Circuitos Elétricos II
Aula 2:
Transformada de Laplace (T.L.) - revisão
Prof. Humberto Mendes Mazzini
Departamento de Engenharia Elétrica
Objetivos:
- Saber calcular a transformada de Laplace de uma função
usando sua definição, a tabela de transformadas de Laplace
e/ou uma tabela de transformadas operacionais.
- Saber calcular a transformada inversa de Laplace usando a
expansão por frações parciais e a tabela de transformadas de
Laplace.
- Entender e saber como usar o teorema do valor inicial e o
teorema do valor final.
Transformada de Laplace
Desenvolvida pelo matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827)
T.L. - Introdução
A T. L. de certa maneira generaliza a Transformada
de Fourier, pois baseia-se na representação de sinais
no domínio da frequência em função de “s”, que é
um complexo s = σ + jω (em vez de apenas “jω”
na Transformada de Fourier).
T.L. - Vantagens
- As Transformadas de Laplace fornecem mais informação
sobre aqueles sinais e sistemas que também podem ser
analisados pela Transformada de Fourier,
- podem ser aplicadas em contextos em que aTransformada
de Fourier não pode, como por exemplo na análise de
Sistemas instáveis.
Definição da T.L.
Considere um sinal contínuo x(t) :
x(t) ∈ C {conjunto dos números complexos}
ou seja, o sinal x(t) pode ter valores complexos, i.e., valores com parte
real e com parte imaginária.
A Transformada de Laplace deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:
permite expressar o sinal x(t) como:
a equação acima é chamada de transformada unilateral pois é definida para
x(t) em que
x(t) para t<0
e é a definição de T.L. adotada aqui (maior aplicação em sistemas dinâmicos).
Exemplos (1)
Determine a transformada de Laplace de cada uma das
funções a seguir:
7
Exemplos (2)
8
Exemplos (3)
9
Exemplos (4)
10
Exemplos (5)
11
Exemplos (6)
12
Exemplos (7)
13
Generalização
14
Propriedades da Transformada de Laplace (1)
Linearidade:
Se F1(s) e F2(s) são, respectivamente, as trasformadas de
Laplace of f1(t) e f2(t), então:
La1 f1 (t )  a2 f 2 (t )  a1F1 (s)  a2 F2 (s)
15
Propriedades da Transformada de Laplace (2)
Mudança de escala:
Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
1
s
L f (at )  F ( )
a a
16
Propriedades da Transformada de Laplace (3)
Deslocamento no tempo:
Se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:
L f (t  a)u(t  a)  eas F (s)
17
Propriedades da Transformada de Laplace (4)
Deslocamento na frequência:
se F (s) for a transformada de Laplace de f (t), então:


L eat f (t )u(t )  F (s  a)
18
Propriedades da Transformada de Laplace (5)
Derivadas:
Se F (s) for the Transformada de Laplace de f (t), então a
Transformada de Laplace de sua derivada é:
 df

L  u (t )  sF ( s)  f (0 )
 dt

19
Propriedades da Transformada de Laplace (6)
Integrais:
Se F (s) for a Transformada de Laplace de f (t), então a
Transformada de Laplace de sua integral é:
t
1


L  f (t ) dt  F ( s )
 0
 s
20
Propriedades da Transformada de Laplace (7)
Valores inicial e final
21
Valores inicial e final - exemplo
22
FIM