TRANSFORMADA DE
LAPLACE
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Transformada de Laplace

Análise de comportamento de sistemas
 Extensão
natural da transformada de Fourier
 Novo domínio  s = σ + jΩ
 Transformada de
Fourier
 Autofunção de senóides complexas
 Transformada de
Laplace
 Autofunção de exponenciais complexas
Transformada de Laplace

Autofunção e autovalor
 Convoluindo x(t)
com um sistema LTI h(t)
x ( t )  Ae
st


autovalor




st
s
y( t )  Ae
h
(

)
e
d
 
autofunção
 x ( t )H(s)
Transformada de Laplace

Relação com Transformada de Fourier

X(s)  FT x(t )e
 e-σt
 t

é um fator de convergência
 Usado para lidar com sinais descontínuos em
 Lembrar


fator de convergência é e-|σ|t
Deve-se aplicar o limite σzero
 Quando
σ = zero, temos a FT de x(t)
FT
Transformada de Laplace

Definição
A
partir da definição da FT

X(s)   x ( t )e st dt

1  j
 st
x(t) 
X
(
s
)
e
ds

j2  j
 Em que situações as integrais convergem?
Transformada de Laplace

Região de convergência (ROC)
 Define a
existência da integral envolvida na
transformada de Laplace no plano s
 Quais os valores de s que garantem existência de X(s)
 Convergência absoluta






x ( t )e st dt  0
x ( t )e (  j) t dt  0
 Considere que |ejΩt|=zero para todo t
Transformada de Laplace

Exemplos
 Lembrando
 Funções de duração finita sempre convergem

ROC = todo o plano s
Transformada de Laplace

Relação com Transformada de Fourier
 Se
ROC de X(s) contém {σ = zero}
 x(t)
possui FT
X (s) s  j  X ( j)
Transformada de Laplace

Transformada unilateral de Laplace
 Restrição de
funções nulas para t<zero

X(s)   x ( t )e st dt
0
1  j
 st
x(t) 
X
(
s
)
e
ds

j2  j
 X(s) considera o comportamento de x(t) em t=0
 ROC sempre estará a direita de todos os pólos finitos de
X(s)  x(t) é causal
 t=0-
Transformada de Laplace

Transformada unilateral de Laplace
 Exemplos
Transformada de Laplace

Propriedades
 Linearidade
LT
x ( t ) 
X(s)
LT
y( t ) 
Y(s)
z( t )  ax( t )  by ( t )  Z(s)  aX(s)  bY (s)
LT
Transformada de Laplace

Propriedades
 Deslocamento tempo
LT
x ( t ) 
X(s)
y( t )  x ( t  t 0 )  Y(s)  X(s) e
LT
 t0>0
st 0
para garantir causalidade de y(t)
 Deslocamento em
freqüência
x ( t )  X(s)
LT
LT
y( t )  x ( t ) e st 0 
Y(s)  X(s  s 0 )
Transformada de Laplace

Propriedades
 Escala no tempo
LT
x ( t ) 
X(s)
y( t )  x (at)  Y(s)  1 a  X(s a )
LT
 a>0
para garantir causalidade de x(t)
 Escala em
freqüência
x ( t )  X(s)
LT
LT
y( t )  1 a  x(t a ) 
Y(s)  X(as)
Transformada de Laplace

Propriedades
 Modulação
x ( t )  X (s)
LT
LT
y( t ) 
Y (s)
1   j
FT
z( t )  x ( t )  y( t )  Z(s) 
Y( w )X (s  w )dw

j2   j
 Convolução
z(t )  x(t)  y(t )  Z(s)  Y(s)  X(s)
LT
Transformada de Laplace

Propriedades
 Diferenciação
LT
x ( t ) 
X(s)
dx ( t ) LT
y( t ) 
 Y(s)  s  X(s)  x (0  )
dt
 Para o caso de TL
bilateral:
dx ( t ) LT
y( t ) 
 Y(s)  s  X(s)
dt
Transformada de Laplace

Propriedades
 Diferenciação sucessiva
LT
x ( t ) 
X(s)
n 1
N


dN
d
LT
N
N k
y( t )  N x ( t )  Y(s)  s X(s)   s  n 1 x ( t )
dx
k 1
 dx
 t 0
 Para o caso de TL
N
bilateral:
d x ( t ) LT
N
y( t ) 
 Y(s)  s  X(s)
N
dt
Transformada de Laplace

Propriedades
 Diferenciação complexa
LT
x ( t ) 
X(s)
d
y( t )   t  x ( t )  Y(s)  X(s)
ds
LT
 Integração
X(s)
y( t )   x ()d  Y(s) 
0
s
t
LT
Transformada de Laplace

Propriedades
 Teorema do valor inicial
x (0)  lim sX (s)
s  
 Teorema do valor final
lim x ( t )  lim sX (s)
t  

s 0
Desde que todos os pólos de sX(s) localizem-se no
semiplano esquerdo do plano s  garantia de convergência
Transformada de Laplace

Frações parciais
 Representação dos sinais
por funções racionais de s
b Ms M  b M1s M1    b1s  b0
G(s)  N
s  a N1s N1    a1s  a 0
 Fatorando o denominador
 raízes de G(s)
 Determinação dos pólos de G(s)
N(s)
G(s) 
(s  p1 )(s  p 2 ) (s  p N )
Transformada de Laplace

Frações parciais
 Fatorando o denominador
 raízes de G(s)
 Determinação dos pólos de G(s)
KN
K1
K2
G(s) 


(s  p1 ) (s  p 2 )
(s  p N )
 Esta forma de G(s) depende de N>M

Ordem do denominador > ordem do numerador
 Questões:


Como encontrar pi?
Como encontrar Ki?
Transformada de Laplace

Frações parciais
 Para
pólos pi, sem repetição
 Multiplicidade nula
Ki  (s  pi )G(s)spi
 No tempo,
temos:
 pi t
Ki e u(t )
Ki

s  pi
 Ki e pit u(t )
Transformada de Laplace

Frações parciais
 Para
pólos pi, com m repetições
 Multiplicidade m
mk
K i ,k


1
d
m

(
s

p
)
G(s) spi , k  1,2,, m
i
mk
(m  k)! ds
 No tempo,
temos:
Ki
n
s  pi 
n 1
t
Ki
e  pit u (t )
(n  1)!

n 1
t
 Ki
e  pi t u (t )
(n  1)!
Transformada de Laplace

Frações parciais
O
que fazer quando ordem do numerador é maior
ou igual à ordem do denominador (N≥M)?
 Divisão de polinômios


Quociente  funções descontínuas no tempo
Resto/Denominador  método das frações parciais
Transformada de Laplace

Frações parciais
 Exemplos