Sistemas Discretos
Hoje se começará o estudo de sistemas nos quais há
partes do laço de controle onde o sinal é descontínuo
(não é possível aplicar as técnicas contínuas)
e por isso é necessário aplicar outras técnicas matemática tais como:
• Transformada z
• Equações de diferenças finitas
• Equações de estado discretas
além disso
. os elementos básicos que formam parte do laço de
Estudaram-se
controle e se obterão seus modelos matemáticos
Sempre que em um sistema de controle apareça um microprocessador
ou elemento similar, dito sistema se converterá em um sistema de
controle discreto.
Um esquema de controle discreto é o seguinte:
microprocessador
ou computador
Como os sinais que processa o microprocessador são discretas,
é necessário adicionar conversores ao sistema:
um conversor A/D para processar o sinal de erro e
conversor D/A para que o controlador possa atuar sobre o processo
Sistemas Discretos
Um sinal variante no tempo pode ser amostrado com um intervalo de tempo “T”, formando uma
sequência de valores discretos.
Aplicando esta sequência discreta num sistema dinâmico contínuo, teremos uma resposta que
será definida apenas nos instantes de amostragem
O trem de impulsos
é composto de vários impulsos
definido por:
A área do impulso
O sinal amostrado
Portanto, o sinal discreto
é igual a 1 o que expressa a magnitude do impulso
pode ser descrito pela seguinte relação:
.
(1)
será definido apenas nos instantes de amostragens
Exemplo de um Controle Discreto:
Guiagem de um Sistema Interceptor.
O sistema de guiagem direciona o vôo de um míssil no espaço para interceptar
o veículo aeroespacial inimigo.
A defesa usa mísseis com o objetivo de interceptar e destruir o bombardeiro
antes que ele lance as bombas. Uma ilustração é mostrada na figura abaixo
O radar detecta a posição do alvo e o rastreia, fornecendo informações
discretas necessárias para a determinação das variações angulares e de
deslocamento do alvo.
Estas informações (dados) são enviadas interruptamente ao computador
que estima (calcula) a trajetória do alvo
O radar também rastreia o míssil fornecendo informações discretas ao
computador de calcula sua trajetória.
O computador compara as duas trajetórias e determina a correção
necessária na trajetória do míssil para produzir uma rota de colisão.
As informações discretas sobre a correção da trajetória são enviadas ao
míssil pelo rádio de comando
O sistema de controle do míssil (controlador digital) converte essas
informações em deslocamentos mecânicos das suas superfícies de
controle, modificando sua trajetória de vôo, fazendo-se entrar na rota de
colisão.
O diagrama de blocos deste sistema de controle está mostrado na figura
abaixo
A representação simplificada em diagrama de blocos está mostrada
O projeto destes sistemas requer conhecimentos nas áreas:
comunicação, processamento digital de sinais, engenharia de computação
e teoria de controle digital.
Análise de Sistemas Dinâmicos Discretos
Transformada – Z
A transformada de Laplace é uma transformada muito útil para a
engenharia de controle
Para analisar sistemas de controle discretos, vamos aplicar a
transformada de Laplace em um sinal discreto e veremos que o
resultado será a transformada Z.
Considere o sinal discreto (amostrado) e*(t ) mostrado na primeira figura da
aula, aplicando-se a transformada de Laplace na equação (1), teremos:
Devido à propriedade de linearidade da transformada de Laplace, temos:
A transformada de Laplace de uma função transladada é dada por:
Poderá chegar ao mesmo resultado, utilizando qualquer caminho da figura
abaixo, porém o caminho da transformada Z é o mais indicado.
Observação:
Sendo “s” uma
variável complexa
a variável z também
é complexa
EXEMPLO
Suponha que um sinal exponencial tenha sido amostrado com um período de
amostragem T, conforme mostrado abaixo:
Esta é a transformada Z
da função
at
e
Algumas Propriedades da Transformada Z
A seguir serão apresentadas algumas propriedades da transformada Z
úteis ao controle discreto.
Linearidade
Deslocamento no Tempo
Teorema do Valor Inicial
Teorema do Valor Final
O resultado final de um projeto de controlador digital (discreto) é expresso em Z,
para verificar o resultado do projeto, é necessário determinar sua resposta no
tempo.
Para isto, deve-se efetuar a inversa da transformada Z, ou seja:
A seguir, apresentaremos duas formas de se calcular a
inversa da transformada Z
Expansão em frações parciais
Divisão contínua
Métodos de Expansão em Frações Parciais
EXEMPLO
Como Y(z) tem uma zero na origem fazemos
Para determinar y(k), utiliza-se a tabela seguinte, onde se encontram as
principais transformadas.
Então, temos:
Método de Expansão em Série por Divisão Contínua (ou Divisão Longa)
Da mesma forma, iremos mostrar o método através de um exemplo.
Considere:
Função de Transferência de um Sistema Discreto
A função de transferência de um sistema discreto é definida como o modelo
que relaciona a sua entrada com sua saída, ou seja:
Para determinar a função de transferência deste sistema, é necessário
aplicar a transformada Z na equação
Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo teremos:
Supondo que as condições iniciais são todas nulas, ou seja
Teremos:
Transformada Z Inversa Utilizando a Propriedade de
Deslocamento no Tempo
Este método aplica-se apenas quando se conhece a entrada de um sistema
discreto e deseja-se determinar a saída para esta entrada
Considere um sistema discreto por:
Supondo todas as condições iniciais nulas e aplicando a propriedade :
de deslocamento no tempo porém no caminho inverso, teremos
Considere o sistema discreto abaixo:
Isto também pode encontrá-lo
na tabela de transformada Z
Bibliografia
Notas do professor