Universidade Estadual do Oeste do Paraná
Programa de Pós-graduação em Engenharia de Sistemas
Dinâmicos e Energéticos
Tema da Aula:
Representação de Sistemas
Dinâmicos – Parte I
Prof. Dr. Carlos Henrique Farias dos Santos
1
Estrutura da aula
1 Introdução
2 Revisão da Transformada de Laplace;
3 Função de Transferência;
4 Modelagem com Diagramas de Blocos;
2
1 Introdução
Modelos matemáticos de sistemas físicos são elementos-chave no projeto e análise
de sistemas de controle. O comportamento dinâmico é geralmente descrito com o
uso de equações diferenciais ordinárias. Embora a equação diferencial relacione o
sistema à sua entrada e à sua saída, ela não é uma representação satisfatória da
perspectiva do sistema.
Analisando-se uma equação diferencial geral de enésima ordem, linear e invariante
no tempo, observa-se que os parâmetros do sistema, que são os coeficientes ai e bi ,
bem como a saída, c(t), e a entrada r(t), aparecem nos diversos termos da equação.
d n c(t )
d n −1c(t )
d m r (t )
d m −1r (t )
+ an −1
+ L + a0 c(t ) = bm
+ bm −1
+ L + b0 r (t )
an
n
n −1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
Seria preferível uma representação matemática como a exposta na figura abaixo,
onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas.
3
1 Introdução
Seria preferível uma representação matemática como a exposta na figura (a) abaixo,
onde a entrada, a saída e o sistema são partes distintas e separadas. Seria também
interessante representar as interconexões dos diversos subsistemas como exposto na
figura (b). Esta última apresenta uma configuração em cascata, onde uma função
matemática , chamada de função de transferência, é colocada no interior de cada bloco e
as funções em blocos podem ser facilmente combinadas, resultando no bloco da figura
(a), facilitando a análise do projeto. Esta é uma facilidade que não pode ser obtida com
a equação diferencial.
4
1 Introdução
Uma vez que a maioria dos sistemas físicos é não-linear, serão discutidas aproximações
lineares, as quais possibilitam o uso de métodos baseados na transformada de Laplace.
Estes métodos permitem a obtenção das relações entrada-saída na forma de funções de
transferência. Como mostrado anteriormente, estes blocos de funções de transferência
podem ser organizados em diagramas de blocos, ou ainda, em diagramas de fluxo de
sinal, o qual descreve graficamente as interconexões entre os blocos.
Além destas abordagens no domínio da freqüência, apresenta-se uma representação
denominada modelo em variáveis de estado.
Graças ao conceito de variáveis de estado, é possível representar um sistema físico no
domínio do tempo, onde uma equação diferencial de ordem n pode ser descrita por um
conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem. Além disso, apresenta-se a
relação deste modelo com os modelos de fluxo de sinal.
5
2 Revisão da Transformada de Laplace
Com a transformada de Laplace, pode-se representar a entrada, a saída e o
sistema como entidades separadas. Com essa representação, as interrelações e subsistemas serão simplesmente algébricas.
A transformada de Laplace é definida como
L f (t ) = F (s ) =
∞
∫
f (t )e − st
(1)
0−
onde s = σ + jω é uma variável complexa. Desse modo, conhecendo-se f(t)
sabendo-se que a integral é possível, pode-se obter uma função F(s), que é
chamada de transformada de Laplace de f(t).
A notação no limite inferior indica que mesmo que f(t) seja descontínua em
t = 0, pode-se realizar a integração antes da descontinuidade, desde que a
integral seja convergente. Assim, pode-se obter a transformada de Laplace
de funções impulso.
6
2 Revisão da Transformada de Laplace
A transformada de Laplace inversa, a
qual nos permite obter f(t) a partir de
F(s), é definida como
1
−1
L F (s ) =
2πj
onde,
σ + j∞
st
(
)
F
s
e
ds = f (t )u (t ) (2)
∫
σ − j∞
u (t ) = 1 t > 0
=0 t<0
Utilizando-se a equação (1) é possível deduzir os
elementos da tabela ao lado, que relaciona f(t) e
F(s) para casos específicos. Ao se utilizar a tabela,
não será preciso fazer uso da equação (2), para se
obter f(t) a partir de F(s).
Tabela (1)
7
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 01:
Determine a transformada de Laplace de f(t) = Ae-atu(t).
SOLUÇÃO
Como a função do tempo não contém uma função impulso, pode-se substituir
o limite inferior da equação (1) por 0. Assim,
∞
∞
∞
0
0
0
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt = ∫ Ae − at e − st dt = A∫ e −( s + a )t dt
A −( s + a )t
=−
e
s+a
∞
t =0
A
=
s+a
8
2 Revisão da Transformada de Laplace
Além da tabela com as
transformadas de
Laplace, pode-se utilizar
os teoremas da
transformada de Laplace,
relacionados na tabela ao
lado, para auxiliar na
transformação entre f(t) e
F(s).
A seguir, ilustramos o
desenvolvimento de um
destes teoremas,
denominado teorema de
deslocamento no tempo.
Tabela (2)
9
2 Revisão da Transformada de Laplace
Teorema do deslocamento no tempo:
Considere a função rampa da figura (a). Considere agora as várias
formas de deslocar a mesma no tempo. A figura (b) ilustra a função de
f(t)u(t), onde u(t) é a função degrau unitário.Assim,
⎧ f (t ), t > 0
f (t )u (t ) = ⎨
⎩ 0, t < 0
A figura (c) mostra a função f(t – t0), onde t0 é o tempo deslocado,
sendo t0 > 0.
f(t)
f(t-t0)
f(t)
t
0
(a)
0
t
(b)
0
t0
(c)
t
10
2 Revisão da Transformada de Laplace
A função f(t - t0)u(t) é exposta na figura (d), a função f(t - t0)u(t - t0) é dada
na figura (e).
f(t-t0)u(t-t0)
f(t-t0)u(t)
0
t0
t
(d)
Para esta última função,
0
t0
t
(e)
⎧ f (t − t0 ), t > t0
f (t − t0 )u (t − t0 ) = ⎨
⎩ 0, t < t0
De acordo com a definição da transformada de Laplace, a transformada de
Laplace de f(t) requer a função da figura (b).
11
2 Revisão da Transformada de Laplace
Neste sentido, obtemos uma propriedade que relacione a transformada de
Laplace da função da figura (e) com a função da figura (b). A transformada
de Laplace da figura (e) é dada por
∞
L[ f (t − t0 )u (t − t0 )] = ∫ f (t − t0 )u (t − t0 )e − st dt
0
∞
= ∫ f (t − t0 )e − st dt
t0
Aplicando a mudança de variável (t – t0) = τ ; assim, t = (τ + t0), dt = dτ; e
∞
L[ f (t − t0 )u (t − t0 )] = ∫ f (τ )e − s (τ +t0 )dτ
0
∞
= e −t0 s ∫ f (τ )e − sτ dτ
0
12
2 Revisão da Transformada de Laplace
Como τ é a variável de integração e pode ser trocada por t, a integral do
lado direito da última equação é F(s). Portanto, a transformada de Laplace
de uma função deslocada no tempo é dada por
L[ f (t − t0 )u (t − t0 )] = e − t0 s F (s )
onde t0 >= 0 e L[f(t)] = F(s). Esta relação é chamada de deslocamento real ou
teorema da translação real, aplicada apenas em funções do tipo da figura (e).
Alguns exemplos de aplicação deste teorema são expostos a seguir.
13
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 02:
Considere a função exponencial mostrada na figura (a) abaixo, a qual é
descrita matematicamente por,
f (t ) = 5e −0.3t
onde t é dado em segundos. Esta função é atrasada em 2 segundos e multiplicada
por u(t – 2) como mostrado na figura (b), onde a equação da função exponencial
atrasada é dada por,
−0.3(t − 2 )
f (t ) = 5e
u (t − 2 )
f(t)
f(t - 2)u(t – 2)
5
5
2.744
t
2
(a)
2
t
(b)
14
2 Revisão da Transformada de Laplace
Da tabela (1) e do teorema de deslocamento no tempo, tem-se
L[ f1 (t )] = F1 (s ) = e
−2 s
5e −2 s
F (s ) =
s + 0.3
EXEMPLO - 03:
Algumas vezes é necessário construir formas de onda complexas a partir de
formas de onda simples. Como um exemplo, pede-se a obtenção da transformada
de Laplace da onda apresentada na figura abaixo.
f(t)
10
7
0
1
2
3
t
15
2 Revisão da Transformada de Laplace
Como primeiro passo, escrevemos a equação que descreve a onda em
quatro etapas.
1. A inclinação da função muda de 0 para 10 no instante t = 1s.
f1 (t ) = 10(t − 1)u (t − 1)
2. A inclinação da função muda de 10 para 0 no instante t = 2s.
f 2 (t ) = f1 (t ) − 10(t − 2 )u (t − 2 )
3. O degrau da função muda de –3 em t = 2s..
f 3 (t ) = f 2 (t ) − 3u (t − 2 )
4. O degrau da função muda de –7 em t = 3s..
f (t ) = f 3 (t ) − 7u (t − 3)
= 10(t − 1)u (t − 1) − 10(t − 2 )u (t − 2 ) − 3u (t − 2 ) − 7u (t − 3)
16
2 Revisão da Transformada de Laplace
Podemos verificar esta função (como a soma de quatro elementos) como
segue:
t < 1,
1 < t < 2,
2<t <3
t >3
f (t ) = 0 − 0 − 0 − 0 = 0
f (t ) = 10(t − 1) − 0 − 0 − 0 = 10(t − 1)
f (t ) = 10(t − 1) − 10(t − 2 ) − 3 − 0 = 7
f (t ) = 7 − 7 = 0
Logo,a equação está de acordo com a figura. Cada termo em f(t) está de
acordo com o teorema do deslocamento no tempo.
L[ f (t − t0 )u (t − t0 )] = e − t0 s F (s )
Portanto, a transformada de Laplace de f(t) é dada por,
10e − s 10e −2 s 3e −2 s 7e −3 s
F (s) = 2 − 2 −
−
s
s
s
s
17
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 04:
Determine a transformada de Laplace de f(t) mostrada na figura (a) abaixo.
f(t)
1
(a)
t
0
1
2
3
4
A figura (a) pode ser descrita como a soma de duas componentes mostradas na
figura (b)
f(t)
f(t)
1
0
t-1
1
2
3
4
+
t
1
(b)
0
1
2
3
4
t
18
2 Revisão da Transformada de Laplace
A equação para a primeira componente é t – 1 para 1 <= t <= 2, de tal forma que
esta componente pode ser descrita por
(t − 1)[u (t − 1) − u (t − 2)]
A segunda componente pode ser descrita por
u (t − 2 ) − u (t − 4 )
Portanto,
f (t ) = (t − 1)[u (t − 1) − u (t − 2 )] + [u (t − 2 ) − u (t − 4 )]
= (t − 1)u (t − 1) − (t − 1)u (t − 2 ) + u (t − 2 ) − u (t − 4 )
O primeiro termo do lado direito é o sinal tu(t) deslocado por 1 segundo. Além
disso, o terceiro e quarto termos são o sinal u(t) deslocado por 2 e 4 segundos,
respectivamente.
19
2 Revisão da Transformada de Laplace
O segundo termo, entretanto, não pode ser interpretado como uma versão atrasada
de qualquer sinal na tabela (1). Por esta razão, reorganizamos este termo por,
(t − 1)u (t − 2) = (t − 2 + 1)u (t − 2) = (t − 2)u (t − 2) + u (t − 2)
Acabamos de expressar o segundo termo na forma desejada, como sendo tu(t)
atrasado por 2 segundos mais u(t) atrasado por 2 segundos. Com este resultado,
f(t) pode ser descrita por,
f (t ) = (t − 1)u (t − 1) − (t − 2 )u (t − 2 ) − u (t − 4 )
Aplicando o teorema de deslocamento no tempo, obtemos a transformada F(s),
F (s ) =
1 −s 1 −2 s 1 −4 s
e − 2e − e
2
s
s
s
20
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 05:
Determine a transformada de Laplace inversa de F1(s) = 1/(s+3)2.
SOLUÇÃO
Neste exemplo utiliza-se o teorema do deslocamento de freqüência (frequecy shift
theorem), Item 4 da tabela (2), e a transformada de Laplace de f(t) = tu(t), Item 3 da
tabela (1).
Se a transformada inversa de F(s) = 1/s2 é a transformada de Laplace de tu(t), a
transfomada inversa de F(s+a) = 1 /(s+a)2 é e-attu(t). Assim,
f1(t) = e-3ttu(t).
21
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS:
Para se obter a transformada de Laplace inversa de uma função com maior nível
de complexidade, pode-se converter a função a uma soma de termos mais
simples, para o quais se conhece a transformada de Laplace de cada termo. O
resultado é chamado de expansão em frações parciais.
Se F1(s) = N(s) / D(s), onde a ordem de N(s) seja maior ou igual à ordem de
D(s), então N(s) deve ser dividido por D(s) sucessivamente até que o resultado
apresente um resíduo cuja ordem do numerador seja inferior à ordem do
denominador. Por exemplo, se
s 3 + 2s 2 + 6s + 7
F1 ( s ) =
s2 + s + 5
Deve-se realizar a divisão até se obter um resíduo cuja ordem do numerador seja
inferior à de seu denominador. Assim,
F1 ( s ) = s + 1 +
2
s2 + s + 5
22
2 Revisão da Transformada de Laplace
Realizando-se a transformada de Laplace inversa, utilizando o Item I da tabela (1),
juntamente com o teorema da derivação (Item 7) e o teorema da linearidade (Item 3)
da tabela (2), obtém-se
f1 (t ) =
dδ (t )
2
⎡
⎤
+ δ (t ) + L−1 ⎢ 2
⎥
dt
⎣ s + s + 5⎦
A utilização da expansão em frações parciais torna possível a expansão de funções
como F(s) = 2 / (s2 + s + 5) em uma soma de termos e, em seguida, pode-se obter a
transformada de Laplace inversa para cada termo. Serão considerados três casos de
como esta expansão pode ser realizada.
23
2 Revisão da Transformada de Laplace
CASO I: Raízes Reais e Distintas no Denominador de F(s)
Um exemplo de raízes reais e distintas é a função,
2
F ( s) = 2
s + s+5
(1)
Pode-se escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos em
que cada fator do denominador original forme o denominador de cada termo, e
constantes, chamadas resíduos, formem os numeradores. Assim,
F (s) =
2
K1
K2
=
+
s 2 + s + 5 (s + 1) (s + 2 )
(2)
24
2 Revisão da Transformada de Laplace
Para se obter K1, multiplica-se, inicialmente, a equação anterior por (s+1), o que
isola K1 . Assim,
(s + 1)K 2
2
= K1 +
(s + 2 )
s+2
(3)
Fazendo-se s tender a –1, elimina-se o último termo e obtém-se K1 = 2.
Analogamente, a constante K2 pode ser obtida multiplicando-se a equação (2)
por (s+2) e , em seguida, fazendo-se s tender a –2; assim, K2 = - 2.
Cada parte da equação (2) corresponde a uma F(s) na tabela (1). Portanto, f(t) é
a soma das transformadas de Laplace inversars de cada um dos termos,
(
)
f (t ) = 2e − t − 2e −2t u (t )
(4)
25
2 Revisão da Transformada de Laplace
Em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possui raízes reais e distintas,
uma expansão em frações parciais do tipo,
F ( s) =
=
N ( s)
N (s)
=
D( s ) (s + p1 )(s + p2 )L (s + pm )L (s + pn )
(5)
Km
Kn
K1
K2
+
+L+
+L
(s + p1 ) (s + p2 )
(s + pm ) (s + pn )
pode ser empregada se a ordem de N(s) for menor do que a ordem de D(s). Para se
avaliar cada um do resíduos, Ki, multiplica-se a equação (5) pelo denominador da
correspondente fração parcial. Assim, ao se desejar Km, multiplica-se a equação (5)
por (s+pm) e obtém-se
(s + pm )F ( s) =
= (s + pm )
(s + pm )N ( s)
(s + p1 )(s + p2 )L (s + pm )L (s + pn )
K1
K2
+ (s + p m )
+ L + Km + L
(s + p1 )
(s + p2 )
+ (s + p m )
Kn
(s + p n )
(6)
26
2 Revisão da Transformada de Laplace
Quando s tende a –pm , todos os termos do lado direito da equação (6) tendem a
zero, exceto o termo com a constante Km. Assim,
(s + pm )N(s)
(s + p1 )(s + p2 )L(s + pm )L(s + pn ) s→− p
= Km
m
27
2 Revisão da Transformada de Laplace
Procedimento geral de uso da expansão por frações parciais na solução de uma
equação diferencial ordinária.
EDO
condições
iniciais
Passo 1
Aplica-se a
transformada L
Passo 2
Resolva para
Y(s) = N(s)/D(s)
Solução
y(t)
Obs: O passo 3 pode ser
contornado se a
transformada do passo 2
corresponde a uma
entrada na tabela (1).
Passo 3
Aplicar expansão
em frações parciais
Passo 4
Aplica-se a
transformada inversa
28
2 Revisão da Transformada de Laplace
EXEMPLO - 06: Solução de uma equação diferencial pela transformada de Laplace.
Dada a equação diferencial a seguir, obtenha a solução para y(t) considerando que
todas as condições iniciais são nulas. Utilize a transformada de Laplace.
d2y
dy
+
+ 32 y = 32u (t )
12
dt 2
dt
SOLUÇÃO
Substitua a correspondente função F(s) de cada um dos termos da equação utilizando
o Item 2, da tabela (1), os Itens 7 e 8 da tabela (2) e as condições iniciais de y(t) e de
dy(t)/dt, fornecidas como y(0-) = 0 e dy(0-)/dt = 0, respectivamente. A transformada
e Laplace fica
32
s 2Y ( s ) + 12 sY ( s ) + 32Y ( s ) =
s
29
2 Revisão da Transformada de Laplace
SOLUÇÃO
A solução para a resposta Y(s), fornece
Y ( s) =
32
32
=
s s 2 + 12s + 32 s (s + 4)(s + 8)
(
)
Observa-se que a equação acima não apresenta qualquer de seus termos na tabela
(1). Assim, desenvolve-se a expansão em frações parciais dos termos do lado direito
e identifica-se cada um dos termos resultantes com as funções F(s) na tabela (1).
Assim,
Y ( s) =
onde
K1 =
K3
32
K
K2
= 1+
+
s(s + 4 )(s + 8) s (s + 4 ) (s + 8)
32
=1
(s + 4)(s + 8) s→0
K2 =
32
= −2
s (s + 8) s →−4
K3 =
32
=1
s (s + 4 ) s →−8
30
2 Revisão da Transformada de Laplace
SOLUÇÃO
Portanto,
1
2
1
Y (s) = −
+
s (s + 4 ) (s + 8)
Como cada uma das três partes constituintes da equação acima é representada através
de uma função F(s) na tabela (1), a função y(t) é a soma das transformadas de
Laplace inversas de cada termo, ou seja,
(
)
y (t ) = 1 − 2e −4t + e −8t u (t )
A função u(t) mostra que a resposta é nula para (t < 0). A menos que seja especificado
de forma diferente, nenhuma das entradas responderá antes de t = 0. Desse modo,
escreve-se a resposta como
y (t ) = 1 − 2e −4t + e −8t
31
2 Revisão da Transformada de Laplace
CASO II: Raízes Reais e Repetidas no Denominador de F(s)
Um exemplo da função F(s) com raízes reais e repetidas no denominador é
2
F (s) =
(s + 1)(s + 2)2
(1)
Nesse caso, a raiz do denominador em -2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2.
Na expansão de frações parciais, cada fator do denominador forma o denominador
de cada termo. Cada raiz múltipla gera termos adicionais consistindo em fatores
com denominador de multiplicidade reduzida.
2
K1
K2
K1
F (s) =
=
+
+
2
2
(s + 1)(s + 2) (s + 1) (s + 2) (s + 2)
(2)
32
2 Revisão da Transformada de Laplace
então K1=2, conforme descrito anteriormente. A constante K2 pode ser isolada
multiplicando-se a equação (2) por (s + 2)2, resultando em
2
K1
2
= (s + 2 )
+ K 2 + (s + 2 )K 3
(s + 1)
(s + 1)
(3)
Fazendo-se s tender a –2 tem-se K2 = -2. Para se obter K3 observa-se que ao se
derivar a equação (3) em relação a s obtém-se
(s + 2)s K + K
−2
=
(s + 1)2 (s + 1)2 1 3
(4)
A constante K3 é isolada e pode ser obtida fazendo-se s tender a –2. Portanto,
K3 = -2.
33
2 Revisão da Transformada de Laplace
Cada termo constituinte da equação (2) é uma função F(s) mostrada na tabela (1);
logo, f(t) é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada um dos termos,
isto é,
(5)
f (t ) = 2e − t − 2te −2t − 2e − t
Assim, em geral, dada uma função F(s) cujo denominador possua raízes reais e
repetidas, pode-se realizar uma expansão em frações parciais da forma
F ( s) =
N ( s)
D( s)
=
N (s)
(s + p1 )r (s + p2 )L (s + pn )
se a ordem de N(s) for menor do
que a ordem de D(s) e as raízes
repetidas forem de
multiplicidade r em –p1.
=
K1
K2
Kr
+
+
+
L
(s + p1 )
(s + p1 )r (s + p1 )r −1
(6)
+
Kn
K r +1
+L+
(s + p 2 )
(s + pn )
34
2 Revisão da Transformada de Laplace
A fim de se obter as constantes K1 até Kr para as raízes de multiplicidade superior à
unidade, multiplica-se, inicialmente a equação (6) por (s + p1)r, obtendo-se F1(s) na
forma,
r
F1 = (s + p1 ) F (s )
r
(
s + p1 ) N (s )
=
(s + p1 )r (s + p2 )L (s + pn )
r −1
2
= K1 + (s + p1 )K 2 + (s + p1 ) K 3 + L + (s + p1 ) K r
r
r
K n (s + p1 )
K r +1 (s + p1 )
+
+L+
(s + pn )
(s + p2 )
(7)
Pode-se assim determinar K1 imediatamente, fazendo-se s tender para –p1. A
constante K2 é obtida derivando-se a equação (7) em relação a s e, em seguida,
fazendo-se s tender a –p1. Derivações sucessivas conduzirão à determinação de K3
até Kr. A expressão geral para K1 até Kr para raízes múltiplas é
1 d i −1 F1 (s )
Ki =
(i − 1)! ds i −1 s→− p
1
i = 1, 2, K, r ; 0!= 1
35
2 Revisão da Transformada de Laplace
CASO III: Raízes Complexas ou Imaginárias no Denominador de F(s)
Um exemplo de F(s) com raízes complexas no denominador é
F (s) =
3
s s 2 + 2s + 5
(
)
(1)
Esta função pode ser expandida da seguinte forma,
3
K1 K 2 s + K 3
=
+ 2
2
s s + 2s + 5
s s + 2s + 5
(
)
(2)
Nesse caso K1 é obtido da forma usual e vale 3/5, K2 e K3 podem ser determinados
multiplicando-se inicialmente a equação (2) pelo mínimo múltiplo comum do
denominador, s(s2 + 2s + 5), e evidenciando-se as frações. Substituindo-se o valor
de K1, obtém-se
36
2 Revisão da Transformada de Laplace
Substituindo-se o valor de K1, obtém-se
3⎞ 2 ⎛
6⎞
⎛
3 = ⎜ K 2 + ⎟s + ⎜ K3 + ⎟s + 3
5⎠
5⎠
⎝
⎝
(3)
Igualando-se os coeficientes, tem-se (K2 + 3/5) = 0 e (K3 + 6/5) = 0. Assim,
K2 = - 3/5 e K3 = - 6/5. Portanto,
3
3/ 5 3 s + 2
F (s) = 2
=
− 2
s s + 2s + 5
s
5 s + 2s + 5
(
)
(4)
Pode-se mostrar que o último termo é a soma das transformadas de Laplace de
um seno e de um cosseno exponencialmente amortecidos. Utilizando o Item 7
da tabela (1) e os Itens 2e 4 da tabela 2, encontra-se
[
L Ae
− at
A(s + a )
(5)
cos ωt =
2
2
(s + a ) + w
]
[
]
L Ae − at senωt =
Bw
(s + a )2 + w2 (6)
37
2 Revisão da Transformada de Laplace
Somando-se as equações (5) e (6), tem-se
[
]
L Ae − at cos ωt + Be − at senωt =
A(s + a ) + Bw
(s + a )2 + w2
(7)
Converte-se, agora, o último termo da equação (4) para a forma sugerida
pela equação (7), completando-se os quadrados no denominador e
ajustando-se os termos do numerador sem alterar seus valores. Assim,
3 / 5 3 (s + 1) + (1 / 2 )(2 )
−
F (s) =
5 (s + 1)2 + 2 2
s
(8)
Comparando-se a equação (8) com as expressões apresentadas na tabela
(1) e na equação (7), obtém-se
f (t ) =
3 3 −t ⎛
1
⎞
− e ⎜ cos 2t + sen2t ⎟
5 5 ⎝
2
⎠
38
2 Revisão da Transformada de Laplace
De uma forma geral, a resposta de um sistema linear invariante no tempo
pode ser decomposta em em uma resposta a entrada nula (resposta natural)
e uma resposta ao estado nulo (resposta forçada).
Considere a equação diferencial,
du (t )
d 2 y (t )
dy (t )
(
)
y
t
+
3
+
2
=
3
− u (t )
2
dt
dt
dt
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se
( ) ( ) [
= 3[sU (s ) − u (0 )]− U (s )
( )]
s 2Y (s ) − sy 0 − − y& 0 − + 3 sY (s ) − y 0 − + 2Y (s )
−
39
2 Revisão da Transformada de Laplace
O agrupamento de Y(s) e U(s) resulta em
(s
2
)
( ) ( )
( )
( )
+ 3s + 2 Y (S ) = sy 0 − + y& 0 − + 3 y 0 − − 3u 0 − + (3s − 1)U (s )
o que implica em
(
s + 3) y (0 − ) + y& (0 − ) − 3u (0 − )
Y (S ) =
+
2
(s
+ 3s + 2
)
Resposta a entrada nula
3s − 1
U (s )
2
s + 3s + 2
(
)
Resposta ao estado nulo
A solução da equação diferencial revela que parte dela é excitada
por uma entrada u(t), t >= 0, e parcialmente excitada pelas
condições iniciais y (0 − ), y& (0 − ), e u (0 − )
40
2 Revisão da Transformada de Laplace
Estas condições iniciais denominam-se estado inicial. O estado inicial é
excitado pelas entradas aplicadas antes de t = 0. Assim, o estado inicial
sintetiza o efeito das entradas passadas u(t), t < 0 , sobre uma saída futura
y(t), para t >= 0.
A segunda parte é excitada exclusivamente pela entrada e denomina-se
resposta ao estado zero. No domínio da transformada de Laplace, a resposta
ao estado zero é governada por, ajustando todas as condições iniciais nulas,
Y (S ) =
3s − 1
U (s ) = G (s )U (s )
2
s + 3s + 2
(
)
onde a função racional G(s) é denominada função de transferência. A qual
consiste na razão da transformada de Laplace da saída pela entrada quando
todas as condições inicias são nulas. O conceito de função de transferência
e suas aplicações são abordados na seção seguinte.
41
3 Função de Transferência
Funções de transferência são usadas para caracterizar as relações de
entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por
equações diferenciais lineares invariantes no tempo.
Considere o sistema linear invariante no tempo descrito pela seguinte
equação diferencial de enésima ordem,
d n c(t )
d n −1c(t )
d m r (t )
d m −1r (t )
+ an −1
+ L + a0 c(t ) = bm
+ bm −1
+ L + b0 r (t )
an
n
n −1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
(1)
Para obtermos a função de transferência deste sistema, precisamos
aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação (1) e
admitir que a condições iniciais sejam nulas, a equação (1) reduz-se a
(a s
n
n
)
(
)
+ an −1s n −1 + L + a0 C (s ) = bm s m + bm −1s m −1 + L + b0 R(s )
(2)
42
3 Função de Transferência
Expressa-se agora a relação entre a transformada da saída, C(s), e a
transformada da entrada, R(s):
(
(
bm s m + bm −1s m −1 + L + b0
C (s )
= G (s ) =
R(s )
an s n + an −1s n −1 + L + a0
)
)
(3)
A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama
de blocos, conforme mostrado na figura abaixo, a entrada à esquerda e a
saída à direita, e a função de transferência do sistema no interior do bloco.
43
3 Função de Transferência
Quanto à classificação, as funções de transferência denominam-se:
(a) Estritamente própria: quando o grau do polinômio denominador é
maior que o grau do polinômio numerador (n > m);
(b) Biprópria: quando o grau dos polinômios denominador e numerador
são iguais (n = m);
(c) Imprópria: quando o grau do polinômio denominador é menor que o
grau do polinômio numerador (n < m).
EXEMPLO – 07: Classificar as seguintes funções de transferência
s + 1; 2;
2
1
;
s +1
s2 −1
;
2
s +1
s −1
s +1
44
3 Função de Transferência
Funções de transferência de circuitos elétricos:
Os circuitos equivalentes para redes elétricas que serão apresentados consistem
em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. A
tabela (3) apresenta esses componentes e as relações entre tensão e corrente, e
entre tensão e carga desses elementos sujeitos a condições iniciais nulas.
Tabela (3)
45
3 Função de Transferência
As funções de transferência podem ser obtidas utilizando-se a lei de Kirchhoff
das tensões e somando-se as tensões ao longo dos laços ou das malhas. Esta é a
chamada análise das malhas ou dos laços, e é discutida no exemplo a seguir.
EXEMPLO – 08: Malha única via equação diferencial
Obtenha a função de transferência que relaciona a tensão no capacitor, VC(s), à
tensão de entrada, V(s), para o circuito mostrado na figura abaixo.
A soma das tensões ao longo da malha, admitindo-se condições iniciais nulas,
fornece a seguinte equação íntegro-diferencial,
1 t
di (t )
L
+ Ri(t ) + ∫ i (τ )dτ = v(t )
dt
C 0
46
3 Função de Transferência
Trocando-se as variáveis de corrente para carga, utilizando a definição i(t) = dq(t)/dt,
tem-se
dq (t ) 1
d 2 q(t )
L
+R
+ q(t ) = v(t )
2
dt
dt
C
Pela relação tensão-carga para um capacitor, fornecida na tabela (3), obtém-se,
q(t ) = CvC (t )
Substituindo-se a relação acima, tem-se
d 2 vC (t )
dvC (t )
LC
+ RC
+ vC (t ) = v(t )
2
dt
dt
Aplicando a transformada de Laplace,
(LCs
2
)
+ RCs + 1 VC (s ) = V (s )
VC (s )
1
=
V (s )
LCs 2 + RCs + 1
(
)
47
3 Função de Transferência
EXEMPLO – 09: Malhas múltiplas
Dado o circuito da figura (a), obtenha sua
função de transferência, I2(s)/V(s).
A primeira etapa da solução é a conversão do
circuito em transformadas de Laplace para
impedâncias e das variáveis do circuito,
admitindo condições iniciais nulas. Este
resultado é mostrado na figura (b).
A segunda etapa é obter as equações
simultâneas, obtidas pela Lei das tensões de
Kirchhoff (LTK) ao longo das malhas onde
circulam as correntes I1(s) e I2(s).
48
3 Função de Transferência
Aplicando a LTK na malha 1:
R1 I1 (s ) + LsI1 (s ) − LsI 2 (s ) = V (s )
Aplicando a LTK na malha 2:
1
LsI 2 (s ) + R2 I 2 (s ) +
I 2 (s ) − LsI1 (s ) = 0
Cs
Combinando as equações das malhas como equações simultâneas:
(R1 + Ls )I1 (s ) − LsI 2 (s ) = V (s )
1 ⎞
⎛
− LsI1 (s ) + ⎜ Ls + R2 + ⎟ I 2 (s ) = 0
Cs ⎠
⎝
49
3 Função de Transferência
Na terceira etapa, utilizamos a regra de Cramer para resolver para I2(s):
(R1 + Ls )
I 2 (s ) =
onde,
∆=
− Ls
V (s )
0
∆
(R1 + Ls )
− Ls
=
LsV (s )
∆
− Ls
1 ⎞
⎛
Ls
R
+
+
⎜
⎟
2
Cs
⎝
⎠
Formando-se a função de transferência G(s), tem-se
I 2 (s ) Ls
LCs 2
G (s ) =
=
=
V (s ) ∆ (R1 + R2 )LCs 2 + (R1 R2C + L )s + R1
conforme mostrado na figura (c).
50
3 Função de Transferência
Funções de transferência de sistemas mecânicos em translação:
Os sistema mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três
elementos lineares passivos. Dois deles, a mola e a massa, são elementos
armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia. Os
dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois elementos
armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor. O dissipador de
energia é análogo à resistência elétrica.
Pode-se, agora, analisar melhor esses elementos mecânicos observando-os na
tabela (4). Na tabela, K, fV, e M são chamados, respectivamente, de rigidez de
mola, coeficiente de atrito viscoso e massa.
51
3 Função de Transferência
Tabela (4)
52
3 Função de Transferência
EXEMPLO – 10: uma equação de movimento
Obtenha a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).
A solução se inicia pela construção do diagrama de corpo livre mostrado abaixo.
Indicando todas as forças sentidas pela massa. Admita que a massa se desloque
para a direita.
53
3 Função de Transferência
Assim, apenas a força aplicada é orientada para a direita; todas as demais forças
são contrárias ao movimento e, portanto, atuam em sentido oposto a ele.
Escreve-se, assim, a equação diferencial de movimento utilizando a lei de
Newton, que estabelece que a soma de todas as forças atuantes sobre a massa na
figura (a) é igual a zero.
d 2 x(t )
dx(t )
M
+
f
+ Kx(t ) = f (t )
v
2
dt
dt
Aplicando-se a transformada de Laplace, admitindo-se condições iniciais nulas,
tem-se
Ms 2 X (s ) + f v sX (s ) + KX (s ) = F (s )
ou
(Ms
2
)
+ f v s + K X (s ) = F (s )
X (s )
1
G (s ) =
=
F (s ) Ms 2 + f v s + K
(
)
54
3 Função de Transferência
EXEMPLO – 11: sistema com dois graus de liberdade
Obtenha a função de transferência, X2(s)/F(s), para o sistema mostrado na figura (a).
O sistema possui dois graus de liberdade, uma vez que cada uma das massas pode
se mover na direção horizontal enquanto a outra permanece parada. Assim, são
necessárias duas equações de movimento simultâneas para descrever o
comportamento do sistema. A superposição é utilizada para se construir os
55
diagramas de corpo livre.
3 Função de Transferência
Por exemplo, as forças sobre a massa M1 são devidas a (1) seu próprio movimento (2)
ao movimento da massa M2 transmitido a M1 através do sistema. Estas duas fontes
serão consideradas separadamente.
Ao se manter a M2 parada e movendose M1 para a direita, obtêm-se s forças
mostradas na figura (a). Ao se manter
M1 parada e movendo-se M2 para a
direita, obtêm-se as forças mostradas na
figura (b). A força total é a
superposição das forças discutidas e é
ilustrada na figura (c).
Neste caso, a primeira equação simultânea é dada por,
[M s
1
2
]
+ ( fv1 + fv3 )s + (K1 + K 3 ) X 1 (s ) − ( fv3 s + K 2 )X 2 (s ) = F (s )
56
3 Função de Transferência
Para a análise de M2, procede-se e maneira semelhante: inicialmente se move M2 para a
direita mantendo-se M1 parada; em seguida se move M1 para a direita mantendo-se M2
parada. Para cada um dos casos são calculadas as forças atuantes sobre M2. Os
resultados são apresentados na figura abaixo.
Neste caso, a segunda equação simultânea é dada por,
[
]
− ( fv3 s + K 2 )X 1 (s ) + M 2 s 2 + ( fv2 + fv3 )s + (K 2 + K 3 ) X 2 (s ) = 0
57
3 Função de Transferência
A partir dessas equações, a função de transferência, X2(s)/F(s) é dada por:
( fv3 s + K 2 )
X 2 (s )
= G (s ) =
F (s )
∆
onde
[
Ms
∆=
1
2
]
+ ( fv1 + fv3 )s + (K1 + K 2 )
− ( fv3 s + K 2 )
[M s
2
− ( fv3 s + K 2 )
2
]
+ ( fv2 + fv3 )s + (K 2 + K 3 )
58
4 Modelo com Diagrama de Blocos
Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação ilustrada das
funções desempenhadas por cada um dos componentes e do fluxo de sinais.
Em um diagrama de blocos todas as variáveis do sistema são ligadas umas às
outras através de blocos funcionais. O bloco funcional ou simplesmente bloco
é um símbolo da operação matemática sobre o sinal de entrada no bloco que
produz a saída.
Diagrama de blocos de um sistema de malha fechada.
R(s)
E(s)
B(s)
G(s)
H(s)
C(s)
C(s) = G(s)E(s)
E(s) = R(s) – B(s)
= R(s) – H(s)C(s)
C (s)
= R(s ) − H (s )C (s )
G (s)
C ( s ) = G (s )[R(s ) − H (s )C (s )]
C ( s )[1 + G (s )H (s )] = G (s )R(s )
C (s)
G (s )
59
=
R(s ) 1 + G (s )H (s )
4 Modelo com Diagrama de Blocos
Um diagrama de blocos complicado envolvendo muitas malhas de realimentação
pode ser simplificado por um rearranjo passo a passo, usando regras de álgebra de
diagramas de blocos, de acordo com a tabela exposta a seguir.
60
4 Modelo com Diagrama de Blocos
EXEMPLO - 12: reduzir o seguinte diagrama de blocos
61
4 Modelo com Diagrama de Blocos
62
4 Modelo com Diagrama de Blocos
EXEMPLO - 13: reduzir o seguinte diagrama de blocos
63
4 Modelo com
Diagrama de
Blocos
EXEMPLO - 14: reduzir o
seguinte diagrama de blocos
64
4 Modelo com Diagrama de Blocos
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA ENTRADAS DE
PERTURBAÇÕES:
A figura a seguir mostra um sistema de malha fechada sujeito a
perturbação. Quando duas, ou mais, entradas (a entrada de referência
e a(s) de perturbação) estão presentes em um sistema linear, cada
entrada pode ser tratada independente da outra, e as saídas
correspondentes a cada entrada sozinha podem ser adicionadas para
dar a saída completa.
N(s)
R(s)
C(s)
G1(s)
G2(s)
H(s)
65
4 Modelo com Diagrama de Blocos
1) Examinando o efeito da perturbação N(s)
N(s)
G1(s)
-1
G2(s)
C(s)
H(s)
C N (s)
G 2 (s)
=
N(s) 1 + G1 (s)G 2 (s)H(s)
66
4 Modelo com Diagrama de Blocos
2) Examinando o efeito da entrada de referência R(s)
R(s)
G1(s)
G2(s)
C(s)
H(s)
C R (s)
G1 (s)G 2 (s)
=
R (s) 1 + G1 (s)G 2 (s)H(s)
Portanto, a resposta C(s) devido à aplicação simultânea das entradas
R(s) e N(s) é dada por:
C(s) = C R (s) + C N (s)
G 2 (s)
[G1 (s)R (s) + N(s)]
C(s) =
1 + G1 (s)G 2 (s)H(s)
67
OBRIGADO
68