Mecânica dos Fluidos
(Equação da Energia)
By Prof. Conrad Lee
Equação de energia
Considerando o mesmo V.C. anterior, o balanço da taxa de energia pode ser
escrito de acordo com a 1ª lei de termodinâmica como:
E t Q W
 entrah entra  m
 sai h sai


m
t
t
t

P
Por definição, E t  m  e  m h  


E t   
P  h 
P

 m h   
dxdy  dxdy
t t  
 
t
t
A transferência de calor é descrita pela lei de Fourier. Por exemplo em x:
q x  k
T
x
qx 
q x
dx
x
Aplicando nas duas direções:
q y
Q
q x
 2T
 2T

dxdy 
dydx  k 2 dxdy  k 2 dydx
t
x
y
x
y

Q
 k2Tdxdy
t
O trabalho é resultante das deformações causadas pela variação de pressão e
as tensões normais e de cisalhamento. Considerando a definição clássica de
trabalho:
W     

F r  FV
t
t
 
Para a pressão então,
Pvdx 
 Pv
dydx
y
Pudy 
P udy
Pvdx
 Pu 
dxdy
x

W
Pu
Pv

dxdy 
dydx
t P
x
y
Para as tensões normais podemos escrever:
y vdx 
x udy
 y v 
y
dydx
 x udy 
  x u 
dxdy
x
y vdx
 y v 
W
x u 


dxdy 
dydx
t 
x
y
Aplicando a definição  x  2
u
x
e uma similar para y e expandindo.
2
2
 2u
W
 2 v  u   v  

 2dxdyu 2  v 2       
t 
y  x   y  
 x

Semelhantemente, podemos escrever para as tensões de cisalhamento:
yx udx 
 yx u 
y
dydx
xy vdy 
xy vdy
 xy v 
x
dxdy
yx udx
xy v 
yx u 
W

 xy vdy  xy vdy 
dxdy  yx udx  yx udx 
dydx
t 
x
y
 u v 





   e expandindo.
Aplicando a definição xy
yx
 y x 
   2 v  2 u    2 u  2 v   u v 2 
W
 dxdy v 2  2   u 2  2      
t 
y   y x   y x  
  x

A expressão final do trabalho viscoso pode ser consideravelmente
simplificada assumindo-se um fluido incompressivel com dilatação zero.
cons tan te
W
t 
2
2
  u 2
 v   u v  
 dxdy2   2      
 y   y x  
  x 
O fluxo de entalpia pode ser considerado como no diagrama abaixo.
 yh 
m
 yh
 m
y
dy
 xh 
m
 xh
m
 xh
 m
dx
x
 yh
m
 yh
 m
 xh
m
 entrahentra  m
 sai hsai  
m
dx 
dy
x
y
 entrah entra  m
 sai hsai  
m
 uh 
 vh
dxdy 
dydx
x
y
Combinando os termos, vemos que podemos agregar os termos de pressão e
entalpia na derivativa material para obter:

Dh DP

 k2T  
Dt
Dt
que é uma expressão genérica com a seguinte expressão para a dissipação
viscosa em 3-D:
 3D
  u 2  v 2  w 2  v u 2
 2   2   2
    
 z   x y 
 y 
  x 
2
2
2
  2
 w v   u w 
 
    
   V 
 y z   z x 


Obs:

• O último termo contém a viscosidade volumétrica e a a dilatação, podendo
ser então eliminado se o fluido for incompressível.
• A derivada material de P é relacionada a expansão térmica e também pode
ser ignorada para fluido incompressível.
Com base em fluido incompressível, a equação de energia pode ser obtida em
relação a temperatura para um gas caloricamente perfeito (dh=CpdT).
DT

 2T 

Dt
CP
que em 2-D pode ser escrita como:
  2T  2T 
T
T
T

u
v
  2  2 
t
x
y
y  CP
 x
2
2
  u 2
 v   u v  
2    2       
  y 
 y   y x  
O último termo correspondente ao aquecimento causado por fricção do fluido
e é sempre positivo. Frequentemente, este termo tem uma contribuição
pequena e pode ser ignorado para se obter a forma mais comum da equação
de energia:
DT
  2T
Dt
Similaridade (Profa. Flávia Zinani)
Considerando que as variáveis do problema podem ser adimensionalisadas na
forma:
x
y
x*  ; y*  ;
L
L
T  T

Ts  T
u
u*  ;
U
v
v* 
U
E considerando escoamento 2-D de um fluido incompressível (=constante),
equação do movimento na direção x, equação da continuidade e equação da
energia, fluido com propriedades constantes (k, cp, ), sem geração de energia,
sem forças de corpo, em regime permanente:
u
u
1 p    2u  2u 
u v

  2 2
x
y
 x   x y 
u v

0
x y
  2T  2T 
T
T
u
v
  2  2 
x
y
y 
 x
Similaridade
As equações ficam na forma:
u *
u *
p * 1   2u *  2u * 
u*
 v*





2
x *
y *
x * Re  x * y *2 
u * v *

0
x * y *
 *
 * 1   2 *  2 * 
u*
v
 


2
x *
y * Pe  x * y *2 
Prove!
Onde Pe=Re.Pr
Os parâmetros de similaridade para os problemas de convecção são o número
de Reynolds e o número de Prandtl.
Similaridade
Se dois problemas tiverem similaridade geométrica, e mesmos
Re e Pr, então exibirão similaridade do ponto de vista térmico,
ou seja, terão o mesmo Nu.
Isso porque:
Nu  Nu (Re, Pr)