EBI / JI de Santa Catarina
Ano lectivo 2010/2011
7º ano
Semelhanças
Noção de semelhança
Diz-se que duas figuras F1 e F2 têm a mesma forma, ou que são
semelhantes, se são geometricamente iguais (congruentes) ou se uma
delas é uma ampliação da outra.
redução
original
Ampliação
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 95 – ex. 2
Ampliação e redução
de um polígono
Numa ampliação ou numa redução há
uma razão entre os comprimentos dos
lados correspondentes.
Por exemplo de I para VII existe uma
redução e a razão é 0,5 pois:
I e VII
2
razão entre as bases 
4
IV e V
VIII e XI
VIII e X e X e XI
7º ano
razão entre as altura 
2
2
1

1
 0, 5
2
 0, 5
2
Unidade 7 - Semelhanças
Página 95 – Tarefa 1
1.
c  1, 5 h
2.
A, B e E
3.
50 x 1,5 = 75cm
4.1.
5
 1, ( 6 )
3
3
 1, 5
4.2. 2
4.3.
5.
Não, porque de A para C a altura não aumenta à mesma proporção que o
comprimento.
razão entre com prim entos 
2
7º ano
 3, 5
razão entre alturas 
4
4
1
Não, porque a razão entre comprimentos é diferente da razão entre alturas.
razão 
6.
7
9
 1, 5
6
Unidade 7 - Semelhanças
Síntese:
Numa ampliação ou numa redução há proporcionalidade directa entre os
comprimentos dos lados correspondentes.
À constante de proporcionalidade dá-se o nome de razão de semelhança.
Esta obtém-se tomando a razão entre um comprimento da nova figura e o
comprimento respectivo da figura original.
• Numa ampliação, a razão de semelhança é maior que 1.
r>
1
• Numa redução, a razão de semelhança é menor que 1.
r<1
• Se os polígonos são geometricamente iguais, a razão de
r=1
semelhança é igual a 1.
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Construção de uma ampliação a partir
de grelhas quadriculadas
2
Como desenhar uma figura semelhante
1
3
1
6
2
2
4
a A, de razão de semelhança 2?
1 2  2
3 2  6
22  4
2
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 99 – Tarefa 2
Exercício 1
1.2.
1.1.
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 99 – Tarefa 2
Exercício 2
2.1.
2
4

1
r  0, 5
2
2  0, 5  1
4  0, 5  2
2.2. 3  1, 5
r  1, 5
2
4  1, 5  6
2  1, 5  3
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Construção de ampliações e reduções a partir
de um ponto
Para construir uma ampliação de razão 2, da figura apresentada,
a partir de um ponto, são necessários os seguintes procedimentos:
1
2
3
4
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 99 – ex. 7
7.1.
6
 3
ou
2
7.2.
2
7.3.
6

4
2
6
7º ano
 3
r  3
1
1
ou
2

4
7.4.
3
3
1
3
r 
2
ou
2

1
3
2
r 
2
ou
1
3
1
3
2
r 
1
3
Unidade 7 - Semelhanças
Página 100 – Tarefa 3 – ex.1
1.1. r 
dim ensão planta
r 
dim ensão real
1.2. r 
d im en sã o rea l
150
r 
d im en sã o p la n ta
1.3.
1
150
 150
1
2, 4 m  2 4 0 cm
1
240
2 4 0  r  240 

 1, 6 cm
150
150
l arg u ra
3 m  3 0 0 cm
300
1
300  r  300 
 2 cm

150
150
co m p rim en to
1.4. l arg ura
R: As dimensões da cozinha são: 1,6cm de
largura e 2cm de comprimento.
2, 5 cm
2, 5  r  2, 5  150  375 cm  3, 75 m
Área da suite  3, 75 m  4, 95 m
7º ano
co m p rim en to
3, 3 cm
3, 3  r  3, 3  150  495 cm  4, 95 m
18, 6 m
2
Unidade 7 - Semelhanças
Página 100 – Tarefa 3 – ex.2
2.1. 200
2.2.
 200
x  0, 03  200  6 m m  0, 6 cm
 200
y  1, 2  200  0, 006 cm  0, 06 m m
z  2  200  0, 01cm  0,1m m
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Polígonos semelhantes
Dois polígonos P1 e P2 são semelhantes se e só se:
- os comprimentos dos lados são, dois a dois, directamente proporcionais;
- os ângulos correspondentes são iguais.
Os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes?
Sim, os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes
porque têm:
- comprimentos dos lados correspondentes
directamente proporcionais
- ângulos correspondentes iguais
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 101 – exercício 10
10.1
7, 5
 1, 5
5
Resposta – A constante de proporcionalidade
é 1,5.
10.2 H G  3  1, 5  4, 5 cm
H E  3  1, 5  4, 5 cm
E F  7  1, 5  10, 5 cm
P  4, 5  4, 5  10, 5  7, 5  27 cm
Resposta – O perímetro do polígono EFGH é 27 cm.
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 102– tarefa 4
2.1
A (1,1)
B (7,1)
C (7, 3)
D (3, 7 )
E (1, 5)
2.2
 A   B   D  90º
 E   C  135º
3.1 A´ (9, 2)
3.2
3.3
 A´   B ´   D ´  9 0 º
3
6
7º ano
B ´ (12, 2)
 0, 5
C ´ (12, 3)
D ´ (10, 5)
E ´ (9, 4)
 E   C  135º
3.4
6
2
3
Unidade 7 - Semelhanças
Observa os seguintes rectângulos semelhantes:
A razão de semelhança do 1º para o 2º
rectângulo é 2 ( 4  2 = 2 ).
O perímetro do 1º rectângulo é 6 cm ( 2 + 1 + 2 + 1 = 6 cm ).
O perímetro do 2º rectângulo é 12 cm ( 4 + 2 + 4 + 2 = 12 cm ).
A razão de perímetros do 1º para o
A razão de perímetros é igual à
2º rectângulo é 2 ( 12  6 = 2 ).
razão de semelhança. ( rp = r )
A área do 1º rectângulo é 2 cm ² ( 2  1 = 2 cm ²).
A área do 2º rectângulo é 8 cm ² ( 4  2 = 8 cm ²).
A razão de áreas do 1º para o 2º
A razão de áreas é igual à razão de
rectângulo é 4 ( 8  2 = 4 ).
semelhança ao quadrado. ( ra = r²)
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
No caso geral:
Dados dois polígonos semelhantes P1 e P2 , em que P2 é uma ampliação de P1
de razão r, em relação aos perímetros e às áreas destes dois polígonos tem-se:
- O perímetro de P2 é r vezes o perímetro de P1;
- A área de P2 é r² vezes a área de P1.
Página 103 – exercício 15
15.1 r p  r
ra  r
log o PR1  PR  2  8  2  16 cm
2
15.2 r p  r
ra  r
7º ano
2
2
2
log o PR1  PR  3  8  3  24 cm
2
15.3 r p  r
ra  r
lo g o A R1  A R  2  3  2  1 2 cm
lo g o A R1  A R  3  3  3  2 7 cm
2
log o PR1  PR 
2
1
2
2
 8
2
1
2

8
2
 4 cm
2
1
3
1
2
log o A R1  A R     3    0, 75 cm
4 4
2
Unidade 7 - Semelhanças
Semelhança de triângulos
No caso dos triângulos, são apresentadas a seguir critérios mais simples para
que se possa concluir que são semelhantes. Esses critérios são conhecidos por
critérios de semelhança de triângulos.
Critério AA
Dois triângulos são semelhantes se e só se, de
um para o outro, tiverem dois ângulos congruentes.
Critério LAL
Dois triângulos são semelhantes se e só se de um
para o outro, tiverem um ângulo igual e os lados que
o formam directamente proporcionais.
Notação - Se dois triângulos ABC e DEF são semelhantes, escreve-se:
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 106 – exercício 17
17.1 Os triângulos são semelhantes
porque, de um para o outro, têm
dois ângulos iguais:
 B   E e  C   C  90 º
17.2
r 
12

15
4
5
BC  8 
4
5

32
 6, 4 cm
5
Página 106 – exercício 18
18.1 Os triângulos são semelhantes porque, de um
para o outro, têm um ângulo igual e os lados que
o formam proporcionais.
r 
15
9

10
6

5
 D AE   BAC ,
3
18.2
5 40, 5
18.2.1 B C  8,1  
 13, 5 cm
3
AD

CA
EA
3
18.2.2 D B  10  6  4 cm
7º ano
BA
8,1 cm
C E  15  9  6 cm
P  4  6  8,1  13, 5  31, 6 cm
Unidade 7 - Semelhanças
Critério LLL
Dois triângulos são semelhantes se e só
se, de um para o outro, tiverem os três
lados directamente proporcionais.
Página 107 – exercício 19
Os triângulos são semelhantes porque, de um
para o outro, têm os três lados directamente
proporcionais.
A E  2, 5  1, 25  3, 75 cm
A D  2  1  3 cm
AE
AC
7º ano

DE
BC

AD
AB

3, 75
2, 5

4, 5
3

3
 1, 5
2
Unidade 7 - Semelhanças
Página 107 – exercício 20
 A B C  180 º  (120 º  35º )  180 º  155º  25º
Logo,
 ABC
 RPQ
Porque de um para o outro têm
dois ângulos congruentes.
A  P e B  Q
2
 0, 5
 MNO
 0, 5
Porque de um para o outro têm
os três lados directamente
proporcionais.
4
3
6
3, 5
 GHI
 0, 5
7
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 109 – exercício 23
Os triângulos são semelhantes porque de
um para o outro têm dois ângulos iguais,
logo:
r 
8
4
2
Altura do poste: 1, 5  4  6 m
Página 110 – exercício 24
Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro
têm dois ângulos iguais, logo:
r 
16
8
2
Altura da torre: 3, 5  8  28m
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças
Página 111 – tarefa 13 – ex.1
Os triângulos são semelhantes porque de
um para o outro têm dois ângulos iguais,
logo: r 
2, 75
 3, 4375
0, 8
Altura da casa:
2  3, 4375  6, 875 m
6, 9 m (1 c .d .)
Página 112 – tarefa 14 – ex.1
Os triângulos são semelhantes porque
de um para o outro têm dois ângulos
iguais, logo:
r 
8
4
2
Altura do prédio: 5  4  20 m
6+2=8m
7º ano
Unidade 7 - Semelhanças