CONTROLE II
Prof. Samuel Bettoni
22/08/12
Transformada Z Inversa
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O resultado final de um projeto de controlador
digital (discreto) é expresso em Z, para verificar o
resultado do projeto, é necessário determinar sua
resposta no tempo.
Para isto, deve-se efetuar a inversa da
transformada Z, ou seja:
Transformada Z Inversa

Método de Expansão em Frações Parciais
 Uma
função F(z) pode ser expandida em frações
parciais e então com uma tabela de transformada Z,
pode-se determinar a transformada Z inversa.
 Observação:
Caso F(z) com um ou mais zeros na
origem (n zeros na origem), faça a expansão de
F(z)/zn e depois determine F(z) multiplicando F(z)/zn
por zn.
 Ficando
assim as frações como as apresentadas na tabela.
Transformada Z Inversa

Método de Expansão em Frações Parciais
 Exemplo1:
 Calcule
Pólos distintos
a transformada Z inversa de:
3z
Y ( z) 
z  0,5z  1
Solução:
Expandindo e fazendo Y(z)/z:
Y ( z)
3
A
B



z  0,5z  1 z  0,5 z  1
z
Transformada Z Inversa

Método de Expansão em Frações Parciais
 Exemplo1:
Pólos distintos
As frações parciais são então definidas da seguinte
maneira:
Y ( z)
3
A
( z  0,5)

 6
z
 0,5
z 0,5
Y ( z)
3
B
( z  1) 
6
z
0,5
z 1
Transformada Z Inversa

Método de Expansão em Frações Parciais
 Exemplo1:
Pólos distintos
Assim, a função Y(z) em frações parciais será:
Y ( z)
6
6


z
( z  0,5) ( z  1)
 6z
6z
Y ( z) 

( z  0,5) ( z  1)
Transformada Z Inversa

Método de Expansão
Frações Parciais
 Exemplo1:
em
Pólos distintos
Para determinar y(k), utilizamos a
tabela de transformada Z.
 6z
6z
Y ( z) 

( z  0,5) ( z  1)
y (k )  (6)  0,5  6 1
k
 y (k )  6  (1  0,5k )
k
Transformada Z Inversa

Método de Expansão em Frações Parciais
 Exemplo2:
Pólos múltiplos
Considere a seguinte função:
z
F ( z) 
( z  0,5)(z  1) 2
A expansão em frações parciais será da seguinte
forma:
F ( z)
1
A
B
C




2
2
z
z  0,5z  1 z  0,5 z  1 z  1
Transformada Z Inversa

Método de Expansão em Frações Parciais
 Exemplo2:
Pólos múltiplos
Para os pólos múltiplos, os coeficientes das frações
parciais serão obtidos por:

2 F ( z) 
B  ( z  1)

z

 z 1
d 
F ( z) 
C  ( z  1)
dz 
z  z 1