Aulas Práticas de Matemática II
Mestrado em Arquitectura
2o Semestre
Ficha 4
1
Integrais duplos e triplos.
Exemplo 1 Calcule o integral duplo
ZZ
(x2 y + 2y 3 x)dxdy, com R = [0, 1] × [−1, 0] .
R
Sabemos que
ZZ
(x2 y + 2y3 x)dxdy =
R
Assim, porque
0
−1
Z
0
obtemos
Z
1
µZ
0
1
¶
Z
(x2 y + 2y3 x)dx dy =
0
1 µZ 0
−1
¶
(x2 y + 2y 3 x)dy dx.
´
£
¤1 ³ y
y
+ y3 − 0 = + y3 ,
(x2 y + 2y 3 x)dx = x2 y + 2y3 x 0 =
3
3
ZZ
(x2 y + 2y 3 x)dxdy =
R
Z
0
µZ
1
−1
0
0 ³
Z
¶
(x2 y + 2y 3 x)dx dy
´
y
+ y3 dy
−1 3
¸0
∙ 2
y4
y
+
=
6
4 −1
5
1 1
= 0− − =− .
6 4
12
=
Alternativamente, porque
∙ 2 2
µ 2
¸0
¶
Z 0
x y
x
2xy 4
x
x2 x
+
+
(x2 y + 2y 3 x)dy =
=0−
=− − ,
2
4 −1
2
2
2
2
−1
obtemos
ZZ
R
2
3
(x y + 2y x)dxdy =
Z
1 µZ 0
2
3
¶
(x y + 2y x)dy dx
¶
Z 1µ
x
=
dx
− −
2
2
0
¸1
∙ 3
x2
x
= − −
6
4 0
1
5
1
= − − =− .
6 4
12
0
1
−1
x2
Exercício
Z Z 1. Calcule os integrais duplos:
(3x2 y + 8xy3 + 2)dxdy, com R = [0, 1] × [0, 1].
a)
b)
c)
d)
ZRZ
ZR
Z
ZRZ
(12xy 5 + 3y −1 )dxdy, com R = [−1, 1] × [1, 2].
cos(x + y)dxdy, com R = [0, π] × [0, π].
(xyex+y )dxdy, com R = [0, 1] × [−1, 0].
R
Exemplo 2 Calcular o volume do sólido
ª
©
S = (x, y, z) ∈ R3 : x ∈ [0, 1] ∧ y ∈ [0, 2] ∧ 0 ≤ z ≤ ex+y .
Consideremos a função f : [0, 1] × [0, 2] → R+ , definida por f (x, y) = ex+y . Note que S é o conjunto dos
pontos do espaço que ficam por baixo do gráfico de f . Logo teremos
ZZ
f (x, y)dxdy, com R = [0, 1] × [0, 2] ,
Volume(S) =
R
e portanto
Volume(S) =
Z
0
=
Z
=
e
0
0
1¡
¶
dy dx
¤2 ´
0
dx
¢
ex+2 − ex dx
£ x+2
¤1
e
− ex 0
¡
¢ ¡
¢
= e3 − e − e2 − 1 = e3 − e2 − e + 1.
=
Alternativamente, teríamos
1 ³£
x+y
ex+y
0
Z
1 µZ 2
Vol me(S) =
=
=
Z
Z
Z
0
2 µZ 1
2 ³£
x+y
e
0
ex+y
0
0
2¡
¶
dx dy
¤1 ´
0
dy
¢
e1+y − ey dy
£
¤2
= e1+y − ey 0
¡
¢
= e3 − e2 − (e − 1) = e3 − e2 − e + 1.
2
Exercício 2 Calcule o volume do sólido S definido por:
ª
©
S = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 .
Exercício 3 Calcule o volume do sólido S definido por:
ª
©
S = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ x3 + y3 ≤ z ≤ x2 + y2 .
Exemplo 3 Calcule o integral
ZZ
S
Sabemos que
ZZ
©
ª
xydxdy, com S = (x, y) ∈ R2 : x3 ≤ y ≤ x .
xydxdy =
S
Z
0
Assim, porque
Z
ZZ
xydy =
Z
y
∙
xy 2
2
xydxdy =
S
Alternativamente temos
xydy dx =
x3
x
x3
temos
¶
1 µZ x
√
3y
1
=
x3
ÃZ
√
3y
x3 x7
− ,
2
2
1 µZ x
¶
xydy dx
¶
Z
x7
=
−
dx
2
2
0
¸1
∙ 4
x
x8
−
=
8
16 0
1
1
1
−
−0 = .
=
8 16
16
0
∙
yx2
xydx =
2
x3
1µ 3
x
¸√
3y
5
y3
y3
− ,
=
2
2
y
e portanto
ZZ
xydxdy =
S
Z
1
0
Z
1
ÃZ
Ã
√
3y
!
xydx dy
y
5
y3
y3
−
=
2
2
0
" 8
#1
3y 3
y4
−
=
16
8
!
dy
0
=
1
1
3
− −0= .
16 8
16
3
!
xydx dy.
y
0
¸x
Z
Z
Exercício 4 Calcule o integral
ZZ
(x2 + y 2 )dxdy quando:
S
©
ª
a) S = ©(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x ; ª
b) S = © (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x3 ≤ y ≤ xª2 ;
c) S = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ x ≤ y3 .
Exemplo 5 Calcule, mediante uma mudança de variáveis adequada, o integral
ZZ
©
ª
(x2 + y 2 )dxdy, com S = (x, y) ∈ (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 .
S
Consideremos a transformação T : [0, +∞] × [0, 2π] → R2 , definida por
T (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) .
Sabemos que
ZZ
f (x, y)dxdy =
ZZ
f (T (r, θ)). |det(DT (r, θ))| drdθ,
T −1 (S)
S
onde
T −1 (S) = {(r, θ) ∈ [0, +∞] × [0, 2π] : T (r, θ) ∈ S}
= {(r, θ) ∈ [0, +∞] × [0, 2π] : (r cos θ, r sin θ) ∈ S}
o
n
=
(r, θ) ∈ [0, +∞] × [0, 2π] : (r cos θ)2 + (r sin θ)2 ≤ 4
ª
©
= (r, θ) ∈ [0, +∞] × [0, 2π] : r2 ≤ 4
= [0, 2] × [0, 2π] ,
e
det (DT (r, θ)) = det
∙
cos θ −r sin θ
sin θ r cos θ
¸
= r(cos θ)2 + r(sin θ)2 = r.
Assim, porque f (x, y) = x2 + y 2 , temos f (T (r, θ)) = f (r cos θ, r sin θ) = r2 , e portanto
ZZ
ZZ
2
2
(x + y )dxdy =
f (T (r, θ)). |det(DT (r, θ))| drdθ
S
[0,2]×[0,2π]
ZZ
=
r2 |r| drdθ
[0,2]×[0,2π]
=
Z
2
0
=
Z
Z
(
2π
r3 dθ)dr
0
2
2πr3 dr
0
= 8π.
4
Exercício
Z Z 5 Mediante uma mudança de variáveis adequada, calcule:
©
ª
xdxdy, com S = (x, y) ∈ (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 .
a)
ZSZ p
©
ª
b)
x2 + y 2 dxdy, com S = (x, y) ∈ (x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 e y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 1 .
c)
ZSZ
S
2 +y 2
ex
©
ª
dxdy, com S = (x, y) ∈ (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 .
Exemplo 6 Seja S = [0, 1] × [0, 1] uma placa bidimensional com densidade de massa f (x, y) = ex+y . Calcular
a massa e o centro de massa de S.
Sabemos que a massa da placa, e as coordenadas do seu centro de massa, (c1 , c2 ), são dadas por
ZZ
ZZ
xf (x, y)dxdy
yf (x, y)dxdy
ZZ
, c2 = S
.
f (x, y)dxdy, c1 = S
massa(S) =
massa(S)
massa(S)
S
Logo, das igualdades:
ZZ
f (x, y)dxdy ==
e
1
0
S
ZZ
Z
S
Z
ZZ
Z
xf (x, y)dxdy =
Z
(
0
1
0
yf (x, y)dxdy =
S
1
Z
(
ex+y dy)dx = (e − 1)2 ,
1
0
1
0
Z
(
0
1
xex+y dy)dx = e − 1,
yex+y dy)dx = e − 1,
obtemos
massa(S) = (e − 1)2 e c1 = c2 =
e−1
1
2 = e − 1.
(e − 1)
Exemplo 5 Calcular o integral triplo
ZZZ
(x + y + z)dxdydz, com P = [0, 1] × [−1, 1] × [−1, 0] .
P
Recorde que o cálculo de um integral triplo pode reduzir-se ao cálculo de um integral duplo. Mais precisamente, se considerarmos as funções a : R1 = [0, 1] × [−1, 1] → R, b : R2 = [0, 1] × [−1, 0] → R,
c : R3 = [−1, 1] × [−1, 0] → R, definidas respectivamente por
a(x, y) =
Z
0
−1
(x + y + z) dz, b(x, z) =
Z
1
(x + y + z) dy, c(y, z) =
−1
Z
0
5
1
(x + y + z) dx,
então temos
ZZZ
(x + y + z)dxdydz =
P
ZZ
a(x, y)dxdy =
R1
ZZ
b(x, z)dxdz =
R2
ZZ
c(y, z)dydz.
R3
Assim, porque
¸0
¶
∙
µ
1
z2
1
a(x, y) =
=x+y− ,
(x + y + z) dz = xz + yz +
= 0 − −x − y +
2 −1
2
2
−1
Z
0
vem
ZZZ
(x + y + z)dxdydz =
P
ZZ
a(x, y)dxdy
¶
ZZ µ
1
dxdy
x+y−
2
R1
¶ ¶
Z 1 µZ 1 µ
1
dy dx
x+y−
2
0
−1
Ã
!
¸1
Z 1 ∙
y2 y
xy +
−
dx
2
2 −1
0
¶ µ
¶¶
Z 1 µµ
1 1
1 1
− −x + +
dx
x+ −
2 2
2 2
0
Z 1
(2x − 1) dx
R1
=
=
=
=
=
0
£
¤1
= x2 − x 0
= (1 − 1) − 0
= 0.
Alternativamente, podíamos calcular
c(y, z) =
Z
0
1
(x + y + z) dx =
∙
x2
+ xy + xz
2
6
¸1
0
=
1
+ y + z − 0,
2
e portanto
ZZZ
(x + y + z)dxdydz =
P
ZZ
c(y, z)dydz
¶
ZZ µ
1
+ y + z dydz
R3 2
¶ ¶
Z 1 µZ 0 µ
1
+ y + z dz dy
−1
−1 2
Ã
¸0 !
Z 1 ∙
z
z2
+ yz +
dy
2
2 −1
−1
¶¶
µ
Z 1µ
1
1
dy
0− − −y+
2
2
−1
Z 1
ydy
R3
=
=
=
=
=
=
∙
−1
¸1
y2
2
−1
1 1
−
=
2 2
= 0,
como anteriormente.
Exercício
Z Z Z5. Calcule os integrais triplos:
(xyz)dxdydz, com P = [−1, 0] × [0, 1] × [−1, 1].
a)
b)
c)
Z ZPZ
Z ZPZ
ex+y+z dxdydz, com P = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
cos(x + y + z)dxdydz, com P = [0, 2π] × [0, π] × [−π, 0].
P
Exemplo 6 Calcular o integral
ZZZ
©
ª
(x + y + 2z)dxdydz, com S = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] e 0 ≤ z ≤ x2 + 1 .
S
Note que neste caso o domínio de integração, S, não é um paralelipípedo. Se considererarmos um paralelipípedo P que contenha S, seja por exemplo P = [0, 1] × [0, 1] × [0, 2], temos
ZZZ
ZZZ
(x + y + z)dxdydz =
f˜(x, y, z)dxdydz,
S
P
7
onde f˜ : P = [0, 1] × [0, 1] × [0, 2] → R está definida por
½
x + y + z se (x, y, z) ∈ S
˜
f (x, y, z) =
.
0 se (x, y, z) ∈ P e (x, y, z) ∈
/S
Para calcular o integral
ZZZ
f˜(x, y, z)dxdydz,
P
podemos considerar a função a : R = [0, 1] × [0, 1] → R, definida por
Z 2
a(x, y) =
f˜(x, y, z)dz
0
=
Z
x2 +1
(x + y + 2z) dz
0
£
¤x2 +1
xz + yz + z 2 0
³ ¡
¢
¡
¢ ¡
¢2 ´
= x x2 + 1 + y x2 + 1 + x2 + 1
−0
=
= x4 + x3 + yx2 + 2x2 + x + y + 1.
Sabemos que
ZZZ
f˜(x, y, z)dxdydz =
P
ZZ
a(x, y)dxdy
R
=
=
=
=
=
=
=
ZZ
(x4 + x3 + yx2 + 2x2 + x + y + 1)dxdy
R
¶
Z 1 µZ 1
4
3
2
2
(x + x + yx + 2x + x + y + 1)dx dy
0
0
¸1 !
Z 1 Ã∙ 5
x4 yx3 2x3 x2
x
+
+
+
+
+ xy + x
dy
5
4
3
3
2
0
0
¶
¶
Z 1 µµ
1 1 y 2 1
+ + + + + y + 1 − 0 dy
5 4 3 3 2
0
¶
Z 1µ
157
4
y+
dy
3
60
0
¸
∙
2 2 157y 1
y +
3
60 0
2 157
+
.
3
60
Exercício 6 Calcular o integral
ZZZ
©
ª
xdxdydz, com S = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] e 0 ≤ z ≤ x + 1 .
S
Exercício 7 Calcular o integral
ZZZ
©
ª
ydxdydz, com S = (x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] e y 3 + 1 ≤ z ≤ y 2 + 1 .
S
8