Ensino Superior
Introdução aos Sistemas Dinâmicos
3.1 – Transformada Inversa de Laplace
Amintas Paiva Afonso
Definição
Transformada de Laplace:

L [ f (t )]  F ( s)   f (t ).e dt
 st
0
Transformada Inversa de Laplace:
c  j
1
st
[
F
(
s
)]

f
(
t
)

.
F
(
s
).
e
ds
L

2.π . j c  j
1
p/ t > 0
Transformada Inversa de Laplace
- Normalmente, não se utiliza a integral de
inversão de Laplace, mas simplesmente a consulta
a tabelas existentes.
- Devemos adequar a função F(s) para a consulta à
tabela. Para tanto, utilizamos o Método de
Expansão em Frações Parciais.
Transformada Inversa de Laplace
- Método de Expansão em Frações Parciais:
Devemos escrever a função F(s) como uma função
de dois polinômios em s: F ( s)  B( s)
A( s)
Devemos também fazer com que a maior potência
de s em B(s) seja menor que a maior potência de s
em A(s). Caso contrário, devemos dividir B(s) por
B1 (s)
A(s) até conseguir:
F ( s)  C ( s) 
A(s)
Transformada Inversa de Laplace
- Finalmente, reescrevemos a função F(s) como
uma soma de termos menores:
F (s)  F1 (s)  F2 (s)  ... Fn (s)
Cuja transformada inversa será:
f (t )  f1 (t )  f 2 (t )  ... f n (t )
Temos duas situações para F(s). Ela pode ter pólos
distintos ou pólos múltiplos de ordem n. Vamos ver
como resolver F(s) em cada caso.
Transformada Inversa de Laplace
- Expansão em frações parciais quando F(s) envolve
pólos distintos:
B(s) k.(s  z1 ).(s  z2 )....(s  zm )
F ( s) 

A(s) ( s  p1 ).(s  p2 )....(s  pn )
Para m < n e k se refere ao ganho da função.
Devemos reescrever F(s) como:
an
B( s )
a1
a2
F ( s) 


 ....
A( s) ( s  p1 ) (s  p2 )
( s  pn )
Onde as constantes a1, a2, ..., an são chamadas de
resíduos de cada pólo.
Transformada Inversa de Laplace
- Para determinar o valor de cada resíduo,
fazemos:

B(s) 
ak  ( s  pk ).

A( s )  s   pk

- Exemplo: Determine a Transformada Inversa de
Laplace da seguinte função de transferência:
s3
F ( s) 
( s  1).(s  2)
Transformada Inversa de Laplace
- Resolução:
a1
a2

Expansão em Frações Parciais: F ( s ) 
s 1 s  2
Determinação de a1 e a2:

 ( s  3) 
( s  3) 
a1  ( s  1).

2


( s  1).(s  2)  s 1  ( s  2)  s 1


 ( s  3) 
( s  3) 
a2  ( s  2).

 1


( s  1).(s  2)  s 2  ( s  1)  s 2

Transformada Inversa de Laplace
- Portanto, a função expandida em frações
parciais será:
2
1
F ( s) 

( s  1) ( s  2)
- Consultando a tabela, f(t) será:
t
f (t )  2.e  e
2.t
para t >= 0
Transformada Inversa de Laplace
- Expansão em frações parciais quando F(s)
inclui pólos múltiplos:
- Neste caso, vamos fazer a análise através de um
exemplo:
s 2  2.s  3
F ( s) 
3
(s  1)
- A expansão em frações parciais neste caso será
feita assim:
b3
b1
b2
F ( s) 


2
( s  1) ( s  1)
( s  1)3
Transformada Inversa de Laplace
- Para determinação de b1, b2 e b3, primeira-mente
vamos multiplicar ambos os lados da equação por
(s+1)3: (s 1)3.F (s)  b1.(s 1)2  b2 .(s  1)  b3 (1)
- Se fizermos s=-1 na equação (1), teremos:
(s 1) .F (s)
3
s 1
 b3
(2)
- Agora, ao derivarmos ambos os lados da equação
(1) em relação a s, obteremos:


d
( s  1) 3 .F ( s )  2.b1.(s  1)  b2 (3)
ds
Transformada Inversa de Laplace
- Se fizermos s=-1 na equação (3), teremos:

d
( s  1) 3 .F ( s )
ds

s  1
 b2
(4)
- Se derivarmos a equação (3) novamente em s,
obteremos:
2


d
3
(
s

1
)
.F ( s )  2.b1
2
ds
(5)
- Resolvendo as equações (2), (4) e (5):
2

s
 2.s  3 
3
b3  ( s  1) .

3
(
s

1
)

 s  1


b3  s 2  2.s  3 s  1  2
2
d 
s
 2.s  3  
d 2

3
b2   ( s  1) .
    ( s  2.s  3)
3
( s  1)   s 1  ds
 s 1
 ds 
b2  2.s  2s 1  0
1  d2
b1  . 2
2  ds
2
2





s

2
.
s

3
1
d
3
2
( s  1) .
   . 2 ( s  2.s  3)
3
( s  1)  s 1 2  ds

 s 1
1
b1  .(2)  1
2
Transformada Inversa de Laplace
- Com isso, F(s) fica:
1
0
2
F ( s) 


2
( s  1) ( s  1)
( s  1)3
- Consultando a tabela, teremos:
t
f (t )  e  0  t .e
2
f (t )  (1  t ).e
2
t
t