O Número de Ouro
Escola Secundária Moinho de Maré
Trabalho realizado por:
8º B
- Ana Catarina Morais
- Mafalda Silva
- Rute Guapo
- Sara Pessoa
Introdução
 Neste trabalho vamos falar da Razão de Ouro na
Matemática. Vamos também abordar o seu
significado geométrico, e onde pode ser
encontrada. Vamos também apresentar alguns
aspectos da obra de Fibonacci, uma vez que foi
ele quem introduziu este número à Matemática
moderna. Esperamos que com este trabalho
possam ficar a saber mais sobre este número.
O Que é o Número de Ouro
 Dividindo a medida da diagonal de um pentágono regular pela
medida do seu lado obtemos um número, que até aos nossos dias é
conhecido como Número (ou razão) de Ouro.
 O Número de Ouro pode estar também relacionado com as
dimensões de um rectângulo especial, que por esse facto se
designa por rectângulo de ouro. Esse rectângulo foi estudado pelos
Gregos num contexto geométrico.
 Se quiséssemos dividir um segmento AB em duas partes, teríamos
uma infinidade de maneiras de o fazer. Existe, no entanto, uma
para a qual o matemático alemão Zeizing, formulou, em 1855, o
seguinte principio, relativamente a esta divisão:
"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do
ponto de vista da forma, deve apresentar entre a parte menor e a
maior a mesma relação que entre esta e o todo."
O Que é o Número de Ouro
 Ou seja, dado um segmento de recta AB, para um
ponto C que divide este segmento pode existir a
proporção de ouro se AB/AC = AC/CB (sendo AB o
segmento maior). O Número de Ouro é
exactamente o valor da razão AB/AC, a chamada
Razão de Ouro.
A
AB AC

AC CB
C
B
O que é o Número de Ouro
 Vamos resolver esta equação em ordem a
AC
:
AB
AC

 AB  CB  AC2
AC
CB
 Tendo agora em conta que AB  AC  CB , vamos
introduzir esta substituição:
2


2
2
AB  CB  AC  AC  CB  CB  AC  AC  CB  CB  AC
2
 Se queremos resolver a equação em ordem a AC,
vamos escrevê-la na forma canónica:
AC  CB  CB
2
 AC
2
2
2
 AC  AC  CB  CB  0
O que é o Número de Ouro
Aplicando-se a fórmula resolvente, obtemos:
 
2
2
CB  CB  4  1   CB
AC  AC  CB  CB  0  AC 

2 1
2
2
2
2
CB  CB  4  CB
CB  5  CB
 AC 
 AC 
2
2
2
Extraindo CB para fora da raiz, obtém-se:
AC 
CB  5  CB
2
2
 AC 
CB  CB  5
2
2
O que é o Número de Ouro
 E assim atingimos dois resultados: um quando
procedemos à soma, outro para a subtracção:
AC 
CB  CB  5
CB  CB  5
 AC 
2
 AC 
CB  CB  5
2
2
Em cada uma das fracções obtidas podemos pôr
CB em evidência:
AC 
CB  CB 
5
2
 AC 
 AC 
CB  CB 
2

CB 1 
2
5
  AC  CB1  5 
2
5

O que é o Número de Ouro
 No entanto, como 1 5  é um número negativo, a
solução não é admissível, pois AC é uma medida.
Assim, restará a primeira solução:

CB  1  5
AC 
2

 Trazendo CB para o 1º membro (com a operação
inversa), obtém-se finalmente:
AC 1  5

CB
2
O que é o Número de Ouro
1 5
 Concluindo-se, então, ser
o valor exacto da razão
2
AB e, por consequência, também de AC .
CB
AC
 A divisão do segmento feita segundo essa proporção
denomina-se divisão áurea, a que Euclides chamou divisão
em média e extrema razão, também conhecida por secção
divina pelo matemático Fra Luca Pacioli ou secção áurea
segundo Leonardo da Vinci.
 O Número de Ouro é representado pela letra grega Φ, (Fi
maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias, que foi um famoso
escultor e arquitecto grego, encarregado pela construção
do Pártenon, em Atenas e por ter usado a proporção de
ouro em muitos dos seus trabalhos.
O que é o Número de Ouro
 O Número Fi aparece em muitas construções
geométricas. Por exemplo, num triângulo isósceles
(dois ângulos iguais) em que o ângulo menor seja
metade de cada um dos ângulos maiores (iguais),
ou seja, um ângulo tenha 36 graus e os outros dois
tenham 72 graus cada: o Número de Ouro aparece
como uma razão entre um dos lados maiores e o
lado menor. Além disso, se dividirmos ao meio um
dos ângulos maiores, obtemos dois triângulos em
que o menor é semelhante ao triângulo que se
dividiu – os lados são proporcionais aos do
triângulo e os ângulos são os mesmos.
O que é o Número de Ouro
 Outro exemplo do Número
de Ouro poderá ser também
obtido desenhando-se um
rectângulo de ouro cujos
lados tenham uma razão
entre si igual ao Número de
Ouro. Este pode ser dividido
num quadrado e noutro
rectângulo em que este é,
também ele, um rectângulo
de ouro. Este processo pode
ser repetido infinitamente
mantendo-se
a
razão
constante.
A História do Número de Ouro
• A história deste enigmático número perdese na Antiguidade. No Egipto, as pirâmides
de Gizé foram construídas tendo em conta a
Razão de Ouro : A razão entre a altura de
um face e metade do lado da base da grande
pirâmide é igual ao Número de Ouro. O
Papiro de Rhind refere-se a uma «razão
sagrada», que se crê ser o Número de Ouro.
Esta razão ou secção áurea surge em muitas
estátuas da Antiguidade .
A História do Número de Ouro
 Construído muitas centenas
de anos depois (entre 447 e
433 a. C.), o Partenon,
templo representativo do
século de Péricles, exibe a
Razão de Ouro no rectângulo
que
contêm
a
fachada
(Largura / Altura), o que
revela a preocupação de
realizar uma obra bela e
harmoniosa. O escultor e
arquitecto encarregado da
construção deste templo foi
Fídias.
A
designação
adoptada para o Número de
Ouro é a inicial do nome
deste arquitecto - a letra
grega F (Fi maiúsculo).
A História do Número de Ouro
 Os
pitagóricos
constataram
também a razão de ouro na
construção
da
estrela
pentagonal.
 Não conseguiram exprimir como
quociente de dois números
inteiros, a razão existente
entre o lado do pentágono
regular estrelado (pentáculo) e
o lado do pentágono regular
inscritos numa circunferência.
Quando
chegaram
a
esta
conclusão
ficaram
muito
espantados, pois, tudo isto era
contrário a toda a lógica que
conheciam
e
defendiam,
chamando irracional a esse
número.
A História do Número de Ouro
 Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência
que o era. Este número era o número de ouro, apesar de
este nome só lhe ser atribuído uns dois mil anos depois.
 Posteriormente, os gregos consideraram ainda que o
rectângulo cujos lados apresentavam esta relação
apresentava uma especial harmonia estética tal que lhe
chamaram rectângulo áureo ou rectângulo de ouro,
considerando esta harmonia como uma virtude excepcional.
 Endoxus, um matemático grego que se tornou conhecido
devido à sua teoria das proporções e ao método da
exaustão, criou uma série de teoremas gerais de Geometria
e aplicou o método de análise para estudar a secção que se
acredita ser a secção de ouro.
Rectângulo Áureo e Nautilus
 Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um
rectângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma
dos lados dos quadrados anteriores. De novo anexamos
outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do rectângulo
anterior) e teremos um rectângulo 3x2. Continuamos a
anexar quadrados com lados iguais ao maior dos
comprimentos dos rectângulos obtidos antes. A sequência
dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a
sequência de Fibonacci.
Rectângulo Áureo e Nautilus
 Com um compasso, trace um quarto de circunferência no
quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao
lado.tendo em atenção o desenho, trace quartos de
circunferências nos quadrados de lados L=8, L=5, L=3, L=2,
L=1 e L=1
Rectângulo Áureo e Nautilus
A espiral assim obtida é chamada uma
espiral de ouro.
Esta espiral pode ser observada na secção
da casca do Nautilus (um molusco).
A referida sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) é
conhecida como a sequência de Fibonacci.
Fibonacci
No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a
escola da Igreja e Universidade, voltada para um âmbito mais
teórico e exaustivo; outra com uma finalidade mais prática e
objectiva, a escola do comércio e dos mercadores, à qual pertencia
Fibonacci.
A contribuição de Fibonacci para o Número de Ouro está
relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no
seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci.
É que as sucessivas razões entre um número e o que o antecede
vão-se aproximando do Número de Ouro. Outro matemático que
contribuiu para o estudo e divulgação do Número de Ouro foi
Pacioli. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro a
ter um retracto autêntico.
Publicou em 1509 uma edição que teve pouco sucesso de Euclides
e um trabalho com o título De Divina Proportione. Este trabalho
dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a Razão de Ouro.
O Problema de Fibonacci
 No século XIII os povos europeus ainda
usavam a numeração romana nos seus cálculos e
contagens.
 Fibonacci foi quem mais contribuiu para a
transição para o sistema numérico indo-árabe,
que ainda hoje utilizamos.
 Na obra "Liber Abaci" Fibonacci explica como
usar a numeração árabe e como efectuar
cálculos com ela, surgem alguns problemas, um
dos quais é o célebre “Problema dos coelhos".
O Problema de Fibonacci
 Quantos pares de coelhos
podem ser gerados por um par
de coelhos num ano, supondo
que se começa com um par de
coelhos num ambiente fechado.
Desejamos saber quantos pares
de coelhos podem ser gerados
por este par num ano, se de um
modo natural a cada mês ocorre
a produção de um par e esse par
começa a produzir coelhos
quando completa dois meses de
vida.
O Problema de Fibonacci
 Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no
início do segundo mês, existirão dois pares de coelhos,
sendo um par de adultos + um par de recém-nascidos.
 No início do terceiro mês, o par adulto terá
produzido novamente mais um par, enquanto que o par
recém nascido terá completado um mês de vida e ainda não
estará apto a reproduzir-se. Assim, no início do terceiro
mês, existirão três pares de coelhos, sendo: um par adulto +
um par com um mês de idade + um par recém nascido.
 No início do quarto mês existirão dois pares adultos, sendo
que cada um já produziu um novo par e um par novo que
completou um mês, logo teremos cinco pares: dois pares
adultos + um par com um mês + dois pares recém nascidos.
O Problema de Fibonacci
 Tal processo continua através dos diversos meses até
completar um ano. Obtém-se a seguinte sequência de
números, a qual conta o número de pares de coelhos
existentes ao longo de cada um dos meses desse ano:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
 Esta sequência, também chamada de sequência de Fibonacci,
constrói-se de uma forma extremamente simples: cada
número, exceptuando evidentemente os dois primeiros, é
composto pela adição dos dois números precedentes.
Leonardo Da Vinci
 Uma contribuição que não
pode ser deixada de referir
foi a de Leonardo Da Vinci
(1452-1519). A excelência dos
seus desenhos revela os seus
conhecimentos matemáticos,
bem como a utilização da
razão áurea como garante de
uma perfeição, beleza e
harmonia únicas. Lembrado
como matemático apesar da
sua mente irrequieta não se
concentrar na Aritmética,
Álgebra ou Geometria o
tempo suficiente para fazer
uma contribuição significativa.
Leonardo Da Vinci
 Leonardo representa bem o
Homem da Renascença, que
fazia de tudo um pouco sem se
fixar em nada. Era um génio de
pensamento original que usou
exaustivamente os seus
conhecimentos de Matemática,
nomeadamente o Número de
Ouro, nas suas obras de arte.
Um exemplo é a tradicional
representação do homem em
forma de estrela de cinco
pontas de Leonardo, que foi
baseada nos pentágonos,
estrelado e regular, inscritos na
circunferência.
Conclusão
 Com o nosso trabalho, pretendemos uma
abordagem matemática do Número de Ouro.
Tentámos mostrar algumas ocorrências do
Número de Ouro em campos da actividade humana
ao longo da História.
 Apresentámos uma breve perspectiva da
influência de Fibonacci e Leonardo Da Vinci, nesta
área e o celébre problemas dos coelhos.
 Apresentámos também uma demonstração do
valor de F (Fi maiúsculo).