Vetores II
Combinação Linear

Dados n vetores v1, v2,..., vn e n escalares
a1, a2,..., an

o vetor v = a1v1 + a2v2+ ... + anvn, é a
combinação linear dos vetores v1, v2,...,
vn com coeficientes a1, a2,...,an
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 2

Como w=0=0u + 0v, dizemos que 0 é
combinação linear de u e v, com
coeficientes zeros
Exemplo 3
Exemplo 3

Observando a figura, podemos escrever:
w = -2/3v + 0u
Exemplo 4
Observe que o vetor AC = AB + AD possui
a mesma direção que a diagonal AC
 Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será
um losango

Exemplo 4

Sabe-se que em um losango ABCD, a
bissetriz do ângulo BÂD contém a
diagonal AC. Assim, o vetor AC = AB+ AD
também possui a mesma direção da
bissetriz do ângulo BÂD
Exemplo 4

Se | AB| ≠ | AD|, o vetor AC não possui a
mesma direção da bissetriz de BÂD. Para
obter um vetor que possua a mesma
direção da bissetriz de BÂD basta usar o
vetor v = tAB°+ tAD° , t є R*
Exemplo 4
Exemplo 5

Observe o paralelepípedo
Exemplo 5
AG = AB + BC + CG Dizemos então que
AG é combinação linear dos vetores AB,
BC e CG
 Como BC = AD e CG = AE, então:
AG = AB+ AD+ AE. Assim, podemos
também dizer que AG é combinação linear
dos vetores AB, AD e AE

Paralelismo
Definição: Os vetores v1, v2, ..., vn são
colineares (paralelos), se possuem
representantes em uma mesma reta.
Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn
 No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo
2 temos w // u e w // v, embora u e v não
sejam paralelos

Exemplo 1
Paralelismo
Definição: Os vetores v1, v2, ..., vn são
colineares (paralelos), se possuem
representantes em uma mesma reta.
Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn
 No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo
2 temos w // u e w // v, embora u e v não
sejam paralelos

Exemplo 2
Propriedade 1


Os vetores u e v são paralelos se, e somente
se, podemos escrever um deles como
combinação linear do outro.
Prova: Considere os seguintes casos:
 1)
u = 0 = v; u = tv, tєR
 2) u =0 e v ≠ 0; temos u = 0 v
 3) u ≠ 0 e v ≠ 0. Como u // v, temos uº = ± vº . Daí,
| u | uº = ± | u | (v /| v |) , ou seja, u = ±(| u |/| v |) v.
Assim, se u e v têm mesmo sentido podemos
escrever u = (| u |/| v |) v. E se u e v têm sentidos
contrários temos u = -(| u |/| v |) v

Por outro lado, suponha que podemos
escrever u como combinação linear de v,
ou seja, u = tv.

Pela definição de produto de um número
real por vetor, temos que u e v têm a
mesma direção, logo são paralelos.
Vetores Coplanares
Os vetores v1, v2,..., vn são coplanares,
se possuem representantes em um
mesmo plano
 Observe que a colinearidade de vetores é
um caso particular da coplanaridade de
vetores
 Nos exemplos de 1 a 4, os vetores
envolvidos são coplanares

Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Observe que o vetor AC = AB + AD possui
a mesma direção que a diagonal AC
 Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será
um losango

Exemplo 5

Observe o paralelepípedo
Propriedade 1
Os vetores u, v e w são coplanares se, e
somente se, podemos escrever um deles
como combinação linear dos outros.
 Prova: 3 possíveis casos

Caso 1
Um deles sendo o vetor nulo, digamos
u=0
 Podemos escrever: u= 0v + 0w.

Caso 2

Dois deles são paralelos, digamos u // v e
v≠0

Assim, u = mv = mv + 0w, m  R
Caso 3
Quaisquer dois desses vetores não
paralelos
 Considere a figura, onde α é um plano que
contém representantes dos vetores u, v e w

Tomemos OA= v, OB= u e OC= w.
Tracemos pelo ponto C uma reta paralela
ao vetor OB= u,
 que intercepta a reta OA no ponto P.
Assim, w = OC = OP+ PC

Como OP // OA e PC //OB temos: w = mv
+ nu, m,n  R
 Por outro lado, suponhamos que w = mv +
nu, n,m R. Assim, pela definição de
adição de vetores, temos que u, v e w são
coplanares.

Dependência Linear
Um Vetor: v é linearmente dependente,
se v = 0
 Dois vetores: u e v são linearmente
dependentes se eles são paralelos
 Três vetores: u, v e w são linearmente
dependentes se eles são coplanares

Dependência Linear

Mais de três vetores do espaço (R3 ), são
sempre linearmente dependentes

Quando os vetores do espaço não são
linearmente dependentes (LD), dizemos
que são linearmente independentes (LI)
Exemplo
Exemplo
1)AB é ?
 2)AB+BC+CA é ?
 3)AD e AE são ?
 4) AB e ½ AB são ?

Exemplo
1)AB é LI
 2)AB+BC+CA é LD
 3)AD e AE são LI
 4) AB e ½ AB são LD

Exemplo
5)AB, AD e AE são ?
 6)AE, AB e DC são ?
 7)AB, AD e FF são ?
 8)AB, BF, BC e AG são ?

Exemplo
5)AB, AD e AE são LI
 6)AE, AB e DC são LD
 7)AB, AD e FF são LD
 8)AB, BF, BC e AG são LD

Propriedades - 1
Se um vetor v é LI, então dado u // v,
temos que existe um único escalar m tal
que u=mv
 Como v é LI e u // v pela propriedade 1 de
Paralelismo, temos que u=mv
 Suponha u=m’v => (m-m’)v = 0

Propriedades - 2

Se dois vetores v1 e v2 são LI, então dado
v coplanar com v1 e v2, temos que existe
um único par de escalares (m, n), tal que
v = mv1 + nv2
Propriedade – 2 (prova)
Como v, v1 e v2 são coplanares e, v1 e v2
são LI, temos pela prova da propriedade 1
de vetores coplanares, que v= mv1 + nv2
 Para mostrar que esses escalares são
únicos, suponha que existam m’e n’, tais
que: v= m’v1+ n’v2
 Então (m- m’ )v1 + (n- n’)v2=0

Propriedade – 2 (prova)

Se m – m’≠ 0 , podemos escrever
v1= (n-n’)/(m-m’) v2

Daí, v1 // v2, o que contradiz o fato de v1 e
v2 serem LI. Logo, m – m’ = 0 , m = m’

A prova para n e n’ é análoga
Propriedade - 3

Se três vetores v1, v2 e v3 são LI, então
dado um vetor v qualquer, temos que
existe único trio de escalares (m, n, p), tal
que v = mv1+ nv2+ pv3
Propriedade – 3 (Prova)
Suponha que v1, v2 e v3 são LI, temos
então os seguintes casos:
 1) v=0. Logo, v= 0v1+0v2+0v3


2) v paralelo a um dos vetores, digamos
v//v1. Então v=mv1+0v2+0v3
Propriedade – 3 (Prova)

3) v coplanar com dois dos vetores,
digamos v, v1 e v2 são coplanares. Assim,
v=mv1+nv2 = mv1+ nv2+ 0v3

4) v não é coplanar com quaisquer dois
dos vetores (próximo slide)
Propriedade – 3 (Prova)



α é o plano paralelo
ao plano OA1A2
passando por ponto A
B é o ponto de
interseção da reta
OA3 com o plano α
Temos:v = OA = OB +
BA
Propriedade – 3 (Prova)
Como OB // v3 r e BA é coplanar com v1 e
v2, temos: OB=pv3, BA=mv1+nv2
 Logo v=mv1+nv2+pv3


Para provar que estes escalares são
únicos usamos a mesma metodologia da
prova da propriedade 2
Base – Coordenadas de Vetor
Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é
uma base para o conjunto de vetores
paralelos a v
 Dados dois vetores v1 e v2 LI, dizemos
que { v1, v2 } é uma base para o
conjunto de vetores coplanares com v1
e v2

Base – Coordenadas de Vetor
Dados três vetores v1, v2 e v3 LI, dizemos
que { v1, v2 , v3 } é uma base para o
conjunto de vetores do espaço ( R3)
 Dizemos que uma base é ortogonal,
quando seus vetores são ortogonais
quando comparados dois a dois

Base – Coordenadas de Vetor
Dizemos que uma base é ortonormal, se
ela for ortogonal e seus vetores unitários
 Costumamos representar uma base
ortonormal por { i , j, k}
 Fixada uma base { v1,v2,v3} do espaço,
pela propriedade 3 de Dependência linear,
todo vetor v, temos v = mv1+ nv2+ pv3,
onde m, n e p são únicos

Base – Coordenadas de Vetor



Dizemos que mv1 , nv2 e pv3 são as
componentes de v na direção dos vetores v1,
v2 e v3, respectivamente
Os escalares m, n e p são as coordenadas de
v em relação à base {v1, v2 , v3}
Geralmente, representamos o vetor v através de
suas coordenadas, ou seja, v = (m, n, p)
Exemplo

Considere o cubo e fixemos a base
{AB,AC,AE}
Exemplo
AB =1AB+ 0AC+ 0AE, daí AB = (1,0,0)
 Analogamente, AC = (0,1,0) e AE = (0,0,1)

Exemplo

Podemos concluir então que, dada uma
base qualquer {v1,v2,v3}, as coordenadas
desses vetores em relação a esta base
são: v1= (1,0,0), v2 =(0,1,0) e v3= (0,0,1)
Exemplo
2)AF =1AB+ 0AC+ 1AE, daí AF = (1,0,1).
Observe que se a base considerada for
{AB,AE,AC}, temos AF = (1,1,0)
 3)AG = 0AB+1AC+1AE , daí AG = (0,1,1)

Exemplo 2


Consideremos v = (-1,1,1) em relação base
{AB,AC,AE} do exemplo anterior. Assim,
v = -AB + AC + AE = AH
Analogamente ao que foi feito para o conjunto
dos vetores no espaço, podemos fazer para
conjuntos de vetores coplanares e colineares.
Assim, um vetor num conjunto de vetores
coplanares tem duas coordenadas e um vetor
num conjunto de vetores colineares tem uma
coordenada
Propriedade 1
Seja {v1, v2, v3} uma base do espaço.
Considere os vetores u, v e w, dados por
suas coordenadas em relação a esta base
 1) Se u=(a1, a2 , a3), v=(b1, b2 , b3) e t є R
então:

u = v  a1=b1, a2 =b2 e a3=b3
 b) u + v = ( a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
 c) t u = (t a1, t a2 , t a3 )
 a)
Propriedade 1 (prova)

a) Como u = a1v1+a2v2+a3v3 e v=b1v1+b2v2
+b3v3, temos:
 (a1-b1)v1+
(a2-b2 ) v2+ (a3- b3 ) v3= 0

Daí, 0=(a1-b1, a2- b2 , a3- b3 )

Logo, a1-b1=0 , a2-b2=0 e a3- b3=0
Propriedade 1 (prova)

De maneira análoga podemos mostrar os
itens b) e c)

Observe que os vetores u = (0, 0, 0) e v =
( b1, b2 , b3) são LD, visto que o vetor
nulo é paralelo a todo vetor do espaço
Propriedade 2
Sejam u = ( a1, a2 , a3) e v = (b1, b2, b3)
vetores não nulos, u e v são LD se, e
somente se, existe um t є R tal que :
 a1 = t b1
 a2 = t b2
 a3 = t b3

Propriedade 2 (prova)
Se u e v são LD, então u // v . Como v é
LI, podemos escrever: u = t v , ou seja,
 a1 = t b1
 a2 = t b2
 a3 = t b3

Propriedade 2 (prova)
Por outro lado, se existe t є R , tal que
 a1 = t b1
 a2 = t b2
 a3 = t b3
 então u = t v . Logo u // v e portanto u e v
são LD

Propriedade 3

Três vetores u=(a1, a2, a3), v=(b1, b2, b3) e
w=(c1, c2, c3) são LD se, e somente se
Propriedade 3
Esta propriedades pode ser demonstrada
através de propriedades de determinantes
 Concluímos que se t não existe na
propriedade 2, ou se Delta é diferente de
zero, na propriedade 3, temos que os
vetores considerados são LI

Exercícios
Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e
w =3i +6j
 Verifique se os vetores são LD em cada
um dos itens
u
uev
0

Exercício
ue0
 u e (4,-2,4)
 u, v e w
 u, v, (1,2,3) e (2,1,4)
 u, v, (7,4,0)

Exercícios
Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e
w =3i +6j
 Verifique se os vetores são LD em cada
um dos itens
 u -> LI
 u e v -> LI
 0 -> LD

Exercício
u e 0 -> LD
 u e (4,-2,4) -> LD
 u, v e w -> LI
 u, v, (1,2,3) e (2,1,4) ->LD
 u, v, (7,4,0) -> LD

Exercício

Considere o prisma, no qual a base é um
hexágono regular – Verdadeiro ou Falso

FM pode ser escrito como
combinação linear de FA,FE e GM

GM e 2AH são coplanares

F=E+LM
Sistemas de Coordenadas
Cartesianas

Um sistema de coordenadas cartesianas
no espaço é um conjunto formado por um
ponto O e uma base { v1, v2, v3} e
denotado por {O, v1, v2, v3}
Sistema de coordenadas

O ponto O é chamado origem do sistema
e os eixos que passam por O e tem as
direções de v1, v2 e v3, respectivamente,
são chamados de eixo das abscissas,
ordenadas e cotas.
Sistema de coordenadas





Considere um sistema de coordenadas
cartesianas {O, v1, v2, v3} e
seja P um ponto arbitrário do espaço
Chamamos coordenadas do ponto P em
relação ao sistema {O, v1, v2, v3}, as
coordenadas do vetor OP
Se OP = (a1, a2 , a3), então P=(a1, a2 , a3).
Os números a1, a2 , a3 são denominados
abscissa, ordenada e cota do ponto P,
respectivamente
Exemplo
Exemplo
OP=1/2v1+2v2+v3
 OP=(1/2,2,1) logo P=(1/2,2,1)
 OQ=(1/2,2,0)
 OR= -2/3v3 = (0,0,-2/3)
 OO=(0,0,0)

Propriedade 1


Considere um sistema de coordenadas
{O, v1, v2 , v3}, v = (a, b, c), P(x1, y1, z1) e
Q(x2 , y2 , z2 ):
QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )
Propriedade 1 (prova)
Escrevemos o vetor QP como combinação
linear dos vetores OQ e OP
 QP=-OQ+OP
 QP=-(x2 , y2 , z2 )+ (x1, y1, z1)
 QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )

Propriedade 2

P+v=A=(x1+a, y1+b, z1+c)
Propriedade 2 (Prova)
Utilizando a definição de soma de um
ponto com um vetor, temos que PA=v
 Assim, o vetor
OA=OP+PA=(x1+a,y1+b,z1+c)

Propriedade 3

O ponto médio de PQ é o ponto M dado
por

M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
Propriedade 3 (prova)
Escrevendo OM=OQ+QM
 OM= OQ+1/2QP
 Representando os vetores OQ e QP
através de suas coordenadas, obtemos:


OM=(x2,y2,z2)+ ½(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
Exemplo 2
Considere o paralelogramo ABCD, onde
A=(1,0,2), B=(1,-1,2), C(0,2,-2)
 Devemos determinar as coordenadas dos
vetores AB e BC, do vértice D e do ponto
médio de AB

Exemplo 2
Aplicando as propriedades temos:
 AB = (1 -1, -1 - 0, 2 - 2) = (0,-1,0)
 BC = (-1,3,-4)
 D = A + AD = A + BC = (0,3,-2)
 M=(1, -1/ 2, 2)
