2 = 0
y = -2
(0, 0, 2)
Inters ecção com o eixo Oz : x = 0 e y = 0
2(0) - 0 + z -2 = 0
z =2
(0, 0, 2)
1
n
O
(0, -2, 0)
-1
1
y
(1, 0, 0)
2
n
O
-1
1
2
x
(0, -2, 0)
José Maria
Plano_07
Paralelismo entre rectas e planos
o vector director (da recta r) é perpendicular
ao vector (n) normal ao plano
r

C
n
A
José Maria
Plano_08
Perpendicularidade entre rectas e planos
o vector director da recta (s ) é colinear
com o vector (n) normal ao plano
D
s
n

A
C
José Maria
Plano_09
Parale lismo entre dois planos
os vectores normais aos planos ( n e p )
s ão colineares
n

p

José Maria
Pl ano_10
Perpendicularidade entre planos
os vectores normais aos planos são perpendiculares
p
n
José Maria
Pl ano_11
Intersecção de dois planos e Resolução de sistemas
Os planos são estritamente paralelos

intersecção: conjunto vazio
sis tema: impos sível

José Maria
Plano_12
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
• Sistema impossível:
• 2 planos estritamente paralelos
•
•
2 vectores colineares
2 equações não equivalentes entre si
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
Sistema impossível:
• (2 planos estritamente paralelos)
•
•
x  y  z  1

2x  2y  2z  3
vectores normais
n  (1,1,1)

n  (2,2,2)
e
d=1

d=3
Intersecção de dois planos e Resolução de sistemas
Os planos são coincidentes


intersecção: um plano
sis tema: indeterminado
José Maria
Plano_20
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
• Sistema possível e indeterminado:
• 2 planos paralelos coincidentes
• 2 vectores colineares
• 2 equações equivalentes entre si
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
Sistema indeterminado:
• (2 planos paralelos coincidentes)
• x  y  z  1
2x  2y  2z  2
• vectores normais
n  (1,1,1)

n  (2,2,2)
e
d=1

d=2
Intersecção de dois planos e Resolução de sistemas
Os planos são secantes
intersecção: uma recta
sis tema: indeterminado
José Maria
Plano_21
Intersecção de dois planos no espaço
A intersecção dos 2 planos
é dada por um sistema:
 x  z  4

 y  2
r
z
4
- a intersecção é uma recta
- o sistema é poss ível indeterminado

X

1
-2
y
1
1
A
3
4
xOy
x
José Maria
Plano_24
Intersecção de dois planos no espaço
A intersecção dos 2 planos é dada
pelas equações cartes ianas
x  y  z  1

 x  y  2z  5
z
x -3 = y + 2 = z
-3
1
2
a inters ecção é uma recta
r
r = (-3, 1, 2)
3
r
A = (3, -2, 0)
o sis tema é pos sível indeterminado
2
1
y
-5
1
2
1
3
r
5
0
x
José Maria
Plano_26
3
1
Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos
• Sistema indeterminado:
• (2 planos intersectam-se numa recta)
x  y  z  1

 x  y  2z  5
• vectores normais
•
n  (1,1,1)

n  (1, 1,2)
e
d=1

d=5
OBS: Neste caso é necessário determinar a equação da recta de intersecção
Ver resolução de sistema em ficheiro
Acrobat Reader
“Posição relativa de 2 planos.pdf ”
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
Os 3 vectores normais s ão colineares,
e as 3 equações não equivalentes

intersecção: conjunto vazio
sistema: impossível


José Maria
Plano_13
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• 3 planos estritamente paralelos
• 3 vectores normais colineares
• 3 equações não equivalentes entre si
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
Os 3 vectores normais são colineares ,
e 2 equações s ão equivalentes entre
si e não equivalentes com a 3ª

intersecção: conjunto vazio
sistema: impossível


José Maria
Plano_17
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• 2 planos coincidentes e paralelos ao terceiro
• 3 vectores normais colineares
• só 2 equações equivalentes
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
Só 2 vectores normais são colineares
e as 2 equações corres pondentes não
são equivalentes

intersecção: conjunto vazio
sistema: impossível


José Maria
Plano_18
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• 2 planos estritamente paralelos
• e
• o terceiro secante aos dois
• só 2 vectores normais colineares
• e as 2 equações não equivalentes
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
Os 3 vectores normais não s ão
colineares


intersecção: conjunto vazio
sistema: impossível

José Maria
Plano_19
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema impossível
• nenhum plano paralelo
• nem coincidente
•
nenhum vector normal colinear entre si
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: plano
sistema: indeterminado
planos coincidentes


Os 3 vectores normais são colineares ,
e as 3 equações são equivalentes entre si

José Maria
Plano_14
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema possível e indeterminado
• 3 planos coincidentes
•
•
3 vectores normais colineares
3 equações equivalentes
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: recta
sistema: indeterminado
Só 2 vectores normais são colineares
e as 2 equações correspondentes são
equivalentes
Os planos são secantes sendo
dois deles coincidentes



José Maria
Plano_15
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema possível e indeterminado:
• 2 planos coincidentes e 1 secante aos dois
•
•
só 2 vectores colineares
só 2 equações equivalentes
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: recta
sistema: indeterminado
Os vectores normais não são colineares
Os três planos são secantes e
não coincidentes



José Maria
Plano_16
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
•Sistema possível e indeterminado:
•3 planos secantes segundo a mesma recta
• não há vectores colineares
• nem equações equivalentes
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
intersecção: ponto
sistema: possível e determinado
z
(0, 0, 1)
(0, 1, 1)

A = (1, 0, 1)
(1, 1, 1)
vector normal u = ( 1, 1, 1)


(0, 1, 0)
y
(0, 0, 0)
(1, 0, 0)
x
(1, 1, 0)
José Maria
Plano_27
Intersecção de três planos e Resolução de sistemas
z
( 1 ,1, 2 )
intersecção: ponto
sistema: possível e determinado
( 0, 1, 1 )
( 1, 0, 1 )
( 1, 2, 1 )
( 2, 1, 1 )
y
H
( 1, 1, 0 )
x
OCTAEDRO cons truído num cubo com aresta 2
José Maria
Plano_28
Intersecções de 3 planos / Posição relativa de 3 planos
• Sistema possível e determinado:
• 3 planos secantes (intersectam-se num ponto)
• nenhum vector colinear
• nenhuma equação equivalente
Ver resolução dum sistema
em ficheiro Word
“Posição relativa de 3 planos.pdf”