exemplos e aplicaçãoes da
TRANSFORMADA EM
ONDELETAS
Marcelo Schneider - meteorologista –
__________TRASNFORMADADA DE
FOURIER
•
Os analistas de séries temporais têm a sua disposição diversas ferramentas.
•
Talvez a mais conhecida seja a análise de Fourier, que decompões um sinal
em diferentes freqüências de harmônicos na forma de senos.
– Uma outra maneira pensar na análise de Fourier é como sendo uma
técnica matemática para transformar nossa idéia do sinal que se baseia
no tempo para uma relação baseada na freqüência
__________TRASNFORMADADA DE FOURIER
• Em muitas casos de séries temporais, a análise de Fourier é
extremamente útil porque o conteúdo da freqüência do sinal é muito
importante.
• No entanto a análise de Fourier tem um inconveniente sério. Na
transformação ao domínio da freqüência, a informação do tempo é
perdida. Ao olhar a transformada de Fourier de um sinal, é
impossível dizer quando um evento particular ocorreu.
•
Se as propriedades do sinal não mudarem muito com o tempo -isto é, “sinais estacionários” -- este inconveniente não é muito
importante. Entretanto, a maioria de sinais interessantes contêm
características não estacionárias, com inúmeras transições:
desvios, tendências, mudanças abruptas, e começos e fins dos
eventos. Estas características são frequentemente a parte mais
importante do sinal, e a análise de Fourier não é adequada para
detectá-las.
__________TRASNFORMADADA DE FOURIER
•
Em um esforço corrigir esta deficiência, Dennis Gabor (1946) adaptou a
transformada de Fourier para analisar somente uma pequena seção do sinal
em um dado momento -- uma técnica chamada “janelamento” do sinal. A
adaptação de Gabor, chamada de transformada de Fourier de curto tempo,
traça um sinal em uma função bidimensional do tempo e da freqüência.
__________TRASNFORMADADA DE FOURIER
• A STFT representa um certo compromisso entre a visão baseada no
tempo e na freqüência de um sinal.
• Fornece alguma informação sobre ambos quando e em que
freqüências um evento do sinal ocorre. Entretanto, pode-se
somente obter esta informação com precisão limitada, e essa
precisão é determinada pelo tamanho da janela.
•
Quando o compromisso da STFT entre o tempo e a informação da
freqüência puder ser útil, o inconveniente é que uma vez que você
escolhe um tamanho particular para a janela de tempo, a janela é a
mesma para todas as freqüências.
• Muitos sinais requerem uma aproximação mais flexível -- onde
podemos variar o tamanho da janela para determinar mais
exatamente o tempo ou a freqüência.
Análise de Ondeletas
• A análise de Wavelets, ou análise de ondeletas (“ ondinhas” )
representa uma etapa lógica seguinte: uma técnica de janelamento
com regiões de tamanho variáveis. A análise de Ondeletas permite o
uso dos intervalos longos do tempo onde nós queremos uma
informação que possui frequencia mais baixa, e regiões de intervalo
mais curto onde queremos informação com alta freqüência.
__________________Análise de Ondeletas
fixo
Tamanho variável
Observa-se que a análise de Ondeletas não usa uma região de tempofreqüência, mas sim uma região em tempo-escala.
__________________Análise de Ondeletas
Escala x freqüência:
Onde:
a é uma escala.
é o período de amostragem.
Fc é a freqüência center de um wavelet no hertz.
O Fa é a pseudo-freqüência que corresponde à escala a, em hertz.
__________________Análise de Ondeletas
• Uma das principais vantagens osbtidas pela Ondeleta é a
habilidade de executar a análise local -- isto é, para analisar uma
área localizada de um sinal mais estenso.
- Considere um sinal senoidal com uma descontinuidade pequena –
pouco visível. Tal sinal facilmente podia ser gerado no mundo real,
talvez por uma flutuação de energia ou por um ruído.
__________________Análise de Ondeletas
• A plotagem dos coeficientes de Fourier deste sinal não mostra nada que
interesse particularmente: um espectro liso com os dois picos que representam
uma única freqüência.
• Entretanto, o plot dos coeficientes da Ondeleta mostra claramente a posição
exata e o tempo da descontinuidade.
__________________Análise de Ondeletas
• análise de Ondeletas é capaz de revelar aspectos como:
• tendências;
• pontos de “quebra”;
• descontinuidades em derivadas mais elevados;
• Auto similaridades.
Assim possibilita uma diferente visão dos dados em relação à
técnicas tradicionais. A TO pode frequentemente comprimir ou tirar
ruídos de sinais sem degradação apreciável.
__________________Análise de Ondeletas
•
Uma wavelet tem um forma de onda com duração efetivamente limitada
que tem um valor médio de zero.
•
Compare wavelets com ondas seno, que são a base da análise de Fourier:
- Senoidais não têm duração limite-- estendem de menos a mais infinito.
- onde senoidais são lisas e previsíveis, wavelets tendem a ser irregulares e
asimétricas.
TRANSFORMADA DE ONDELETA CONTÍNUA
Matematicamente, o processo da análise de Fourier é representado pela
transformada de Fourier:
• Que é a soma sobre todo tempo, do sinal f (t) multiplicado por um exponencial
complexo (Recorde-se que um exponencial complexo pode ser decomposto em
componentes senoidais reais e imaginários).
• Os resultados da transformada são os coeficientes de Fourier
, que quando
multiplicado por uma senóide de freqüência , produz os componentes senoidais
constituentes do sinal original.
TRANSFORMADA DE ONDELETA CONTÍNUA
Similarmente, a transformada contínua de ondeleta é definida como a soma sobre toda o tempo do sinal
multiplicado por versões escalonadas e transladadas da função wavelet.
• Os
resultados CWT são muitos coeficientes C da ondeleta, que são função da escala e posicão.
Multiplicando-se cada coeficiente pela apropriadamente escalonada e transladada ondeleta obtém-se as
onedeletas constituentes do sinal original:
Função Morlet