Álgebra Linear
e
Geometria Analítica
10ª aula
Vectores no plano
Vectores no espaço
Vectores em
n

(u1+v1, u2+v2)
(v1,v2)
(u1,u2)
(ku1,ku2)
ku
u
(u1,u2)
Produto interno
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
Produto interno e norma
• u = (u1, u2); v = (v1,v2)
• u . v = u1v1 + u2 v2
u  u.u  u  u
2
1
2
2
Produto interno em n
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
• v = (v1, v2, v3, v4 . . . , vn);
• u . v = u1v1 + u2 v2 + u3v3 + u4 v4 + . . .+ un vn
n
u.v   ui vi
i 1
Propriedades do produto interno
•
•
•
•
•
u.v=v.u
u . (v + w) = u . v + u . w
 ( u . v ) = ( u) . v = u . ( v)
u.u0
u.u=0u=0
Produto interno e norma em n
• u = (u1, u2, u3, u4 . . . , un);
u  u.u  u  u  u    u
2
1
2
2
2
3
2
n
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
•
u  1  6  0   1  0  2
2
2
2
2
2
2
EXEMPLOS
• u = (1, 6, 0, -1, 0, 2)
• v = (-1, 0, 1, 1, 10, -2)
• u . v = 1(-1) + 60 + 01 + (-1)1 + 010 + 2 (-2) =
= -1 + 0 + 0 -1 + 0 -4 = -6
•
u  1  6  0   1  0  2
2
2
2
 1  36  1  4  42
2
2
2
Propriedades da norma
u 0 u 0
u0 u 0
u   u
uv  u  v
u.v  u  v
Desigualdade triangular
Desigualdade
Cauchy-Schwartz
A
B
A
||A||
||B||
||A+B||
Desigualdade triangular
B
A+B
B
||B||
||A||
A
A+B
B
||B||
||A||
A
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
A+B
B
||B||
A
||A||
Se os vectores são perpendiculares, pelo teorema de Pitágoras:
A B  A  B
2
2
2
A B 
2
  A  B 
. A  B   A. A  A.B  B. A  B.B 
 A. A  B.B  2 A.B  
 A  B  2 A.B 
2
2
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o
seu produto interno for nulo
Ortogonalidade:
• Definição: Dois vectores são ortogonais se o
seu produto interno for nulo
• Exemplo:
• u = (1, 2, 3, 4) ; v = (-4, -3, 2, 1)
• u . v = -4 -6 + 6 + 4 = 0
A
B
A
B
tB
A
B
tB
tB é a projecção do vector A sobre B
C
A
B
tB
C
A = tB + C
B
tB
C
A = tB + C
B
tB
A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
C
A = tB + C
B
tB
A . B = (tB + C) . B = t B . B + C . B = t B.B
A.B A.B
t
 2
B.B B
A = tB + C
C

B
tB
A = tB + C
C

B
tB
cos 
tB
A

tB
A
A = tB + C
C

B
tB
tB
tB
A.B
cos 


A
A
A B
Definição de projecção de um vector
sobre outro:
Sejam u e v vectores de n
A projecção de u sobre v é o vector  v sendo
u.v

v.v
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n
O ângulo entre os vectores u e v é  tal que
u.v
cos 
u v
Definição de ângulo de dois vectores:
Sejam u e v vectores não nulos de n
O ângulo entre os vectores u e v é  tal que
u.v
cos 
u v
u.v
  arccos
u v
Limites do valor de cos
u.v
cos 
u v
u.v  u v 
u.v
u v
u.v
1 
1
u v
1
Exemplo:
u  1,1,1,0,1

v   1,1,1, 6 ,0
u.v  3

u  4 2
v  9 3
Exemplo:
u  1,1,1,0,1

v   1,1,1, 6 ,0
u.v  3

u  42
3
1
cos 

23
2
v  9 3
Exemplo:
u  1,1,1,0,1

v   1,1,1, 6 ,0
u.v  3

u  42
3
1
cos 

23
2
2
 
3
v  9 3
Produto externo
• Só se define produto externo em 3
u  u1 , u2 , u3  v  v1 , v2 , v3 
u  v  u2v3  u v , u v  u v , u v  u2v1 
||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 sen2
3 2
3 1
1 3 1 2
Produto externo
• Só se define produto externo em 3
u  u1 , u2 , u3  v  v1 , v2 , v3 
u  v  u2v3  u3v2 , u3v1  u1v3 , u1v2  u2v1 
e1  1,0,0 e2  0,1,0 e3  0,0,1
e1  e2  e3
e2  e3  e1
e3  e1  e2
Regra prática:
e1  1,0,0  e2  0,1,0 e3  0,0,1
 e1 e2

u  v " det"u1 u 2
 v1 v2
e3 

u3 
v3 
Regra prática:
e1  1,0,0 e2  0,1,0 e3  0,0,1
u  1,2,3 v  4,5,6
e1 e2
u  v " det" 1 2
 4 5
e3 
3 
6 
Regra prática:
e1  1,0,0 e2  0,1,0 e3  0,0,1
u  1,2,3 v  4,5,6
e1 e2
u  v " det" 1 2
 4 5
e3 
3  
6 
2 3
 1 3
1 2 
 det 
e1  det 
e2  det 
e3



5 6
 4 6
4 5
Regra prática:
e1  1,0,0 e2  0,1,0 e3  0,0,1
u  1,2,3 v  4,5,6
e1 e2
u  v " det" 1 2
 4 5
e3 
3  
6 
 2 3
 1 3
1 2 
 det 
e1  det 
e2  det 
e3 



 5 6
 4 6
4 5
 31,0,0  (6)0,1,0  30,0,1
Regra prática:
e1  1,0,0  e2  0,1,0  e3  0,0,1
u  1,2,3 v  4,5,6 
e1 e2

u  v " det " 1 2
 4 5
e3 

3 
6 
 2 3
1 3
1 2 
 det 
e1  det 
e2  det 
e3 



5 6
 4 6
4 5
 31,0,0   (6)0,1,0   30,0,1 
  3,6,3
Propriedades do produto externo:
•
•
•
•
•
•
u  v = - (v  u)
u  (v + w) = u  v + u  w
 (u  v) = ( u)  v
u . (u  v) = 0
v . (u  v) = 0
||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u  v = 0  u e v linearmente dependentes
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!
• Exemplo:
e1  e1  e2   e1  e3  e2
Propriedades do produto externo:
• O produto externo não é associativo!
• Exemplo:
e1  e1  e2   e1  e3  e2
e1  e1  e2  0  e2  0
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, uv} linearmente independente
• Qualquer vector ortogonal a u e a v é múltiplo
de uv
Propriedades do produto externo:
• u e v linearmente independentes
• {u, v, uv} formam base de 3
Propriedades do produto externo:
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
Propriedades do produto externo:
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos
Propriedades do produto externo:
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2
Propriedades do produto externo:
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
Propriedades do produto externo:
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)
Propriedades do produto externo:
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – (u . v)2
• u . v = ||u|| ||v|| cos
• (u . v)2 = ||u||2 ||v||2 cos2
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 – ||u||2 ||v||2 cos2
• ||u  v||2 = ||u||2 ||v||2 (1 – cos2)
• ||u 
2
v||
=
2
||u||
2
||v||
2
sen 
A
||A||sen

B
A
||A||sen

B
Área do paralelogramo:
:||A  B|| = ||A|| ||B|| sen
Produto misto
•
•
•
•
O produto misto só se define em 3
u, v, w  3
O produto misto de u, v e w é:
u . (v  w)
Regra prática para calcular
o produto misto
• u, v, w  3
 u1
u.(v  w)  det  v1
 w1
u2
v2
w2
u3 
v3 
w3 
Propriedades do produto misto
• u, v, w  3
• u . (v  w) = 0  {u, v, w} linearmente
dependente
• u . (v  w) = (u  v) . w
• u . (v  w) = v . (w  u)
• u . (v  w) = - u . (w  v) = - v . (u  w)
Interpretação geométrica:
• (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo
determinado por u, v e w.
Interpretação geométrica:
• (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo
determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da
base
Interpretação geométrica:
• (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo
determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da
base
• ||w||cos dá a altura, sendo  o ângulo
entre w e uv
Interpretação geométrica:
• (u  v) . w dá o volume do paralelepípedo
determinado por u, v e w.
• Se u e v definem a base, ||uv || é a área da
base
• ||w||cos dá a altura, sendo  o ângulo
entre w e uv
• Volume = ||uv || ||w||cos = (u  v) . w
w
v
u
w
v
u
uv
w
v
u
uv
altura
w
v
u
uv
w
Altura = ||w|| cos

v
u
uv
w
Altura = ||w|| cos

v
Área da base = ||uv||
u
Bases ortonormadas
• Um conjunto de vectores diz-se
ortogonal se os vectores forem
ortogonais dois a dois.
• Um conjunto de vectores diz-se
ortonormado se for ortogonal e
todos os vectores tiverem norma
unitária
Bases ortonormadas
• Um vector que tiver norma igual a
um diz-se unitário.
• Dado um qualquer vector não nulo u,
é possível construir um vector
unitário a partir de u fazendo:
1
u
u
Como obter uma base ortogonal?
• Seja {u1, u2, . . . , un} uma base de um espaço
vectorial de dimensão n.
• Obtém-se a partir daqui uma base ortogonal
{v1, v2, . . . , vn} aplicando o chamado processo
de ortogonalização de Gram-Schmidt que
consiste em:
Ortogonalização de Gram-Schmidt
v1  u1
Ortogonalização de Gram-Schmidt
v1  u1
v2  u 2 
u 2 .v1
v1
2
v1
Ortogonalização de Gram-Schmidt
v1  u1
v2  u 2 
u2 .v1
v3  u3 
u3 .v1
v1
v1
2
2
v1
v1 
u3 .v2
v2
2
v2
Ortogonalização de Gram-Schmidt
v1  u1
v2  u 2 
u2 .v1
v3  u3 
u3 .v1
v1
v1
2
2
v1
v1 
u3 .v2
v2

n 1
vn  u n  
j 1
un .v j
vj
2
vj
2
v2