7. Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Em muitos experimentos, as observações são expressas,
não como uma única quantidade, mas como um conjunto
de quantidades. Por exemplo, observar o peso e a altura de
pessoas em uma comunidade ou a chegada de pessoas em
uma fila de banco e o tempo de permanência. Para se
descrever tais eventos há necessidade de se considerar
v.a.’s bidimensionais. Sejam X e Y duas v.a.’s associadas a
um dado modelo probabilístico (, F, P). Então
Px1  X  x2   FX ( x2 )  FX ( x1 ) 
P y1  Y  y2   FY ( y2 )  FY ( y1 ) 

x2

y2
x1
y1
f X ( x)dx,
fY ( y)dy.
1
O que dizer a respeito da probabilidade do par de v.a.‘s (X,Y)
em uma dada região D? Em outras palavras, como estimar a
probabilidade,
P( x1  X  x2 )  ( y1  Y  y 2 )?
Define-se então a função distribuição de probabilidade
conjunta de X e Y como:
FXY ( x, y)  P( X  x)  (Y  y)  P( X  x, Y  y)  0,
onde x e y são números reais arbitrários.
Propriedades
(i) FXY (, y)  FXY ( x,)  0, FXY (,)  1.
X
 , Y  y    X   ,
X
Como,
FXY (, y)  P X    0.
 , Y    , FXY (, )  P()  1.
2
(ii)
Px1  X  x2 , Y  y   FXY ( x2 , y )  FXY ( x1 , y ).
P X  x, y1  Y  y 2   FXY ( x, y 2 )  FXY ( x, y1 ).
Prova: Se x2 > x1,
 X  x2 , Y  y    X  x1 , Y  y   x1  X  x2 , Y  y 
Como os eventos são mutuamente exclusivos:
P X  x2 , Y  y   P X  x1 , Y  y   Px1  X  x2 , Y  y 
iii) Px1  X  x2 , y1  Y  y 2   FXY ( x2 , y 2 )  FXY ( x2 , y1 )
 FXY ( x1 , y 2 )  FXY ( x1 , y1 ).
x1  X  x2 , Y  y2   x1  X  x2 , Y  y1   x1  X  x2 , y1  Y  y2 .
Px1  X  x2 , Y  y2   Px1  X  x2 , Y  y1   Px1  X  x2 , y1  Y  y2 
Y
y2
R0
y1
X
x1
x2
3
Função Densidade de Probabilidade Conjunta
Por definição a função densidade de probabilidade conjunta
de X e Y é dada por:
 2 F ( x, y )
f XY ( x, y ) 
Então
FXY ( x, y )  




 
x


y

XY
x y
.
f XY (u, v ) dudv.
f XY ( x, y ) dxdy  1.
Para encontrar a probabilidade de (X,Y) ser encontrada em
uma região arbitrária D, é dada por:
Px  X  x  x, y  Y  y  y   FXY ( x  x, y  y )
 FXY ( x, y  y )  FXY ( x  x, y )  FXY ( x, y )


x  x
x

y  y
y
f XY (u, v)dudv  f XY ( x, y )xy.
4
Assim a probabilidade de que (X,Y) seja encontrado em um
retângulo diferencial x y é igual a f XY ( x, y )  xy, e
repetindo este procedimento sobre a união de todos os
retângulos diferenciais que não se sobrepõem em D, resulta
em
P( X , Y )  D   

( x , y )D
f XY ( x, y )dxdy.
Y
D
y
x
X
iv) Distribuições marginais
No contexto de v.a.’s n-dimensionais a distribuição
individual de cada uma é chamada de distribuição marginal.
Assim f X (x) é a FDP marginal de X, e FX (x) é a f.d.p,
marginal de X. É interessante notar que as distribuições
marginais podem ser obtidas da distribuição conjunta 5
FX ( x)  FXY ( x,), FY ( y )  FXY (, y ).
f X ( x)  


f XY ( x, y )dy, fY ( y )  


f XY ( x, y )dx.
Para provar usa-se a identidade ( X  x)  ( X  x)  (Y  )
FX ( x)  P X  x   P X  x, Y    FXY ( x,).
FX ( x)  FXY ( x,)  
x




f XY (u, y ) dudy
Derivando ambos os lados em relação a x, tem-se:
f X ( x)  


f XY ( x, y )dy.
Lembrando que, se H ( x)  
b( x )
a( x)
h( x, y )dy.
b ( x ) dh ( x , y )
dH ( x ) db ( x )
da ( x )

h ( x , b) 
h ( x, a )  
dy .
a ( x ) dx
dx
dx
dx
6
Se X e Y são v.a.'s discretas, então pij  P( X  xi ,Y  y j )
representa a f.d.p. conjunta de X e Y e as suas respectivas
f.d.p.’s marginais são dadas por:
P( X  xi )   P( X  xi , Y  y j )   pij
j
j
P(Y  y j )   P( X  xi , Y  y j )   pij
i
i
Supondo que P( X  xi ,Y  y j ) é escrito como um arranjo
retangular, como mostrado abaixo,
p
ij
i
p
ij
j
p11
p12

p1 j

p1n
p21
p22

p2 j 
p2 n






pi1
pi 2

pij

pin






pmj

pmn
pm1
pm 2 
7
Exemplo 7.1: Dado que
c, 0  x  y  1,
f XY ( x, y )  
0, outrosvalores.
Obtenha as f.d.p.’s marginais f X (x) e fY ( y ).
Solução: A f.d.p. conjunta de X e Y f XY ( x, y) é uma constante
na região cheia. Em primeiro lugar determina-se o valor da
Y
constante c, usando

 






f XY ( x, y )dxdy 

y 0 
1

2
1
cy
cydy 
y 0
2
f X ( x)  


fY ( y )  


1
0


c  dxdy 
x 0

c
 1
2
f XY ( x, y )dy  
y
c2
1
yx
f XY ( x, y )dx  
1
y
0
X
1
2dy  2(1  x), 0  x  1,
y
x 0
2dx  2 y,
0  y  1.
8
Exemplo 7.2: X e Y são denominadas de v.a’s conjuntamente
Gaussianas se a f.d.p conjunta, tem a seguinte forma:
f XY ( x, y ) 
1
2 X  Y 1   2
e
1  ( x   X )2 2  ( x   X )( y  Y ) ( y  Y ) 2



2 
 XY
 Y2
2 (1  )   X2




,
   x  ,    y  , |  | 1.
Determine f X (x) e fY ( y) . Solução:
Tomando-se o expoente e completando-se o quadrado
2 ρ(x  μ X )(y  μY ) (y  μY )2 ρ 2(y  μY )2 ρ 2(y  μY )2
1  (x  μ X )2




2 
2
2
2
σ
σ
2( 1 ρ )  σ X
σY
σY
σY2
X Y
2
 (y  μY )2 ρ 2(y  μY )2
ρ(y  μY ) 
1  (x  μ X )
1


 


2 
2
2

σY
2( 1 ρ )  σ X
σY
σY2
 2( 1 ρ ) 
1
2( 1 ρ 2 )σ 2
X

ρ X

x

μ

X

σY

2




2 

(y

μ
)
( 1 ρ 2 ) 
Y


 y  μY  
2 
2
2( 1 ρ ) 
σY 9 






2

 1  (y  μY )2
ρσ X
1

x

[
μ

(y

μ
)
]



X
Y
2
2

σY
2
σ
2( 1 ρ 2 )σ X 

Y

1
f XY ( x, y) 
2 ( 1  ρ 2 )σ X σY
e
1
2( 1 ρ2 ) 2
X




2

 1  (y  μY )2
σ X
(y  μY ) )   
 x( μ X 
σ
Y

 2 
σY2
Integrando-se fXY(x,y), em relação a x obtem-se fY(y)

f
XY ( x,
y)dx 

fY ( y )  


1
2 σY
e
(y  μY )2

2 σY2


1

f XY ( x, y )dx 
2( 1  ρ )σ X
2
1
2 Y2
e
e


1
σX
ρ(y  μY ) 
 x( μ X 
2
2
σY

2( 1 ρ ) X 
( y  Y )2 / 2 Y2





2
dx
N ( Y , Y2 ),
Seguindo o mesmo procedimento obtém-se fX(x).
f X ( x)  


f XY ( x, y )dy 
1
2 X2
e
2
( x   X )2 / 2 X
N (  X , X2 ),
10
A notação, N ( X , Y , X2 , Y2 ,  ) será usada para representar
duas variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas ou
normais.
Conclusão:
Pode-se concluir, que o conhecimento isolado das funções
densidade de probabilidade marginais não diz nada a
respeito da função densidade de probabilidade conjunta.
A única situação em que o conhecimento das funções
densidade de probabilidade marginais, pode ser usada para
determinar a função densidade de probabilidade conjunta é
quando as variáveis aleatórias são independentes, como será
mostrado em seguida.
11
Variáveis Aleatórias Independentes
Definição: As variáveis aleatórias X e Y são denominadas
de estatisticamente independentes, se os eventos X ( )  A
e {Y ( )  B} são eventos independentes para quaisquer
subconjuntos mapeados no eixo x e y, respectivamente.
Portanto, se os eventos X ( )  x e Y ( )  y, são
independentes, então pode-se escrever
P( X  x)  (Y  y)   P( X  x) P(Y  y)
isto é:
FXY ( x, y )  FX ( x) FY ( y )
ou equivalentemente, se X e Y são variáveis aleatórias
independentes, então
f XY ( x, y )  f X ( x) fY ( y ).
12
Se X e Y são v.a. do tipo discreta, então a Independencia
implica em
P( X  xi , Y  y j )  P( X  xi ) P(Y  y j ) para todo i, j.
Dado f XY ( x, y), obtém-se as f.d.p.‘s marginais f X (x) e fY ( y)
verifica-se a relação de Independencia, isto é:
Se
f XY ( x, y)  f X ( x) fY ( y)
as v.a. X e Y são independentes
Se f XY ( x, y)  f X ( x) fY ( y) as v.a. X e Y não são independentes
No caso de duas variáveis aleatórias conjuntamente
normais, N ( X , Y , X2 , Y2 ,  ) como visto no exemplo 7.2,
elas serão independentes, se somente se   0.
f XY ( x, y ) 
1
2 X  Y
e
1  ( x   X ) 2 ( y  Y ) 2

2   X2
 Y2




13
Variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas
f XY ( x, y) 
Se   0.
1
2 X  Y 1  
f XY ( x, y ) 
2
e
1  ( x   X ) 2 2  ( x   X )( y  Y ) ( y  Y ) 2


2 
2


2(1  )   X
 Y2
X Y
1
2 X  Y
e
1  ( x   X ) 2 ( y  Y ) 2


2   X2
 Y2



,




Determinação das f.d.p.’s marginais

f X ( x) 

f XY ( x, y )dy 


f X ( x) 
f

XY ( x,
y )dy 
1
2  X
1
2  Y
e
( x X )2 

2 X2


e
( x  Y ) 2 

2 Y2


1
2  Y
1
2  X

( y  Y ) 2
e

e
2 Y2
dy 
( y  X )2
2 X2
dx 
1
2  X
1
2  Y

( x X )2

( x  Y ) 2
e
e
2 X2
2 Y2
Como f XY ( x, y)  f X ( x) fY ( y) conclui-se que X e Y são independentes
obs. fXY(x,y) apresenta simetria circular quando   0.
14
Exemplo 7.3: Dado

 xy 2 e  y , 0  y  , 0  x  1,
f XY ( x, y)  

outrosvalores.
 0,
Determine se X e Y são independentes.

Solução:

f X ( x )   f XY ( x, y )dy  x  y 2e  y dy
0
0

y 

 x   2 ye
 2  ye y dy   2 x,
0
0


0  x  1.
Similarmente:
fY ( y )  
Neste caso
1
0
y2 y
f XY ( x, y )dx 
e ,
2
0  y  .
f XY ( x, y )  f X ( x) fY ( y ),
e então X e Y são variáveis aleatórias independentes.
15
Exemplo 7.4 : Soma de v.a.'s de Bernoulli e de Poisson
Seja X i , i  1, 2, 3, variáveis aleatórias independentes,
identicamente distribuídas com distribuição de Bernoulli,
com
P ( X i  1)  p,
P ( X i  0)  1  p  q
Seja N uma variável aleatórias de Poisson com parâmetro  ,
independente de todo Xi . Considere a variável aleatória
N
Y   Xi,
Z  N Y.
i 1
Mostre que Y e Z são variáveis aleatórias de Poisson.
Solução: Para determinar a função densidade de
probabilidade conjunta das variáveis aleatórias Y e Z,
considere a relação de probabilidade condicional, a seguir:
16
P (Y  m, Z  n)  P (Y  m, N  Y  n)  P (Y  m, N  m  n)
 P (Y  m N  m  n) P ( N  m  n)
N
 P (  X i  m N  m  n) P ( N  m  n)
i 1
m n
 P (  X i  m) P ( N  m  n)
i 1
m n
Note que
X
i
~ B(m  n, p) e X i s
são independentes de N.
i 1
 (m  n)! m n 
P(Y  m, Z  n)  
p q 
 m!n!

  p ( p )m 

  e
m! 

Portanto Y e Z
  m n 
e



(
m

n
)!


 q (q )n 
 e
  P(Y  m) P( Z  n)
n! 

são v.a.’ de Poisson e são independentes
17