SEMELHANÇA DE FIGURAS
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Semelhanças de figuras - conceitos
Figuras semelhantes, têm ângulos iguais
e lados proporcionais.
Semelhanças de figuras - conceitos
Figuras semelhantes, têm ângulos iguais
e lados proporcionais.
Semelhanças de figuras - conceitos
Figuras semelhantes,
têm a mesma forma .
Semelhanças de figuras - conceitos
A semelhança de triângulos já era conhecida
no tempo do grande matemático Tales
de Mileto ( 600 a.C.), ao qual foi pedido que
calculasse a altura da pirâmide de Quéope.
Semelhanças de figuras - conceitos
EM POLÍGONOS SEMELHANTES :
Os segmentos de recta são transformados em
segmentos de recta de comprimentos proporcionais.
Os ângulos são transformados em ângulos iguais.
Semelhanças de figuras - conceitos
CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
1 – Dois triângulos são semelhantes se de um
para o outro, tiverem 2 ângulos iguais. (7ºano)
2 – Dois triângulos são semelhantes se de um para
o outro tiverem, 1 ângulo igual e os lados que o
formam proporcionais. (8º ano)
3 – Dois triângulos são semelhantes se de um para o
outro tiverem, os três lados proporcionais. (8ºano)
Semelhanças de figuras - conceitos
ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SEMELHANÇAS DE TRIÂNGULOS
1) Descobrir os ângulos iguais entre triângulos, justificando.
2) Aplicando os critérios estabelecer a semelhança de triângulos.
3) Definir qual dos triângulo é original e qual é transformado.
4) Estabelecer as razões entre os comprimentos dos lados dos
dois triângulos, ficando os lados do original nos consequentes.
5) Substituir na proporção os dados do problema e resolver.
Semelhanças de figuras - CONCEITOS
C
Considere os triângulos [ABC] e [EBD]
 AC || DE
 [ABC] é semelhante a [EBD], visto :
E
ABC ser comum aos dois triângulos, logo
igual;
B
D
A
DEB =
ACB, ângulos de lados paralelos e
agudos, logo iguais, dizem-se correspondentes
num sistema de rectas paralelas intersectadas
por uma recta secante.
[ABC] e [EBD] têm de um para o outro dois ângulos iguais,
logo são semelhantes.
Semelhanças de figuras - CONCEITOS
C
Os triângulos [ABC] e [EBD] sendo semelhantes,
verificam as seguintes proporções :
E
ED
BD
EB


 r , razão de
semelhança
AC
AB
BC
B
D
A
Os lados do triângulo [EBD] (transformado), formam os antecedentes.
Os lados do triângulo [ABC] (original), formam os consequentes.
A ângulos iguais opõem-se lados proporcionais.
Ao maior ângulo opõe-se o maior lado e vice-versa.
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
C
Os triângulos [ABC] e [EBD] sendo semelhantes,
verificam as seguintes proporções :
E
ED
BD
EB


 r , razão de
semelhança
AC
AB
BC
B
D
Dados: ED= 5m;
AC=12m;
EB= 4m.
A
a) Calcular BC.
5m
4m
12m
BC.
b) Calcular r .
r =5/12 ( redução )
BC = 9,6m
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
O s ângulos numerados com 1 são verticalmente opostos, logo iguais.
O s ângulos numerados com 2 são ambos rectos.
B
Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes, pois de
um para o outro têm 2 ângulos iguais.
EC
CD
ED


r
BC
AC
AB
C
E
2
2
1
A
1
a) Calcular AC.
D
Dados: BD=28cm;
5cm
3cm
AC = 15cm
BC=25cm;
25cm
CD= 3cm
b) Calcular r .
EC= 5cm.
AC
r =1/5 (redução)
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
ED= 1,5m
C
AB= 7,3m
BAC
BDE = 90º
BD= 2,9m
E
AC= ?m
ABC é comum, logo igual.
Os triângulos [ABC] e [EBD]
A
B
ED BD EB


r
AC AB BC
1,5m 2,9m

AC 7,3m
D
ED
BD
EB


 r
AC
AB
BC
1,5m
2,9m

AC= 3,78m
AC
7,3m
são semelhantes, por terem
2 ângulos iguais.
Semelhanças de figuras - APLICAÇÕES
Tales calculou a altura da
pirâmide de Quéope,
somando AF com FB,
quando a sombra DC
tinha a altura da vara ED.
C
E
ED= DC
A
F
Metade do lado
ABC =
B
D
Comprimento
da sombra FB
DCE, ângulo de inclinação do sol.
Os triângulos [ABC] e [CDE]
são semelhantes, por terem
2 ângulos iguais.
BAC =
CDE = 90º
C
AB= AC
ED
DC
AC
AB
Semelhanças de figuras - conclusões
1) Todos os polígonos regulares da mesma espécie são semelhantes.
2) Todas as circunferências e círculos são semelhantes, na mesma espécie.
3) Todas as esferas e cubos são semelhantes, dentro da mesma espécie.
4) As razões entre volumes de cubos é igual ao cubo da razão de
semelhança.
5) As razões entre áreas de polígonos semelhantes é igual ao
quadrado da razão de semelhança.
6) As razões entre perímetros de polígonos semelhantes é
igual à razão de semelhança.