Razões e Proporções
Amintas Paiva Afonso
1- Razão
Em nossa vida diária, estamos sempre fazendo comparações, e quando
fazemos comparações, estamos relacionando dois números.
Na linguagem matemática, todas essas comparações são expressas por
um quociente chamado razão. A palavra razão vem do latim “ratio”, e
significa divisão. Temos, então:
Uma razão é uma divisão entre dois números.
São exemplos de razões:
3
ou 3:5
5
4,5
ou 4,5:2
2
Comparação
Razão
De cada 20 habitantes, 5 são
analfabetos
Um dia de sol, para cada dois de
chuva
5 1

20 4
1
2
De cada 10 alunos, 2 gostam de
Matemática
2 1

10 5
1- Razão
 Usa-se uma razão quando queremos comparar
unidades, entre si.
Por exemplo:
Para fazer uma bebida usaram-se 3 litros de
sumo de laranja e 2 litros de água.
O sumo de laranja está para a água na razão de
3:2 ou na razão 3/2.
1- Razão
 A Maria e o João dividiram uma pizza entre
si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o
João ficou com 5 fatias.
Qual é a razão entre o número fatias da
Maria e o número de fatias do João?
Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).
1- Razão
 Numa razão, os termos (números) têm um nome
próprio, tendo em conta o sítio onde se escrevem.
Por exemplo:
Na razão 3/5 ou 3:5 o número 3 chama-se
antecedente e o número 5 chama-se consequente.
1- Razão
 Num mapa, a escala é a razão
entre a distância no mapa e a
distância real correspondente.
 No mapa da figura, a distância entre Cascais e
Estoril é de 1,6 cm. A distância real entre as duas
localidades é de 3,2 km.
Qual é a escala do mapa?
1- Razão
 Na escala de um mapa o antecedente da razão costuma
ser 1 e as unidades utilizadas são as mesmas, nos dois
termos da razão.
1,6 cm (distância no mapa entre Cascais e Estoril)
3,2 km = 320000 cm (distância real entre Cascais e Estoril)
A razão é 1,6:320000. Mas como o antecedente deve ser 1,
temos de dividir os termos da razão por 1,6.
(1,6 : 1,6 = 1 e 320000 : 1,6 = 200000)
A escala do mapa é 1:200000.
1- Razão
Se as grandezas são da mesma espécie (comprimento e
largura, ou área e área), suas medidas devem ser
expressas na mesma unidade e nesse caso, a razão é
um número puro.
Ex: Se temos que determinar a razão entre as áreas das
superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo
que a quadra de vôlei possui uma área de 180 m2 e a de
basquete possui uma área de 240 m2, vamos escrever:
Razão entre as áreas da quadra de vôlei e de basquete:
180m2 3

2
240m
4
1- Razão
Se as grandezas não são da mesma espécie (quilômetros
percorridos e o tempo transcorrido), a razão é um número
cuja unidade depende das unidades das grandezas a
partir das quais se determina a razão. Para irmos de uma
cidade A para uma cidade B, percorremos 240 km. Se
fazemos este percurso em 3 horas, a razão entre a
distância percorrida e o tempo gasto em percorrê-la é
igual à divisão entre as medidas das duas grandezas.
Não podemos esquecer a unidade resultante desta
divisão:
240km
 80km / h
3h
Exercícios
1) A largura e o comprimento de um terreno retangular estão na razão de 4
para 7. Admitindo-se que o perímetro desse terreno seja 66 m, determine
a largura (em metros).
2) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores de
um dos times era de 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses
jogadores, com 1,77m de altura foi substituído. Em seu lugar, entrou um
outro que media 1,68m de altura. No segundo tempo, outro jogador, com
1,73m de altura foi expulso. Ao terminar a partida qual era a média de
altura dos jogadores desse time?
3) Um grupo de 12 amigos deveria dividir igualmente o valor da conta em
um bar. Na hora de pagar, três pessoas não tinham dinheiro e, por isso,
cada uma das outras teve que pagar R$ 5,00 a mais do que o previsto.
Qual foi o valor da conta?
2- Proporção
Em uma pesquisa curta, foi obtido o seguinte resultado: de 30 alunos
entrevistados na Faculdade Pitágoras, 10 gostam de Matemática, portanto
também poderíamos supor que, se forem entrevistados 120 alunos da
mesma faculdade, 40 deverão gostar de Matemática. Na verdade, ao falar
de 40 alunos dos 120 alunos estamos afirmando que 10 estão
representando em 30 o mesmo que 40 em 120.
Escrevemos:
10 40

30 120
Uma propriedade fundamental das proporções é a seguinte: em toda
proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
2 9

4 18
2 : 4 : : 9 : 18
2. 18 = 4. 9
36 = 36
2- Proporção
Considera a razão
2
.
7
Se multiplicares ambos os termos da razão pelo mesmo
número, por exemplo, por 3, obtemos uma nova razão:
23 6

7  3 21
Quando escrevemos a igualdade 2  6 temos uma proporção.
7
21
Uma PROPORÇÃO é uma igualdade entre duas razões.
2- Proporção
A proporção
2
6
deve ler-se:

7 21
“2 está para 7 assim como 6 está para 21”.
Numa proporção, os números (termos) que lá aparecem têm
um determinado nome de acordo com o sítio onde se
encontram escritos.
 Os números 2 e 21 são chamados os extremos.
 Os números 7 e 6 são chamados os meios.
2- Proporção
Multiplica os extremos da proporção

2 6

7 21
Produto dos extremos: 2 x 21 = 42
Multiplica os meios da proporção
2 6

7 21
 Produto dos meios: 7 x 6 = 42
O produto dos extremos é igual ao produto dos
meios.
Chama-se à igualdade anterior a PROPRIEDADE
FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES.
2- Proporção
 Exercício
Numa escola, a razão do número de professores para o
número de auxiliares é de 16:2.
Que conclusão podemos tirar da informação dada?
RESPOSTA
Como a razão entre o número de professores e o número
de auxiliares é de 16:2, podemos concluir que para cada 16
professores existem 2 auxiliares.
2- Proporção
•
Se o número total de professores e auxiliares for igual a
108, quantos professores e quantos auxiliares têm a
escola?
RESPOSTA:
Por cada 18 trabalhadores existem 16 professores. Então,
para 108 trabalhadores haverá x professores.
18 108

16
x

16  108
x
18
A escola tem 96 professores e
108 – 96 = 12 auxiliares.

1728
x
18

x  96
2- Proporção
Uma propriedade fundamental para série de razões iguais (ou
proporção múltipla) é a seguinte: em uma série de razões iguais, a
soma dos numeradores está para a soma dos denominadores assim
como qualquer numerador está para o seu respectivo denominador.
6 10 12 8
  
3 5
6 4
6  10  12  8 6 10 12 8
   
356 4
3 5
6 4
Divisão Proporcional
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros
números dados significa encontrar parcelas desse número que são
diretamente proporcionais aos números dados e que, somadas,
reproduzam esse número.
Divisão Proporcional
Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números
dados significa encontrar parcelas desse número que são diretamente
proporcionais aos números dados e que, somadas, reproduzam esse
número.
1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem um problema
hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João
trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir
com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa?
2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30
mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de
funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for
distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente
proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.
Divisão Proporcional
Divisão em partes inversamente proporcionais
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a
outros números dados é encontrar parcelas desse número
que sejam diretamente proporcionais aos inversos desses
números dados.
Exercício:
João e Pedro vão trabalhar por um mesmo período de tempo
para fabricar e vender por R$ 1.600,00 um certo artigo. Se
João chegou atrasado por 3 dias e Pedro 5 dias, como
efetuar essa divisão com justiça?
Grandezas Proporcionais
A proporcionalidade entre grandezas pode ser direta ou
inversa. Esquematicamente, se duas grandezas são
diretamente proporcionais podemos representá-las como:
x y
ou
x y
Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais
quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa
determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa
mesma razão.
Grandezas Diretamente Proporcionais
• Quando vais ao bar comprar um sumo, por exemplo,
verificas o seguinte:
1 embalagem custa 0,5 euros;
2 embalagens custam 1 euro;
3 embalagens custam 1,5 euros;
4 embalagens custam 2 euros;
5 embalagens custam 2,5 euros;
6 embalagens custam 3 euros;
...
Grandezas Diretamente Proporcionais
• As duas grandezas (custo e número de
embalagens) variam sempre na mesma
razão:
Se uma das grandezas duplica a outra também
duplica
Se uma das grandezas triplica a outra também
triplica
...
• Quando isto acontece dizemos que as
Grandezas Diretamente Proporcionais
Podes escrever os dados anteriores numa tabela.
Como o valor das grandezas varia, podes usar uma letra
(variável) para representar cada uma delas.
Número de embalagens (x)
Custo em euros (y)
1
2
3
4
5
6
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Neste caso, a letra x representa o número de embalagens e a
letra y representa o custo.
Divide cada um dos valores de y pelo correspondente valor de x.
O que observas?
Grandezas Diretamente Proporcionais
Dividindo os valores correspondentes de y e x, temos o
0,5
1
1,5
2
2,5
3
 0,5 ;
 0,5 ;
 0,5 ;
 0,5 ;
 0, 5 ;
 0, 5
seguinte:
1
2
3
4
5
6
O número que obténs não varia. É sempre igual e,
por isso, chama-se constante. Neste caso o seu
valor é 0,5.
grandezas são
directamente
proporcionais diz-se que essa constante (neste
Como
as
Grandezas Diretamente Proporcionais
• RESUMO
Dadas duas grandezas X e
diretamente proporcional a X se:
 Para X = 0 também Y = 0;
Y,
Y
é
Y
X
 Para X ≠ 0 e Y ≠ 0, o quociente
entre dois
quaisquer valores correspondentes é um número
constante (k).
O número k é a constante de proporcionalidade
direta.
Grandezas Diretamente Proporcionais
 Num papelaria, um cliente pagou por 7 cadernos iguais a
quantia de 8,75 euros.
Quanto teria pago se tivesse comprado 9 daqueles
cadernos?
RESOLUÇÃO:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 7 cadernos
estão para 8,75 euros, pelo que 9 cadernos estarão para x
euros. Assim:
7
9

8,75 x

x
8,75  9
7

x
78,75
7

x  11,25
Resposta: Por 9 cadernos o cliente teria pago 11,25 euros.
Grandezas Diretamente Proporcionais
 Para fazer um determinado bolo, a razão entre o peso (em
grama) do açucar e o peso da farinha é de 5:2.
Se usares 160 g de açucar, quantos gramas de farinha
deves usar?
RESOLUÇÃO:
Podemos usar uma proporção. Sabemos que 5 g de açucar
estão para 2 g de farinha, pelo que 160 g de açucar estarão
para x g de farinha. Assim:
5 160

2
x

x
2  160
5

x
320
5
Resposta: Deveremos usar 64 g de farinha.

x  64
Grandezas Diretamente Proporcionais
 Uma torneira deita uniformemente, para um tanque que de
inicio estava vazio, 4 litros de água por minuto.
Ao fim de meia hora quantos litros de água deitou a
torneira ?
RESOLUÇÃO:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 4
litros de água estão para 1 minuto, pelo que x litros de
água estarão para 30 minutos (meia hora). Assim:
4
x

1 30

4  30
x
1

120
x
1

x  120
Resposta: Ao fim de meia hora a torneira deitou 120 litros de água.
Grandezas Diretamente Proporcionais
 A mãe da Teresa comprou 1232 dólares americanos por
1000 euros.
À mesma taxa de câmbio, quantos dólares americanos
poderia comprar com 50 euros?
RESOLUÇÃO:
Podemos também usar uma proporção. Sabemos que 1232
dólares americanos estão para 1000 euros, pelo que x
dólares americanos estarão para 50 euros. Assim:
1232
x

1000 50

x
1232  50
1000

x
61600
1000
Resposta: Com 50 euros, a mãe da Teresa poderia ter
comprado 61,6 dólares americanos.

x  61,6
Grandezas Diretamente Proporcionais
x2
Nº MAÇÃS (N)
PREÇO
(P)
X3
x4
x6
1
2
3
4
6
500
1 000
1 500
2 000
3 000
X3
x4
x2
x6
Duas grandezas são diretamente proporcionais,
quando ao aumentar uma, a outra também
aumenta na mesma proporção.
Grandezas Diretamente Proporcionais
2
3
4
6
(P)
1
500
1 000
1 500
2 000
3 000
2
3
4
5
6
Nº MAÇÃS (N)
PREÇO
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
500
1
Duas grandezas são diretamente proporcionais, se
ao representa-las graficamente obtemos uma linha
reta que passa pela origem.
Grandezas Diretamente Proporcionais
1
500
Nº MAÇÃS (N)
PREÇO
P
N
500
=
1
(P)
1 000
=
2
2
3
4
6
1 000
1 500
2 000
3 000
1 500
=
3
2 000
=
P
N
= k
4
3 000
=
6
= 500 = k
P= k N
Duas grandezas são diretamente
proporcionais, se estão ligadas por um
quociente constante.
Proporção Inversa ou Grandezas
Inversamente Proporcionais
Se duas grandezas forem inversamente proporcionais
podemos representá-las como:
x y
ou
x y
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada
razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.
3- Regra de Três
Regra de três simples
Exercícios 1
Se para tomar um banho de 12 minutos uma pessoa gasta 0,45 kWh,
quanto consumirá se aumentar o tempo de seu banho para 20 minutos?
W = P.T, onde:
W - energia consumida;
P - potência do eletrodoméstico considerado;
T - tempo de utilização do eletrodoméstico.
Exercícios 2
Dois ciclistas se deslocam com velocidades constantes de 30km/h e
27km/h, respectivamente, percorrendo uma mesma distância. Se um
gasta 18 minutos a mais que o outro, determine o tempo gasto pelo
ciclista mais lento.
V = E/T, onde:
V - velocidade;
E - espaço;
T - tempo.
3- Regra de Três
Regra de três composta
Exercícios 1
Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400
peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão 7
operários, trabalhando 9 dias?
Exercícios 2
Se 45 máquinas realizam uma obra em 16 dias, funcionando 7
horas por dia, quantas máquinas seriam necessárias para
realizar esta obra em 12 dias, funcionando 10 horas por dia?
Grandezas Inversamente Proporcionais
X = 120 km
÷2
VELOCIDADE (V)
TEMPO (t)
120
1
÷3
÷4
÷6
60
2
40
3
30
4
X3
x4
20
6
x2
x6
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
quando ao aumentar uma, a outra diminui na
mesma proporção, e vice-versa.
Grandezas Inversamente Proporcionais
120
1
VELOCIDADE (V)
TEMPO (t)
60
2
40
3
30
4
20
6
120
100
80
60
40
20
1
2
3
4
5
6
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
se ao representar-as graficamente obtemos uma
curva chamada hipérbola.
Grandezas Inversamente Proporcionais
VELOCIDADE (V)
TEMPO (t)
120
1
60
2
40
3
30
4
20
6
V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4) = (20)(6) = 120 = k
V·t= k
V
k
=
t
Duas grandezas são inversamente proporcionais,
se estiverem ligadas por um produto constante.