O que você deve saber sobre
TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE
TRIÂNGULOS QUAISQUER
A trigonometria desenvolvida até aqui foi fundamentada em
triângulos retângulos, mas será que não há relações trigonométricas
para os demais triângulos? Com base nos conhecimentos que
possuímos sobre trigonometria, vamos expandir esse conceito para
quaisquer triângulos, bem como utilizá-lo na resolução de equações
e inequações trigonométricas.
I. Outras razões trigonométricas
Secante:
(cos x  0)
Cossecante:
Cotangente:
(sen x  0)
(sen x  0)
Na circunferência
trigonométrica
de raio unitário
ao lado, observa-se
a localização
de cada razão
trigonométrica citada:
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II. Relações trigonométricas fundamentais
(cos x  0);
(cos x  0);
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;
(sen x  0)
III. Equações e inequações trigonométricas em
Nesta seção os valores de x podem assumir qualquer valor real.
Desse modo, é possível chegar a conjuntos de infinitas soluções
múltiplas da solução de 1a volta.
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Equações
Determine os valores de x para os quais cos
No intervalo [0, 2], os ângulos cujo cosseno vale

2
3
5
são
rad e
rad
2
4
4
Assim:
x
 3

2 4

ou
 5
x 

2 4
As soluções para U =
5
 2k
4
são:
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7
 2k
4
Equações
Determine os valores de x para os quais tg 2x = 0.
Na 1a volta da circunferência trigonométrica, os ângulos cuja
tangente é nula são 0 rad,  rad e 2 rad. Esses valores
correspondem a 2x; sendo assim:



Desse modo, a solução em
é:
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Inequações
Determine os valores de x tal que tg x > 3.
Sabemos que a tangente pode assumir qualquer valor real. Além
disso, sabemos que ela não é definida para os ângulos do tipo
 + k (k  ).
2
Desse modo, tg x =
3 para x =

+ 2k e para x = 4 + 2k.
2
2
Assim, os valores de x que atendem à
inequação são:
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Inequações
Resolva a inequação –
3
< cos x  1 .
2
2
Vamos desenvolver separadamente cada lado da inequação:
O conjunto solução é:
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IV. Adição e subtração de ângulos
• Seno da soma e da diferença:
• Cosseno da soma e da diferença:
• Tangente da soma e da diferença:
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V. Relações em um triângulo qualquer
O triângulo ABC da figura é escaleno.
O teorema de Pitágoras não pode ser utilizado, já que não temos
hipotenusa nem catetos. Entretanto, traçando as alturas desse
triângulo, obtêm-se diversos triângulos retângulos e, com base
neles, torna-se possível deduzir outras relações, úteis na aplicação em
quaisquer triângulos.
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V. Relações em um triângulo qualquer
a) Lei dos senos:
b) Lei dos cossenos:
c) Área da superfície triangular:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
2
(UFBA)
As medidas dos lados de um
ABC formam uma progressão aritmética de razão igual a 1.
Determine a altura do ABC, relativa ao lado AB, sabendo que
^
AC < AB < BC e cos (ABC)
= 3
5
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(Unesp)
Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O.
Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida,
Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme a figura.
Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é
PO = 10 cm, que a distância de P a M é PM = 14 cm e que o ângulo
^
POM
mede 120º, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é:
a) 12.
b) 9.
c) 8.
RESPOSTA: D
d) 6.
e) 5.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
4
(UFPE)
Quantas soluções a equação
sen2x
sen6x
sen4x
+
+
+ ... = 2,
4
2
cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de
uma progressão geométrica, de primeiro termo sen2x e razão
sen2x, admite, no intervalo [0, 20]?
2
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
11
(Unicamp-SP)
De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi
colocada, na vertical, uma régua de 2 m de comprimento. Usando seu
teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical
que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo
da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical
e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º.
RESPOSTA:
Sabendo que o teodolito está a uma
altura de 1,6 m do nível da base da
escarpa, responda às questões a seguir.
a) Qual a distância horizontal entre a reta
vertical que passa pelo teodolito e a
régua sobre a escarpa?
b) Qual a altura da escarpa?
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
12
(UFPE)
Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo.
Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma
^
^
margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57º e ACB = 59º.
Sabendo que BC mede 30 m, indique, em metros, a distância AB.
(Dado: use as aproximações sen 59º
0,87 e sen 64º
0,90.)
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
15
(Ufes)
Uma pessoa, quando situada a 300 metros de uma torre, avista o topo da torre sob um ângulo  em relação à horizontal.
Quando está a 100 metros da torre, ela avista o topo da torre sob um ângulo 2  (veja a figura).
O nível dos olhos dessa pessoa está a 1,6 m da horizontal em que está
situada a base da torre.
a) Determine o valor de .
b) Determine a altura
dessa torre.
RESPOSTA:
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