Independência e dependência linear
12) a) Sejam v1 , v2 e v3 vectores linearmente independentes de um espaço linear S. Prove
que os vectores
w1 = v1 + v2 + v3
w2 = 2v2 + v3
w3 = −v1 + 3v2 + 3v3
(1)
também são linearmente independentes.
Resolução Seja V a expansão linear de {v1 , v2 , v3 },
V = L({v1 , v2 , v3 }) ⊂ S .
O conjunto de três vectores {v1 , v2 , v3 } é linearmente independente e gera V pelo que
é uma base de V . Então, como vimos nas aulas teóricas, os vectores w1 , w2 , w3 são
linearmente independentes se e só se a matriz T , que relaciona estes vectores com os
vectores da base B = {v1 , v2 , v3 }, é invertı́vel:


1 0 −1
3 .
T = 1 2
1 1
3
[a primeira coluna de T são os coeficientes da expansão linear de w1 na base B (veja
(1) acima), a segunda são os coeficientes da expansão linear de w2 e a terceira são os
coeficientes da expansão linear de w3 ]. Temos que, calculando o determinante de T
(usando, por exemplo, a fórmula de Laplace ao longo da primeira linha,
det(T ) = 1.(6 − 3) + (−1)(1 − 2) = 4 6= 0.
Logo, os vectores w1 , w2 , w3 , são linearmente independentes.
b) Seja {v1 , v2 , . . . , vn } um conjunto linearmente independente de vectores de K n (sendo
K um corpo qualquer) e seja A uma matriz invertı́vel n × n. Prove que o conjunto
{Av1 , Av2 , . . . , Avn } também é linearmente independente.
Resolução Mostremos que a igualdade
α1 Av1 + · · · + αn Avn = 0
implica, α1 = · · · = αn = 0, pelo que o conjunto {Av1 , Av2 , . . . , Avn } é de facto
linearmente independente. Temos
α1 Av1 + · · · + αn Avn = 0 ⇔ A (α1 v1 + · · · + αn vn ) = 0.
Multiplicando agora ambos os membros da segunda igualdade, à esquerda, por A−1
obtemos
α1 v1 + · · · + αn vn = 0.
Como v1 , . . . , vn são linearmente independentes chegamos ao resultado pretendido,
α1 = · · · = αn = 0.
1
13) Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes.
a) Em R4 :
(1, 1, 0, 0)
(1, 0, 1, 0)
(0, 0, 1, 1)
(0, 1, 0, 1)
Resposta: não são linearmente independentes.
b) Em RR :
i.
Resposta:
ii.
Resposta:
iii.
Resposta:
{1, x2 , (1 + x)2 }
são linearmente independentes.
{1, cos 2x, sen2 x}
não são linearmente independentes (sen2 (2x) = 12 (1 − cos(2x)).
{sen x, sen 2x}
são linearmente independentes.
14) Determine se é verdadeiro ou falso que se v1 , v2 e v3 são vectores linearmente independentes então também os vectores
w1 = v1 + v2
w2 = v1 + v3
w3 = v2 + v3
são linearmente independentes.
Resposta: são linearmente independentes.
(Nota: este exercı́cio é análogo ao exercı́cio 12a).
15) a) Quantas são as matrizes de permutação 4 × 4? São linearmente independentes?
Geram o espaço de todas as matrizes 4 × 4?
Resolução São 4! = 4 × 3 × 2 = 24 matrizes, Pσ ∈ M at4 (R), σ ∈ S4 . Uma vez que M at4 (R) ∼
=
16
R , 24 matrizes são necessáriamente linearmente dependentes [em M at4 (R) há, no
máximo, 16 matrizes linearmente independentes].
As matrizes de permutação também não geram M at4 (R). De facto, todas as linhas e
todas as colunas das matrizes de permutação têm uma entrada igual a 1 e as restantes
iguais a 0. Isso implica que qualquer combinação linear de matrizes de permutação
é uma matriz com as somas das entradas de todas as linhas iguais entre si e iguais
às somas das entradas de todas as colunas. Assim, qualquer matriz que não satisfaça
a essa propriedade, não pertence ao espaço das matrizes geradas pelas matrizes de
permutação. Por exemplo a matriz,


1 1 3 2
 3 1 1 2 


 2 1 3 1  ,
1 1 3 2
tem as somas das entradas de todas as linhas iguais a 7 mas a soma das entradas da
coluna 2 é igual a 4 e da coluna 3 é igual a 10.
2
b) Responda às mesmas questões para matrizes n × n.
Resolução Para n > 1 as matrizes de permutação não geram o espaço de todas as matrizes n × n
pela mesma razão do caso n = 4 da alı́nea anterior.
Relativamente à independência linear temos de considerar separadamente 3 casos.
1) n = 2: Neste caso temos só duas matrizes de permutação,
1 0
0 1
I=
,
0 1
1 0
que são linearmente independentes (mostre isso!).
2) n = 3: O número de matrizes de permutação 3 × 3 é 3! = 6. Como o espaço
de todas as matrizes 3 × 3, M at3 (R) ∼
= R9 , tem dimensão 9, as matrizes de
permutação podiam ser linearmente independentes. No entanto não são como
se pode mostrar considerando o problema equivalente em R9 (mostre isso aplicando o MEG à matriz 9 × 6 que obtém tomando as imagens das 6 matrizes de
permutação em R9 ).
3) n ≥ 4: Para n ≥ 4, temos que n! > n2 pelo que as matrizes de permutação não
podem ser linearmente independentes, como explicámos na alı́nea anterior.
16) Seja V um espaço vectorial real. Dados os vectores x, y, z e w pertencentes a V , seja
f : V → R3 um isomorfismo tal que:
f (x) = (1, 2, 3)
f (y) = (1, 0, 1)
f (z) = (1, 1, 0)
f (w) = (2, 3, 1)
a) Diga se w é combinação linear de x, y e z. Em caso afirmativo, exprima w como
combinação linear de x, y e z.
Resolução Como f : V → R3 é um isomorfismo a pergunta colocada é equivalente a determinar
se f (w) = (2, 3, 1) é uma combinação linear dos vectores,
f (x) = (1, 2, 3), f (y) = (1, 0, 1), f (z) = (1, 1, 0),
ou, equivalente, saber se a coluna


2
 3 
1
é combinação linear das colunas da matriz

1

2
A=
3
Ou seja, temos de estudar a possibilidade

1
e

2
A=
3
3
(i.e. pertence a Col(A))

1 1
0 1 .
1 0
do sistema com matriz aumentada

1 1 2
0 1 3 
1 0 1
e, se for possı́vel, resolvê-lo. Aplicando o MEG,




1
1
1
2
1 1
1
2
e →  0 −2 −1 −1  →  0 2
e.
1
1 =B
A
0 −2 −3 −5
0 0 −2 −4
e o sistema é possı́vel. Resolvamos o sistema com matriz
Como car(A) = 3 = car(A),
e (que é equivalente ao sistema com matriz aumentada A).
e
aumentada B


 α1 + α2 + α3 = 2
 α1 = 21
α2 = − 12 .
2α2 + α3 = 1 ⇔


α3 = 2
α3 = 2
Ou seja, a combinação linear das colunas de A que é igual a (2, 3, 1) é
 
 
 
 
2
1
1
1
 3  = 1  2  − 1  0  + 2  1 
2
2
1
3
1
0
pelo que, para o vector w de V , temos
1
1
w = x − y + 2z .
2
2
b) Diga se o conjunto {x, y, z} gera V .
Resolução O conjunto {x, y, z} gera V se e só se a sua imagem por f ,
{(1, 2, 3), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}
(2)
gera R3 . Mas um conjunto de três vectores em R3 , gera R3 se e só se é linearmente
independente e portanto se só se é uma base. Como vimos na alı́nea anterior a matriz
A tem três pivots pelo que as suas colunas são linearmente independentes. Assim, o
conjunto {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} gera R3 pelo que conjunto {x, y, z} gera o espaço
V.
c) Diga se {x, y, z} é linearmente independente.
Resolução Análogamente à alı́nea anterior {x, y, z} é linearmente independente se e só se a sua
imagem por f (ver (2) na alı́nea anterior) é linearmente independente em R3 . Já
vimos que é nas alı́neas anteriores (car(A) = 3).
17) Seja V um espaço vectorial real. Dados os vectores x, y e z pertencentes a V , seja
f : V → P3 (R) um isomorfismo tal que:
f (x) = 1 + t + t2
f (y) = 1 + 2t + 3t2 + t3
f (z) = 3 + t2
a) Justifique que existe um isomorfismo de V para R4 . Para um tal isomorfismo g,
apresente os valores g(x), g(y) e g(z).
4
Resolução Consideremos primeiro o seguinte isomorfismo do espaço de polinómios de grau menor
ou igual a três para R4 ,
h : P3 (R) → R4
h(a + bt + ct2 + dt3 ) = (a, b, c, d).
Como é dado que f : V → P3 (R) é um isomorfismo e a composição de isomorfismos
é um isomorfismo, temos que a função
g = h ◦ f : V → R4 ,
é um isomorfismo. As imagens pedidas são, para esta escolha de isomorfismo g,
g(x) = (h ◦ f )(x) = h(f (x)) = h(1 + t + t2 ) = (1, 1, 1, 0)
g(y) = (h ◦ f )(y) = h(f (y)) = h(1 + 2t + 3t2 + t3 ) = (1, 2, 3, 1)
g(z) = (h ◦ f )(z) = h(f (z)) = h(3 + t2 ) = (3, 0, 1, 0).
b) Diga se x, y e z geram V .
Resolução Uma vez g = h ◦ f : V → R4 é um isomorfismo a pergunta colocada é equivalente
a perguntar se os três vectores de R4 , obtidos na alı́nea anterior, e que são imagens
dos vectores de V , x, y, z, geram R4 . Mas sabemos que três vectores em R4 nunca
podem gerar R4 (são necessários quatro vectores linearmente independentes). Logo
x, y, z, também não geram V .
c) Diga se {x, y, z} é linearmente independente.
Resolução A independência linear de {x, y, z} em V é equivalente à independência linear de
{g(x), g(y), g(z)} = {(1, 1, 1, 0), (1, 2, 3, 4), (3, 0, 1, 0)} em R4 . Aplicamos o MEG á
matriz que tem como colunas estes vectores,








1 1 3
1 1
3
1 1
3
1 1
3
 1 2 0 






 →  0 1 −3  →  0 1 −3  →  0 1 −3  .
A=
 1 3 1 
 0 2 −2 
 0 0
 0 0
4 
4 
0 1 0
0 1
0
0 0
3
0 0
0
Como todas as colunas de A têm pivots são todas linearmente independentes. Logo,
{x, y, z} é linearmente dependente em V .
5