EE –05
Princípios de Telecomunicações
AULA 4
Análise de Fourier
Propriedades da Transformada de
Fourier

Dualidade
[f (t )]  F()  [F(t )]  2f ()
z( t)
Z( f)
Filtros
Com a análise feita anteriormente, é
possível se analisar filtros.
 Os filtros podem ser caracterizados em
passa baixas, passa faixas e passa altas.


Filtro passa baixas ideal:
Filtros

Filtro passa-altas ideal(espectro unilateral)
Filtros

Filtro passa faixa (espectro unilateral)
Filtros

Filtro Rejeita Faixa ideal (espectro unilateral)
Translado em freqüência e
modulação
[f (t)]  F()  [f (t).e
 j0 t
]  F(  0 )
V( f)
Z( f)
A
V( f)
-w
A
V( f)
V( f-f c )
0
w
f
0
f c -w
V( f-f c )
fc
f c +w
f
Exemplo 1
Determine o espectro de freqüências do
sinal modulado s(t).
j2 f c t
 j2 f c t
e
e
s( t )  v( t ) cos(c t )  v( t )
2
 Onde v(t)=rect(t)

1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
-1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Exemplo 1

A transformada de Fourier do Sinal é dada
por

[f ( t )]  [rect ( t )]  sinc ( )
2
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
Exemplo 1

Aplicando-se a propriedade de translado em
freqüência tem-se que: j2 f t
 j2 f t
v( t ) .e
S(f )  [ v( t ) cos(c t )]  [
2
V(f  fc) V(f  fc)

2
2
c
v( t ).e
]  [
2
30
25
20
15
10
5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
c
]
Convolução

Sejam duas funções f1(t) e f2(t) dadas.
Define-se a convolução entre estas funções
como sendo:

f1 (t ) * f 2 ( t )   f1 ().f 2 (t  )d


Propriedades da convolução
f1 ( t ) * f 2 ( t )  f 2 ( t ) * f1 ( t )
[f1 ( t ) * f 2 ( t )]* f 3 ( t )  f1 ( t ) *[f 2 ( t ) * f 3 ( t )]
f1 ( t ) *[f 2 ( t )  f 3 ( t )]  f1 ( t ) * f 2 ( t )  f1 ( t ) * f 3 ( t )
Convolução – Interpretação
gráfica

Tomemos inicialmente dois sinais
retangulares f1(t)=rect(t) e f2(t)=rect(t),
façamos a convolução entre elas.
1
0.8
1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
0
0.2
-0.2
0
-0.4
-0.2
-0.6
-0.4
-0.8
-0.6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
-1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Convolução – Interpretação
gráfica

A convolução no instante t0 pode ser vista
como sendo a área da intersecção entre f1()
e f2(t0-).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Convolução – Interpretação
gráfica

A convolução de f1(t) com f2(t) dá como
resultado uma função chamada tri(t), como
se observa abaixo:
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Convolução – Interpretação gráfica
Convolução – Relação com a
transformada de fourier
[f1 ( t ) * f 2 ( t )]  F1 ().F2 ();
1 1
 [F1 () * F2 ()]  f1 ( t ).f 2 ( t )
2
Amostragem de um sinal

Dado um sinal no domínio no tempo f(t),
cuja transformada de Fourier é F(), afim
de amostrar este sinal, devemos utilizar uma
taxa com uma freqüência igual a duas vezes
a freqüência máxima do sinal. Este é o
conhecido Teorema de Nyquist da
amostragem.
O que é amostrar um sinal?

Significa multiplicá-lo no tempo por um
trem de impulsos, tal como se observa na
figura abaixo:
repT 
[ t ]
x
0
-T
t
(a) sinal

...
...
0
T
2T
(b) trem de impulsos de amostragem
=
t
...
...
-T
0
T
2T
t
(c) sinal amostrado
Como a transformada de Fourier de um
trem de pulsos é dada por:


1
repT ( t )   ( t  nT) 
 rep1 (f )  0  (  n0 )
T
n  
n  
T

Qual é o impacto na
Transformada de Fourier?

Como houve uma multiplicação do sinal no
domínio do tempo. Haverá uma convolução
no domínio transformado, ou seja, haverá
uma repetição da transformada de Fourier
em torno de cada pulso no domínio
transformado.
Teorema de Nyquist –
Interpretação Gráfica

Considere um sinal, cujo transformada de
Fourier seja uma função tri(t), o que
acontece se for amostrado a uma taxa
inferior a 2fm, onde fm é a máxima
freqüência do espectro do sinal?
1
T
X(f)
1
T
rep 1 [f ]
T
T
* ...
-F
0
F
f
= ...
...
- T1
0
1
T
rep 1[X(f) ]
2
T
f
...
- T1 -F
0
F 1
T
2
T
f
Resultado de amostragem em
subnyquist
1
T
X( f)
rep 1[X( f) ]
~
X( f)
T
filtro ideal de
reconstrução
...
-F
0
F
(a) sinal original
f
... ...
- T1 -F
0
F
1
T
(b) sinal amostrado
2
T
f
- T1 -F21T
0
1F
2T
1
T
(c) sinal reconstituído
f
2
T
Exemplo

Considere o sinal e sua transformada
v (t )  A cos(2f 0t ). repT  (t )
v (t ) 
A
1

(
f

f
)


(
f

f
)

rep 1  ( f )

0
0 
2
T
T
Utilizemos as propriedades da
transformada e convolução

Visualmente, se a taxa for maior que a taxa
de Nyquist temos que a transformada de
fourier do sinal é dada por:

Se a taxa for menor que a taxa de Nyquist
temos a seguinte transformada de fourier.
Sinal Sub-Nyquist reconstruído
no tempo
sinal
T
"alias"
2T
T0