&DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR42 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x [[ [ } é uma EDVH do espaço vectorial 3[[] dos SROLQyPLRVGHFRHILFLHQWHVUHDLVHGHJUDXDWp. Mostremos que o conjunto { 3[[] { S[ D D[ D[ D[ DL ¸ } Representamos por 3[[] o SROLQyPLRQXOR, o YHFWRUQXOR deste espaço, 3[[] [[ [ L Mostremos que os vectores [[ [ são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. ±¸ Procuremos escalares DEFG tais que, D E[F[ G[ 3[[] sendo 3[[] o polinómio LGHQWLFDPHQWHQXOR, é evidente que esta igualdade só pode verificar-se para WRGRRYDORU de [ Os vectores [[ ± ¸, se D E F G . [ são portanto OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. LL Mostremos que os vectores [[ [ são JHUDGRUHVGH 3[[]. Como qualquer vector (polinómio) deste espaço tem a forma, S[ D D[ D[ D[ obviamente H[LVWHPRVHVFDODUHV D D D D ¸ que permitem escrever S[ como FRPELQDomROLQHDU de [[ Portanto o conjunto { [. [[ [ } é uma EDVH do espaço vectorial 3[[]. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR43 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre £ e Y Y YN ∈ ( um conjunto de vectores tal que, para DOJXP L YL é uma FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV. ± {N} , Então, VmRLJXDLVRVVXEHVSDoRV, ÄY Y YL , YL , YL , ..., YNÔ = ÄY Y YL , YL , ..., YNÔ x x Este resultado é útil para a FRQVWUXomRGHXPDEDVH de um espaço vectorial finitamente gerado. Por exemplo, se soubermos que, YHULILTXH ¸2 = Ä Ô como XP GRVYHFWRUHVpDVRPDGRVUHVWDQWHV, pela SURSRVLomRDQWHULRU, ficamos também a saber que, ou seja, os vectores e YHULILTXHWDPEpP ¸2 = Ä Ô JHUDP ¸2. Por outro lado, como os vectores e são também OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, ficamos ainda a saber que, o conjunto { } p XPDEDVH de ¸ . 2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR44 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Todo o espaço vectorial ILQLWDPHQWHJHUDGRWHPEDVH. 'HPRQVWUDomR: Seja ( um espaço vectorial finitamente gerado. ( { ( } a base é o FRQMXQWRYD]LR. No caso particular de Analisemos o caso geral: Se ( z { ( } é um espaço vectorial ILQLWDPHQWHJHUDGR, então existe um FRQMXQWRILQLWR X X XQ ∈ ( de vectores, tais que, ( ÄX X XQÔ e como ( z { ( }, algum desses vectores deverá ser diferente do vector nulo. Se os vectores X X XQ forem OLQHDUPHQWH LQGHSHQGHQWHV, então formam uma EDVH de (. Caso contrário são OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV e, pela proposição da página 26, pelo menos XPGHOHVpFRPELQDomR OLQHDUGRVUHVWDQWHV. SejaXL esse vector. Então, pela propriedade da página 43, os UHVWDQWHVYHFWRUHVJHUDPRPHVPRHVSDoR, ou seja, ( Ä X X XL XL XQ Ô Ora se os vectores X X XL XL XQ forem OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, então formam uma EDVH de (. Caso contrário repete-se o procedimento anterior. Então, como o Q~PHURGHJHUDGRUHVpILQLWR (e pelo menos um deles não é nulo) este processo acabará por encontrar um VXEFRQMXQWR de { X X XQ } formado por vectores que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e que JHUDP (, ou seja, uma EDVH de (. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR45 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Seja ( um espaço vectorial sobre £. Qualquer conjunto x 3RUWDQWR: x O exemplo seguinte mostra FRPR FRQVWUXLUXPDEDVH de um espaço vectorial finitamente gerado, a partir de um FRQMXQWRILQLWRGHJHUDGRUHV. x finito de geradores WHPFRPRVXEFRQMXQWRXPDEDVH de (. Por exemplo, sabendo que, ¸3 = Ä ±±Ô YHULILTXH pretendemos descobrir uma EDVHFRQWLGDQRFRQMXQWR, 6 { ±± } Comecemos por verificar se os vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Sejam então D, E, J, G ∈ ¸ tais que, D E ±J G ± e desta igualdade obtemos o VLVWHPD, E J G DJ±G que tem por PDWUL]DPSOLDGD, D ± E J G BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR46 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB e que escalonando, donde obtemos, D E J G G ±G Então este sistema admite VROXo}HVQmRQXODV, como por exemplo, D E G J ± e portanto os vectores são OLQHDUPHQWHGHSHQGHQWHV. Logo, XP GHOHV pode escrever-se como FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR47 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB A partir da VROXomRQmRQXOD considerada: ±±± podemos escrever um deles como combinação linear dos restantes, como por exemplo, ± ±±± E pela proposição na página 43, ¸3 = Ä ±±Ô se então ¸3 = Ä ±Ô Vejamos então se estes três vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Sejam D, E, J ∈ ¸ tais que, D E ±J DJ e desta igualdade obtemos o VLVWHPD, EJ D±EJ que tem como VROXomR~QLFD, D E J Portanto os vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e, ) p XPDEDVHde ¸ . { ±} 3 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR48 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x Um espaço vectorial pode ter YiULDVEDVHV. Por exemplo em ¸ , 2 O conjunto de vectores { } é XPDEDVH porque são linearmente independentes e geram o espaço, pois todo o vector [\ pode ser escrito como, [\ \±[[±\ Mas também os vectores formam XPDEDVH, H H pois são linearmente independentes e todo o vector [\ pode obviamente ser escrito como, [\ [\ Esta é chamada a EDVHFDQyQLFD de ¸ . 2 x Para cada base, a cada vector [\corresponde uma FRPELQDomROLQHDU ~QLFD, ou UHSUHVHQWDomRnessa base. Por exemplo o vector , na base { na base { x } escreve-se } escreve-se Aos escalares dessas combinações lineares chamam-se FRRUGHQDGDVGR YHFWRU nessa base. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR49 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x ± ´, a EDVHFDQyQLFD ou EDVHSDGUmR do espaço vectorial ¸n é formada pelos Q vectores, Para todo o Q H H HQ HQ É simples verificar que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e que JHUDPRHVSDoR n vectorial ¸ . A EDVHFDQyQLFD de ¸ é uma EDVHRUGHQDGD e escreve-se, n )¸n x H H HQ O termo EDVHRUGHQDGD significa que a RUGHPGDVFRRUGHQDGDV é importante. Por exemplo em ¸ , o vector tem as coordenadas e na base 2 canónica, enquanto que na base seria o vector . x Outras bases podem ser consideradas para o espaço vectorial ¸ , n Por exemplo verifique que para, Y Y YQ Y Y YQ YQ é também uma EDVH de ¸ . n BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR50 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: x Ao Q~PHURGHYHFWRUHVGHTXDOTXHUEDVH de um espaço vectorial( chama-se GLPHQVmRGH Todas as bases de um espaço vectorial têm R PHVPR Q~PHURGHHOHPHQWRV. ( e representa-se por GLP (. , x Por exemplo em ¸ , consideremos uma recta que passa pela origem \ ou seja, o VXEHVSDoRYHFWRULDO definido por, 3 GLP ¸ Q. Naturalmente que GLP ¸ 2 GLP ¸ , ... , x n 2 ) P[ { [\ ± ¸2 : \ P[ } { [P[ ± ¸2 } Qual a GLPHQVmR de ) ? Visto que [P[ [P para qualquer [ então o vector P JHUD ), ou seja, ± ¸, ) = Ä PÔ. Por outro lado como Pz , então é OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH. Portanto x ) P é uma base de ) e então GLP ) . Para o espaço vectorial 3Q[[] dos polinómios de grau até Q, a EDVHFDQyQLFD é formada por ( [[ [Q ). Mostre que se trata de uma base e portanto GLP 3Q[[] Q. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR51 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x Consideremos por exemplo o VXEHVSDoR de ¸ definido por, 3 $ { [\] ± ¸3 : [ } Qual será a GLPHQVmR de $ ? Como todo o vector Y ±$ então podemos escrever, tem a forma, Y \] Y \] ou seja, todo o vector de $ se escreve como FRPELQDomROLQHDU de e . Também é simples verificar que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Formam então uma EDVH de $ e portanto GLP $ , o que seria de esperar, visto $ ser um SODQR no espaço ¸ . 3 x No espaço vectorial 3Q[[] dos polinómios de grau até Q, com Q t , consideremos o conjunto dos polinómios com WHUPRLQGHSHQGHQWHQXOR, ou seja, * { S[ ± 3Q[[] : S } Mostremos que * GLPHQVmR. d 3Q[[], ou seja, que p VXEHVSDoR e determinemos a sua * é subespaço de 3Q[[] pois, L o SROLQyPLR QXOR 3Q[[] [[Q ± * BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR52 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB LL S[, T[∈ * Á ST[∈ * pois se então LLL S T e ST ST D ∈ ¸, S[∈ * Á D S[∈ * pois se então S D S D S D E assim mostrámos que * d 3Q[[]. Para encontrarXPDEDVH de *, basta verificar que todo o S[ ∈ * tem a forma, S[ D D[ D[ DQ[Q , D[ D[ DQ[Q ou seja, uma FRPELQDomROLQHDU dos vectores Portanto o conjunto de vectores { comD e DL ¸ [[[Q. [[[Q } JHUD *. Por outro lado, o conjunto de vectores { [[[Q }, sendo um VXEFRQMXQWR GDEDVHFDQyQLFD de 3Q[[], é também um conjunto de YHFWRUHVOLQHDUPHQWH LQGHSHQGHQWHV. [Q) p XPDEDVH de * E assim mostrámos que ([[ e portanto GLP* Q. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR53 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x No espaço vectorial 0l(¸) a EDVH FDQyQLFD é formada por, Verifique que ( ( ( ( () é efectivamente uma base de 0l(¸) e portanto que GLP 0l(¸) x No espaço vectorial 0l(¸) a EDVH FDQyQLFD é formada por, e portanto GLP 0l(¸) x . . Generalizando, no espaço vectorial 0PlQ(¸) a EDVHFDQyQLFD é formada pelo conjunto ordenado de matrizes, ( %LML PM Q ) onde %LM é a matriz do tipo PlQ cujo único elemento não nulo é ELM Como o conjunto tem PlQ elementos, GLP 0PlQ(¸) . PlQ. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR54 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre £ tal que GLP ( Q. Então: L Quaisquer Q vectores de ( linearmente independentes formam uma base de ( LL Qualquer conjunto de geradores de ( com Q elementos forma uma base de ( LLL Qualquer conjunto de vectores de ( com mais de Q elementos é linearmente dependente. x Assim, num espaço vectorial de GLPHQVmR Q, Q é o número Pi[LPR de vectoresOLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV Q é o número PtQLPR de JHUDGRUHVGRHVSDoR. Portanto, SDUDGHWHUPLQDUVH um dado conjunto de Q vectores p XPDEDVH, basta YHULILFDUDSHQDVXPD das duas condições: se são linearmente independentes ou se geram o espaço x Por exemplo, mostremos que o conjunto, 3 p XPDEDVH do espaço vectorial¸ , Como se trata de um conjunto de vectores e GLP ¸ basta verificar se são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. 3 , BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR55 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Consideremos então os escalares D, E , J ∈ ¸ tais que, D E J igualdade que conduz à resolução do sistema, x D que tem por solução única, E J DE EJ DJ Então os três vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e portanto IRUPDP 3 XPDEDVH de ¸ . 3 No espaço vectorial¸ , considere o subconjunto, 6 { [\] ± ¸3 : [ ±\] } D Verifique que 6 d ¸ 3 E Determine um FRQMXQWRGHJHUDGRUHV de 6 e verifique se esse conjunto é formado por vectores OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV F Calcule a GLPHQVmR de 6 D 6 é um VXEHVSDoR de ¸ pois, 3 L 6 LLL o produto de um escalar por um vector de 6 pertence a 6 LL a soma de dois vectores de 6 pertence a 6 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR56 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB E Para determinar um FRQMXQWRGHJHUDGRUHV de 6 notemos que, 6 { [\] ± ¸3 : [ ±\] } { \±]\] , \]± ¸ } { \ ]± \]± ¸ } Ä ±Ô ou seja, os vectores e ±JHUDP6. Verifiquemos se são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Para os escalares D, E ∈ ¸ tais que, D E ± D ± E donde obtemos o sistema, cuja solução única é D D E E e assim mostrámos que os dois vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. F Portanto, se ± p XPDEDVH de 6, podemos concluir que GLP 6 . BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR57 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3UREOHPD: Determine a GLPHQVmRGRVXEHVSDoR : de ¸ JHUDGRSRU, 4 { ±±±} ou seja, calcule GLP : : tal que, Ä ±±±Ô Comecemos por chamar, Y ± Y ± Y ± Para saber a GLPHQVmR do subespaço, precisamos identificar XPD EDVH. Como sabemos que os vectores Y, Y e Y JHUDP :, resta verificar se são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Mas analisando as componentes, notamos que, Y Y ± Y ou seja, Y é uma FRPELQDomROLQHDUGRVUHVWDQWHV. Então, pela propriedade na página 43, os UHVWDQWHVYHFWRUHV ainda JHUDPRPHVPRVXEHVSDoR :. Resta verificar se Y e Y são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Construindo a combinação linear nula, ou D Y EY D ± E± BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR58 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ± DE obtemos o sistema, D DE ±E que só tem a VROXomRQXOD D E . Então Y e Y JHUDP : e são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e portanto IRUPDPXPDEDVH de :. Consequentemente a resposta é GLP : E se não tivéssemos observado que, Y Y ± Y . " Esta relação deveria surgir do processo habitual para verificar se os vectores Y, Y e Y são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Construindo a combinação linear nula, ou D Y EY FY D ± E± F± e resolvendo o sistema resultante, GHGX]D DUHODomR, Y Y ± Y BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR59 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( e seja um espaço vectorial sobre £ de dimensãoQ ) H H HQ uma EDVH de (. Então, qualquer vector [ ± ( se HVFUHYHGHIRUPD~QLFD como combinação linear dos vectores da base ), ou seja, existem HVFDODUHV~QLFRV tais que, 'HPRQVWUDomR: Se [ D, D, ..., DQ ± £ D H D H DQ HQ H H HQ é uma EDVH, ) então JHUDRHVSDoR e qualquer vector [±( se escreve como uma combinação linear dos seus elementos, ou seja, existem D, D, ..., [ DQ ± £ tais que, D H D H DQ HQ Para provar que esta FRPELQDomROLQHDUp~QLFD, suponhamos que existiam também, tais que, [ E, E, ..., EQ ± £ E H E H EQ HQ Então nesse caso teríamos duas combinações, [ [ D H D H DQ HQ E H E H EQ HQ mas subtraindo, BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR60 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB obtemos, D ± E H D ± E H DQ ± EQ HQ Ora sendo os H H HQ ( vectores da EDVH, isso significa que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV e portanto esta igualdade, só pode ocorrer se, D ± E ou, DL EL D ± E DQ ± EQ para todo o L Q As GXDV combinações lineares que considerámos são portanto LJXDLV. E assim podemos concluir que H[LVWHXPD~QLFDIRUPD de escrever [ como FRPELQDomROLQHDUGRVYHFWRUHVGDEDVH. x Portanto, num espaço vectorial ( finitamente gerado de dimensão Q, com uma EDVH ) H H HQ, SDUDTXDOTXHUYHFWRU [ existem Q escalares XQLYRFDPHQWHGHWHUPLQDGRV O [ Ao n-uplo (O O H O H OQ HQ ±( O OQ tais que, O OQ ) chamamos, FRRUGHQDGDV ou FRPSRQHQWHV de [ QDEDVH ou UHODWLYDPHQWHjEDVH e escrevemos, [ (O O OQ )) BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR61 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x De um modo geral, quando indicamos o vector [ assumimos que [ [ [Q ou seja que, [ [ [Q Por exemplo, o vector [\ [ [Q ± ¸n são DVFRRUGHQDGDVQDEDVHFDQyQLFD de ¸ n [ [ [Q)¸n ± ¸2 indica que, [\ [\ x Sabendo que ± é uma EDVH de ¸2, ) determinemos a H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV de qualquer vector [\ ± ¸2 QDEDVH ). Procuremos então os valores únicos dos escalares D E ± D E ou seja tais que, D±E [\ D, E ∈ ¸ tais que, [ \ Construindo a matriz ampliada e escalonando, donde, E D [±\ [\ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR62 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB E assim obtivemos, para H[SUHVVmRJHUDOGDVFRRUGHQDGDV de qualquer vector [\ ± ¸2 QDEDVH ) ±, Note que, a partir dos valores das FRRUGHQDGDV [ e \ de qualquer vector QD EDVHFDQyQLFD, esta expressão permite obter os valores das FRRUGHQDGDV desse vectorQDQRYDEDVH ). x No espaço vectorial ¸ consideremos a EDVH, 4 ) Determine as FRRUGHQDGDV de [ ±relativamente à base ). Procuremos então os escalares D, E, F, G ± ¸ tais que, ± DE FG ou seja, D F ± F ± E E D E G D G e portanto, ± ±) BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR63 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Å ,QWHUVHFomR GH 6XEHVSDoRV x Sejam ( um espaço vectorial sobre Chama-se LQWHUVHFomRGRVVXEHVSDoRV ) e * e representa-se por ) ao VXEFRQMXQWR de ( { X ± ( : X ± ) ¼ X ± * } 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre vectoriais de (. Então a LQWHUVHFomR ) 'HPRQVWUDomR: L « *, definido por, )«* x £, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (. Se «* £ e sejam ) e * subespaços p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO de (. ) e * são subespaços vectoriais de (, então ( ± ) Portanto e ( ± *. ( ± ) « * LL Sejam X e Y ± ) « * Por definição de LQWHUVHFomR, Á X± ) « * Á Y± ) « * X±) Y±) e e X± * Y± * mas como ) e * são VXEHVSDoRV vectoriais de (, então X Y ± ) pelo que e X Y ± * X Y ± ) « * BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR64 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB LLL Sejam D ± £ e X ± ) « * Por definição de LQWHUVHFomR, X± ) « * Á X±) e X± * mas como ) e * são VXEHVSDoRV vectoriais de (, então DX ± ) pelo que x e DX ± * DX ± ) « * Por exemplo no espaço vectorial ¸ , sendo dados os VXEHVSDoRV vectoriais, 3 ) * { [\] ± ¸3 : [ \] } Ä ±Ô calculemos a sua LQWHUVHFomR ) « *. Em primeiro lugar, é necessário LGHQWLILFDU *, o subespaço cujos vectores são da forma, [\] D E ± ou seja, os YDORUHV de [, \ e ] para os quais é SRVVtYHORVLVWHPD, D±E E \ D E [ ] BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR65 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Construindo a matriz ampliada e escalonando, concluímos que o sistema só é SRVVtYHO para Está assim LGHQWLILFDGRRVXEHVSDoR *, * ] ±[±\ . { [\] ± ¸3 : ] ±[±\ } Podemos agora calcular a LQWHUVHFomR, )«* { [\] ± ¸3 : [ \] ¼ ] ±[±\ } o que conduz à resolução do sistema, [\] ] ±[±\ [ ±\ ] \ e finalmente temos, BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR66 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Note que, em ¸ os subespaços ) e * 3 representam dois planos, pelo que a sua LQWHUVHFomR ) « * representa uma recta. x ([HUFtFLR: No espaço vectorial ¸ , dados os subespaços vectoriais, 3 8 9 { [\] ± ¸3 : [ \] } Ä ±±Ô determine uma EDVH de 8 « 9. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR67 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Å 5HXQLmR GH 6XEHVSDoRV x Sejam ( um espaço vectorial sobre Chama-se UHXQLmRGRVVXEHVSDoRV ) e * e representa-se por ) ao VXEFRQMXQWR de ( x ª *, definido por, )ª* x £, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (. { X ± ( : X ± ) ½ X ± * } Em geral, D UHXQLmR de dois subespaços vectoriais QmR p XPVXEHVSDoR vectorial. Como por exemplo, dados os GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ , 2 + ) { [\ ± ¸2 : [ } { [\ ± ¸2 : \ } { \ : \ ± ¸ } { [ : [ ± ¸ } obviamente a sua reunião, + ª ) { [\ ± ¸2 : [ ½ \ } QmRpXPVXEHVSDoR vectorial, pois QmR pIHFKDGRSDUDDDGLomR de vectores. Basta verificar, por exemplo que, ± + ª ) ± + ª ) ² + ª ) x É FRQGLomRQHFHVViULDHVXILFLHQWH para que a reunião de dois subespaços vectoriais seja um subespaço vectorial, que XP HVWHMDFRQWLGRQRRXWUR. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR68 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre £ e sejam ) e * )ª* Então VHHVyVH subespaços vectoriais de (. p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO de ( )°* RX * ° ). 'HPRQVWUDomR: ¿ Se )°* então Se ) ª * * que é um subespaço vectorial de (. ) ª * ) que é um subespaço vectorial de (. *°) então Á Suponhamos SRUDEVXUGR que, )ª* é um subespaço vectorial mas Quer isto dizer que: Ora se ) ª* I ±) J ±* : : )p* I ²* e * p ). J²) fosse um subespaço vectorial então seria fechado para a adição, ou seja, IJ ± ) ª * então isto é, Mas nesse caso, se se V ±) V ±* então então I J V ± ) ª * V ±) ou V ±* J V±I± ) I V±J± * Sendo as duas situações impossíveis, concluímos que, )°* ou * ° ). BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR69 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre £ de GLPHQVmR Q e seja ) um VXEHVSDoR vectorial de (. Então) tem GLPHQVmRILQLWD e GLP ) e além disso, se GLP ) x Q então ) (. Consideremos por exemplo o subespaço vectorial ) dQ ) Ä Ô de ¸ , 3 Como são três vectores linearmente independentes, então GLP) e podemos portanto concluir que ) x Por convenção, o VXEHVSDoRWULYLDOWHPGLPHQVmRQXOD, GLP{(} e todo o subespaço vectorial Portanto, Å ¸3 . GLP) ) QmRWULYLDO tem dimensão GLP)t . ¾ ) {(} 6RPD GH 6XEHVSDoRV x Sejam ( um espaço vectorial sobre £, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (. Chama-se VRPDGRVVXEHVSDoRV ) e * e representa-se por ) ao VXEFRQMXQWR de ( + *, definido por, ) * { X Y: X ± ) ¼ Y ± * } BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR70 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre £ subespaços vectoriais de (. ) * Então a VRPD 'HPRQVWUDomR: L Se )e* então p XPVXEHVSDoRYHFWRULDO de (. são subespaços vectoriais de (, ( ± ) Portanto e sejam ) e * dois ( e ( ± *. ( ( ± ) * LL Sejam X e Y ± ) * Por definição de VRPDGHVXEHVSDoRV, X X X Y Y Y então, com com X ± ) Y ± ) e e X ± * Y ± * X Y X X Y Y X Y X Y e portanto X ±) ±* Y ± ) * LLL Sejam D ± £ e X ± ) * Por definição de VRPDGHVXEHVSDoRV, X X X então, DX com e X ± * D X X D X D X ±) e portanto X ± ) D X ± ) * ±* BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR71 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x Para o exemplo anterior, dos GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ , 2 + ) { \ : \ ± ¸ } { [ : [ ± ¸ } O VXEHVSDoRVRPD + + ) ) é dado por, { \[ : [ \ ± ¸ } { [\ : [ \ ± ¸ } { [\± ¸2 } ¸2 Note que os subespaços + e ) representam os eixos coordenados em ¸ . 2 Enquanto que a sua UHXQLmR não é um subespaço vectorial, a sua VRPD é o 2 próprio ¸ . Por outro lado a sua LQWHUVHFomR é a origem, ou seja, o subespaço trivial {(}. x Ou por exemplo, dados os GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ , 3 ) * { ] : ] ± ¸ } { \ : \ ± ¸ } O VXEHVSDoRVRPD ) ) * * é dado por, { ]\ : \ ] ± ¸ } { \] : \ ] ± ¸ } { [\]± ¸3 : [ } Neste caso, os subespaços representam dois eixos coordenados de ¸ e a sua VRPD representa um plano. 3 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR72 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre subespaços vectoriais de (. Então ) * precisamos provar que: Para qualquer X e sejam ) e * dois Ä ) ª * Ô. 'HPRQVWUDomR: Para provar a LJXDOGDGH, L £ ) * Ä)ª* Ô Ä ) ª * Ô ° ) * L LL ) * ° Ä) ª * Ô ±Ä)ª* Ô provemos que X ± ) * ± Ä ) ª * Ô então escreve-se como uma FRPELQDomR OLQHDUGHYHFWRUHV de ) ª *, Ora se X X D Y D Y DQ YQ onde cada YL , YL ± ) ou YL ± * Pela FRPXWDWLYLGDGHGDDGLomR de vectores, podemos sempre ordenar a combinação linear de modo a, X D Y D Y DN YN DNYNDQ YQ onde e como )e* Y Y YN ± ) YNYQ ± * são VXEHVSDoRV vectoriais, X D Y D Y DN YN DNYNDQ YQ ±) ±* e portanto, X ± ) * BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR73 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB LL Para qualquer X ± ) * provemos que X ± Ä ) ª * Ô Ora se X ± ) * então X X X ou seja, X±Ä)ª* Ô com X ± ) e X ± * e portanto X é uma FRPELQDomROLQHDUGHYHFWRUHV de ) x ª* Para o exemplo anterior, dos GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ , 2 + ) { \ : \ ± ¸ } { [ : [ ± ¸ } tal como já calculámos, e +ª) { \ : \ ± ¸ } ª { [ : [ ± ¸ } + ) { [\: [\ ± ¸ } E efectivamente, { [\ ± ¸2 : [ ½ \ } + ) ¸2 Ä+ª) Ô pois WRGRRYHFWRU [\de ¸ pode ser escrito como uma FRPELQDomR 2 OLQHDU envolvendo vectores da forma [ e da forma \. Em termos geométricos, RVGRLVHL[RVFRRUGHQDGRVJHUDP ¸ . 2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR74 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x 3URSRVLomR: Seja ( um espaço vectorial sobre £ e sejam ) e * GRLV VXEHVSDoRV vectoriais de ( tais que, ) ÄX X XQÔ * ÄY Y YNÔ então, ) * ÄX X XQ Y Y YNÔ 'HPRQVWUDomR: L Para qualquer provemos que Ora se [ ± ) * [ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ [ ± ) * [ ± ) então [ [ [ mas se [ ± ) então [ ÄX X XQÔ e se [ ± * ÄY Y YNÔ então [ e portanto, [ [ [ ou seja, com e [ ± * D X D X DQ XQ E Y E Y EN YN D X D X DQ XQ E Y E Y EN YN [ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR75 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB LL Para qualquer provemos que Ora se [ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ [ ± ) * [ ± ÄX X XQ Y Y YNÔ então, [ D X D X DQ XQ E Y E Y EN YN ± ÄX X XQÔ ) ± ÄY Y YNÔ * e portanto, [ ± ) * x Para o exemplo anterior em ¸ , em termos das respectivas EDVHVFDQyQLFDV temos, 2 + ) ou seja, e portanto, Ä Ô Ä Ô +ª) + ) Ä Ô ªÄ Ô Ä+ª) Ô Ä , Ô ¸2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR76 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x No espaço vectorial ¸ , retomando o exemplo dos subespaços vectoriais, 3 ) * { [\] ± ¸3 : [ \] } Ä ±Ô Determinemos um FRQMXQWRGHJHUDGRUHVGH ) *. Como já temos um conjunto de geradores para *, basta encontrar um conjunto de geradores para ) e juntar. { [\] ± ¸3 : [ ±\±] } ) { ±\±]\] : \]± ¸ } { \ ±]± : \]± ¸ } Ä ±, ±Ô Assim temos, ) * Ä ±, ±Ô Ä ±Ô e portanto, ) * Ä ±, ±±Ô Resta saber TXDQWRV destes vectores VmROLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, ou seja, TXDODGLPHQVmRGHVWHHVSDoR... x No espaço vectorial ¸ , considere os subespaços vectoriais, 4 6 7 Determine 6 { [\]Z ± ¸4 : [ ±\ ¼ [ \Z } Ä Ô 7e indique uma sua EDVH. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR77 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Å 2 7HRUHPD GDV 'LPHQV}HV x 3URSRVLomR: Sejam ) e * dois subespaços vectoriais de um espaço ILQLWDPHQWHJHUDGR. Então, GLP )* GLP ) GLP * ± GLP )« * $UJXPHQWDomR: Se DOJXP dos subespaços for o VXEHVSDoRWULYLDO, por exemplo ) então, ) « * {(} e ) * * {(} o resultado é óbvio pois teremos, Como GLP {(} GLP * GLP * ± Analisemos o caso geral, em que nenhum dos subespaço é o trivial. Por hipótese ) e * têm GLPHQVmRILQLWD e portanto o subespaço vectorial )«* também tem GLPHQVmRILQLWD. Consideremos uma EDVHde ) ))«* Como os « *, H H HQ H H HQ ± ) « * ° ) são linearmente independentes, para obter uma EDVH ordenada de ), teremos de juntar PDLVYHFWRUHVGH ), por forma a obter, ) Ä H H HQ , I I IS Ô e de modo análogo para *, * Ä H H HQ , J J JT Ô BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR78 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB e então, para o VXEHVSDoRVRPD, ) * Ä H H HQ , I I IS , J J JT Ô 3URYDVH que este conjunto de geradores p OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH e que portanto formam uma EDVH de ) Deste modo, *. GLP )« * Q GLP ) Q S GLP * Q T GLP )* Q ST Ou seja, o WHRUHPDGDVGLPHQV}HV garante-nos que, GLP )* x Para o exemplo anterior, dos GRLVVXEHVSDoRV vectoriais de ¸ , 2 + ) obviamente que, { \ : \ ± ¸ } { [ : [ ± ¸ } GLP +) GLP ) GLP * ± GLP )« * Ä Ô Ä Ô GLP + GLP ) ± GLP +« ) ± GLP¸2 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR79 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x No espaço vectorial ¸ , voltemos ao exemplo dos subespaços vectoriais, 3 ) * { [\] ± ¸3 : [ \] } Ä ±Ô Nas SiJLQDVH, calculámos a sua LQWHUVHFomR, )«* { \ ±: \ ± ¸ } { ò \±: \ ± ¸ } { \¶±: \¶± ¸ } Ä ± Ô Como ± , podemos concluir que GLP )«* e que conhecemos uma EDVHRUGHQDGD, ))«* ±. Na SiJLQD encontrámos um conjunto de JHUDGRUHV para ), ) { ±\±]\] : \]± ¸ } { \ ±]± : \]± ¸ } Ä ±, ±Ô Depois de verificar que estes dois vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, podemos concluir que GLP ) e que conhecemos XPDEDVHRUGHQDGD de ), )) ±, ±. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR80 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Contudo, a partir de ))«* ± é possível obter RXWUDVEDVHV de ). Basta juntar a ±, um vector de ) que lhe seja LQGHSHQGHQWH. Por exemplo ± ± ) não é da forma D±. Deste modo obtivemos RXWUDEDVHRUGHQDGD de ), )) ±, ±. Por outro lado, para o espaço vectorial *, * Ä ±Ô como * está definido por GRLVJHUDGRUHV (e porque D GLPHQVmRpRQ~PHUR PtQLPRGHJHUDGRUHV) então GLP * d . Também neste caso, a partir de ))«* EDVHV de *. ± é possível obter Basta juntar a ±, um vector de * que lhe seja LQGHSHQGHQWH. ± *, XP GRVJHUDGRUHVGDGRV, não é combinação linear de ±, por não ser da forma D±. Por exemplo Sendo e ±, dois vectores de * linearmente independentes,(e porque D GLPHQVmRpRQ~PHURPi[LPRGHYHFWRUHV OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV) então GLP * Portanto GLP * t . . BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR81 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Temos assim as EDVHVRUGHQDGDV, ±, ± )) , ±. )* donde podemos obter uma EDVHRUGHQDGD para ) *, ))* ±, ± e naturalmente que, GLP )* Å GLP ) GLP * ± GLP )« * ± 6RPD 'LUHFWD x Sejam ( um espaço vectorial sobre £, e ) e * VXEHVSDoRVYHFWRULDLV de (. Diz-se que ) e * HVWmRHPVRPDGLUHFWD ou que D VRPD se, para todo o X tais que, ± ) * , existem e X [\ Nesse caso escreve-se )¨* XP HXPVy XP HXPVy em vez de ) + * p GLUHFWD [±) \± * ) + *. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR82 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x Por exemplo, para os dois subespaços vectoriais de ¸ , 3 ) * { ] : ] ± ¸ } { \ : \ ± ¸ } cujo VXEHVSDoRVRPD ) ) * * é dado por, { ]\ : \ ] ± ¸ } { \] : \ ] ± ¸ } { [\]± ¸3 : [ } vemos que, TXDOTXHU vector do HVSDoRVRPD, X DEF ± ) * tem a forma X EF pelo que só pode ser escrito GH XP~QLFRPRGR como a soma de um elemento de ) com um elemento de *, X EF Então ) HVWiHPVRPDGLUHFWD com *. x Consideremos agora os dois subespaços vectoriais de ¸ , 3 ) * { [\] ± ¸3 : [ } { [\] ± ¸3 : \ [ } Calculemos o VXEHVSDoRVRPD ) * e vejamos VHHVWDVRPDpGLUHFWD. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR83 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB 2EVHUYDomR: Note que, e que, ) { [\] ± ¸3 : [ } * { [\] ± ¸3 : \ [ } { \]: \]± ¸ } { \\]: \]± ¸ } ou seja, no cálculo dos vectores geradores do VXEHVSDoRVRPD, é necessário GLVWLQJXLU FRPSRQHQWHVFRPRPHVPRQRPH, mas de vectores de subespaços diferentes. Por essa razão explicitamos, ) * { \]\¶\¶]¶ : \]\¶]¶± ¸ } { \¶\\¶]]¶ : \]\¶]¶± ¸ } { DEF : DEF± ¸ } ¸3 e portanto, o VXEHVSDoRVRPDé todo o espaço vectorial ¸ . 3 Nesse caso é óbvio que podemos obter, por exemplo, mas WDPEpP, ±) ±* ± ±) ±* pelo que podemos concluir que ) QmR HVWiHPVRPDGLUHFWD com *. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR84 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ) 2EVHUYDomR: Como, * e { [\] ± ¸3 : [ } { [\] ± ¸3 : \ [ } o VXEHVSDoRLQWHUVHFomR ) )«* « * é dado por, { [\] ± ¸3 : [ \ } { ]: ] ± ¸ } Ä Ô e porque então GLP )« * . Assim, pelo Teorema das Dimensões, GLP )* podemos concluir que x 3URSRVLomR: Seja ( GLP ) GLP * ± GLP )« * ± GLP¸3 ) * ¸3. um espaço vectorial sobre £ e sejam ) e * dois subespaços vectoriais de ( . São HTXLYDOHQWHV as três condições: L A soma ) * é directa LL O vector nulo escreve-se de modo único como a soma de um vector de ) com um vector de * LLL ) « * { ( } 'HPRQVWUDomR: Basta mostrar que, L L Á LL Á LL Á LLL Á L É imediato, pela definição de soma directa. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR85 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB LL Á LLL Provemos que { ( } ° ) « * { ( } ° ) « * ±)«* « * ° { ( } porque o vector nulo pertence a todos os subespaços. Mostremos que, se X Ora se X e que ) ±)«* então X ±) então X e X±* ( e se * é um subespaço vectorial, então existe X ±X ( tal que, mas como, ( ( ±X ± * ( e, SRU KLSyWHVH, o vector nulo se escreve GH PRGR~QLFR como a soma de um vector de ) com um vector de * então, X Portanto ( ) « * ° { ( } «* { ( } )«* { ( } e consequentemente ) LLL Á L Provemos que, se então a soma ) 6XSRQKDPRVTXHH[LVWLD um X * é GLUHFWD. ± ) * capaz de ser FDOFXODGRGHGRLVPRGRV, X X X X X¶ X¶ com X ± ) e com X¶ ± ) e X ± * X¶ ± * BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR86 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB e nesse caso, X X X ± X¶ ou X¶ X¶ X¶ ± X ±) ou seja, ±* X ± X¶ ± ) « * X¶ ± X ± ) « * e mas como, por hipótese, ) então, e X ± X¶ X¶ ± X e portanto, X X¶ ( ( e «* X { ( } X¶ e o vector X só pode ser calculado de um modo, ou seja, D VRPDpGLUHFWD. x Por exemplo, para os dois subespaços vectoriais de ¸ , 4 ) * { [\]Z ± ¸4 : [ \ ¼ ] Z } { [\]Z ± ¸4 : [ ¼ Z } Como a LQWHUVHFomR, )«* { } então ) HVWiHPVRPDGLUHFWDFRP *. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR87 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x No espaço vectorial 3[[] dos polinómios de coeficientes reais e de grau até , consideremos os subespaços vectoriais, ) { D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D * ¼ D { D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D D } } calculando a LQWHUVHFomR, )«* { D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D ¼ D ¼ D D D { D D[ D[ D[ ± 3[[] : D D { ±D D[ : D ± ¸ } como x ) « * { ( } então D VRPD ) * No espaço vectorial ¸ , considere os vectores : 3 ¼ D ¼ D } } QmR pGLUHFWD. D ± E ±± F G Seja ) o subespaço gerado pelos vectores D e E e seja * o subespaço gerado pelos vectores F e G. 'HWHUPLQHXPDEDVH para: D ) « * E ) * BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR88 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB (VTXHPD GDUHVROXomR Dados, ) * Ä ± ±± Ô Ä Ô A partir uma FRPELQDomROLQHDU dos vectores geradores de ), construir o VLVWHPD e, da GLVFXVVmRGRVLVWHPD, PRVWUDUTXH, ) { [\] ± ¸3 : ] ±[ } e o mesmo para *, * { [\] ± ¸3 : ] \±[ } D ) « * Calcular a LQWHUVHFomR, )«* { [\] ± ¸3 : ] ±[¼ ] \±[} { [±[: [ ± ¸ } { x ±: [ ± ¸ } = Ä ±Ô então a intersecção é JHUDGD por um só vector, que sendo± é portanto OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH, (, logo, forma uma EDVH, ))«* { ± } BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR89 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB E ) * 8PDUHVROXomR A partir de, ) { [\] ± ¸3 : ] ±[ } * { [\] ± ¸3 : ] \±[ } { [\±[ : [\± ¸ } { \±]\] : \]± ¸ } calcular a VRPD, ) * { X Y: X ± ) Y ± * } onde, X±) Á X [\±[ com [\± ¸ e, não esquecendo de GLVWLQJXLUFRPSRQHQWHVGHVXEHVSDoRVGLIHUHQWHV, Y±* Á Y \¶±]¶\¶]¶ com \¶]¶± ¸ somando, X Y [\¶±]¶\\¶±[]¶ [±\\¶]¶± Analisemos o conjunto de vectores, { ±± } serão OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV? Notamos que, ± ±± eliminemos um destes e analisemos o conjunto dos UHVWDQWHV, BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR90 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB { ± } Construindo a combinação linear nula e resolvendo os sistema resultante, concluímos que são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. Portanto, ))* { ± } E ) * 2XWUDUHVROXomR A partir de, e de ) * Ä ± ±± Ô Ä Ô Começamos por YHULILFDU que, para o subespaço ), o conjunto de vectores, { ± ±± } é OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWH. Daqui concluímos que GLP) . Sabendo que, ) « * = Ä ±Ô Para FRQVWUXLUXPDEDVHGH ), basta juntar a ±um vector de ) que QmR VHMDFRPELQDomROLQHDU (neste caso, que não seja múltiplo) dele. Como por exemplo o YHFWRUJHUDGRU ±. Então temos o conjunto { ± são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. ± } de vectores de ), que BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR91 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Como GLP) XPDEDVH, Para, , estes GRLVYHFWRUHV linearmente independentes IRUPDP )) { ± ± } * Ä Ô se é um subespaço vectorial JHUDGRSRUGRLVYHFWRUHV, então GLP * d . E mais uma vez partindo do vector gerador da LQWHUVHFomR, ) « * = Ä ±Ô vamos juntar a ±um vector de * que QmR VHMDFRPELQDomROLQHDU dele, como por exemplo o vector gerador . Ora se temos GRLV YHFWRUHVOLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, então GLP* E combinando as duas desigualdades, GLP* . t . Portanto os GRLVYHFWRUHV formam uma EDVH de *, )* { ± } E como já tínhamos, )) { ± ± } podemos então concluir que, ))* { ± ± } BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR92 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB x ( 3URSRVLomR: Seja um espaço vectorial sobre £ e sejam ) e * dois subespaços vectoriais de ( GHGLPHQVmRILQLWD. Seja ainda 6 )*. São HTXLYDOHQWHV as três condições: 6 )¨ * L LL GLP )* GLP ) GLP * LLL Se e I I IS é uma base ordenada de ) )) )* então ) J J JT é uma base ordenada de * I I ISJ J JT é uma base ordenada de ) * 6. 'HPRQVWUDomR: Neste caso, é mais simples provar que, L ¾ L Á Se 6 . LL ¼ LL ¾ LLL LL )¨ *, pela proposição anterior, ) « * e então, GLP )« * { ( } logo, pelo teorema das dimensões, GLP )* LL Á L GLP ) GLP * ± Inversamente, se GLP )* GLP ) GLP * então, pelo teorema das dimensões, GLP )« ou seja, ) «* { ( } e a soma é directa. * BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR93 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB LL ¾ LLL Na demonstração do teorema das dimensões, basta considerar o FDVRSDUWLFXODU em que, GLP )« . x * ¾ ) « * { ( } ¾ ))«* © No espaço vectorial ¸ consideremos, 4 ) * { [\]Z ± ¸4 : [ \] \]±Z } Ä ± Ô D Verifique que ) é um VXEHVSDoRYHFWRULDO. E Mostre que ) ¨ * ¸4 E (VTXHPDGHXPDUHVROXomR Basta mostrar que ) * ¸4 e que ) « * { ( } . Comecemos por determinar YHFWRUHVJHUDGRUHV de ), ) { [\]Z ± ¸4 : [ ±\±]¼ Z \] } { ±\±]\]\]: \]± ¸ } { \ ±]±: \]± ¸ } Ä ±±Ô BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR94 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Depois de SURYDU que estes vectores são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV, podemos concluir que GLP) e que temos, )) ±± )* ± Do mesmo modo, SURYDU também que GLP* Calculemos agora ) Ora se um vector X ou seja, e que, « * , D SDUWLUGDVEDVHV de ) e de *. ± ) « * , então X ± ) X ±) Á u X±* Á u e X ± *, D±E± FG± mas nesse caso, podemos VXEWUDLU, D ±E± ± F±G± o que conduz à UHVROXomR do VLVWHPDKRPRJpQHR, ± D±E±F D±F±G E±F DE±FG BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR95 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB sistema cuja VROXomR~QLFD é a trivial D E F G . Podemos então concluir que a LQWHUVHFomR, )«* { } e portanto que ) está em VRPDGLUHFWDcom *. Por outro lado, pelo WHRUHPDGDVGLPHQV}HV, GLP )* e como ) * d ¸4 GLP ) GLP * ± GLP )« * ± GLP¸4 podemos concluir que É assim mostrámos que ) x ) * ¸4 . ¨ * ¸4 No espaço vectorial ¸ considere os subconjuntos, 3 ) { [\ : [\ ± ¸ } * { \] : \] ± ¸ } D Mostre que ) e * são subespaços vectoriais de ¸ . 3 E Investigue se ) ¨ * ¸3 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR96 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Å 6XEHVSDoR &RPSOHPHQWDU x Sejam ( um espaço vectorial sobre ), um subespaço vectorial de ( £ e seja ) um subespaço vectorial de (. tal que, ( chama-se VXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ). x 3URSRVLomR: Seja ( ) ¨ ) um espaço vectorial sobre £ de dimensão finitaQ. Todo o subespaço vectorial de ( tem SHORPHQRVXPVXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU. 'HPRQVWUDomR: Seja ) um subespaço vectorial de (. No caso particular de ser o subespaço trivial ) { ( } então e no caso de ) ( ) (então ) { ( } Analisemos então o FDVRJHUDO, e seja I I Como ) ( IN uma EDVH de ). existem vectores de ( que não estão em ). Podemos então FRPSOHWDUHVWDEDVH, por forma a obter uma base de (. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR97 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Seja (f1, f2, Façamos, ) Ä ek+1, ..., en Ô então, GLP)GLP) Q GLP( e, pela proposição anterior, ( ) Portanto x ..., fk , ek+1, ..., en) essa EDVH de (. ) ¨ ) é XP VXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ). Voltemos a considerar o subespaço vectorial de ¸ , 4 ) { [\]Z ± ¸4 : [ \] \]±Z } Já sabemos que GLP) ±± )) Como ) ° ¸4 e basta MXQWDUa e temos uma base de ), GLP ¸ 4 , para obter HVSDoRVFRPSOHPHQWDUHV de ), GRLVYHFWRUHVTXHQmRSHUWHQoDPD ), de modo a )) formar uma base de ¸4 . 8PH[HPSOR: Os GRLVYHFWRUHV de ¸ , e 4 pois não verificam Como GLP ¸ 4 [ \] . QmR SHUWHQFHP a ), , resta verificar que os TXDWURVYHFWRUHV do conjunto resultante são OLQHDUPHQWHLQGHSHQGHQWHV. BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV &DStWXOR±(VSDoRV9HFWRULDLVVREUHXP&RUSR98 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB Efectivamente, construindo a combinação linear nula, D EF±G± e resolvendo o sistema resultante, é simples concluir que, D E F G . Temos assim uma EDVH de ¸ , 4 ±± ) e, SHODSURSRVLomRDQWHULRU, também XP VXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ), ) Ä Ô ou seja, ¸4 )¨ ) . Como os vectores de ) são da forma, [\]Z D E podemos identificar, ) { [\]Z ± ¸4 : ] Z } 2XWURH[HPSOR: De modo análogo, mostre que juntando os dois vectores, e é possível obter RXWURVXEHVSDoRFRPSOHPHQWDU de ), ) Ä Ô { [\]Z ± ¸4 : \ Z } BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB ÈOJHEUD/LQHDU 5RViOLD5RGULJXHV