Superfícies
Quádricas
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Superfícies Quádricas
Notamos que uma equação de segundo grau
ax  bxy  cy  dx  ey  f  0
2
2
representa uma seção cônica (possivelmente degenerada).
A análoga desta equação em um sistema de coordenada xyz.
é
ax  by  cz  dxy  exz  fyz  gx  hy  iz  j  0
2
2
2
a qual é chamada de equação de segundo grau em xyz .
Os gráficos de tais equações são chamados de superfícies
quádricas ou, às vezes, quádricas.
Alguns tipos
de
Superfícies Quádricas
Elipsóide
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
1
p ara a  0, b  0, c  0
O traço nos planos coordenados são elipses,
como também são elipses os traços em planos
paralelos aos planos coordenados, que
interceptam a superfície em mais de um
ponto.
Hiperbolóide de uma folha
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
1
p ara a  0, b  0, c  0
O traço no plano xy é uma elipse, como são os traços nos
planos paralelos ao plano xy. Os traços nos planosyz e xz
são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos
a eles que não passam pelos interceptos x e y . Nestes
interceptos, os traços são pares de retas concorrentes.
Hiperbolóide de duas folha
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
1
p ara a  0, b  0, c  0
Não há traço no plano xy . Em planos paralelos ao
plano xy que interceptam a superfície em mais que
um ponto os traços são elipses. Nos planos yz , xz e
nos planos paralelos a eles que interceptam a superfície
em mais de um ponto, os traços são hipérboles.
Cone Elíptico
z 
2
x
2
a
2

y
2
b
2
p ara a  0, b  0
O traço no plano xy é um ponto (a origem) e os
traços em planos paralelos ao plano xy são elipses. Os
traços nos planos yz e xy são pares de retas que se
interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a
estes são hipérboles.
Parabolóide elíptico
z 
x
2
a
2

y
2
b
2
p ara a  0, b  0
O traço no plano xy é um ponto (a origem) e os
traços em planos paralelos e acima dele são
elipses. Os traços nos planos yz e xy , bem
como em planos paralelos a eles são
parábolas.
Parabolóide Hiperbólico
z 
y
2
b
2

x
2
a
2
p ara a  0, b  0
O traço no plano xy é um par de retas que se
cruzam na origem. Os traços em planos paralelos
ao plano xy são hipérboles. As hipérboles acima
do plano xy abrem se na direção de y e as
abaixo na direção de x .Os traços nos planos yz e xz
são parábolas, assim como os traços nos planos
paralelos a estes.
Exemplo 1: Esboce o elipsóide
x
2
4

y
2
16

z
2
1
z
9
y
x
Exemplo 2: Esboce o gráfico do hiperbolóide de uma folha
x  y 
2
2
z
2
1
4
z
y
x
Exemplo 3: Esboce o gráfico do hiperbolóide de duas folhas
z x 
2
2
y
2
1
z
4
y
x
Exemplo 4: Esboce o gráfico do cone elíptico
z  x 
2
2
y
2
z
4
y
x
Exemplo 5: Esboce o gráfico do parabolóide elíptico
z 
x
2
4

y
2
z
9
y
x
Exemplo 6: Esboce o gráfico do parabolóide hiperbólico
z 
y
2
4

x
2
z
9
y
x
Translação de Superfícies Quádricas
Vimos que uma cônica no sistema de coordenadas xy pode
ser transladada substituindo x  h por x e y  k por y em sua
equação. Para entender como isso funciona, considere os eixos
como fixos e considere o plano como uma folha transparente de
plástico na qual todos os gráficos são desenhados. Quando as
coordenadas dos pontos são modificadas substituindo. ( x  h , y  k )
Por ( x , y ) , o efeito geométrico é transladar a folha de plástico ( em
conseqüência todas as curvas), tal que o ponto sobre o plástico que
estava inicialmente em (0, 0) foi movido para o ponto ( h , k ) .
y
.
(0, 0)
.
(h, k )
x
Para o análogo no espaço tridimensional, considere os
eixos xyz como fixos e considere o espaço 3  D como um bloco
transparente de plástico na qual todas as superfícies estão
embutidas. Quando as coordenadas dos pontos são modificadas
substituindo ( x  h , y  k , z  l ) por ( x , y , z ) , o efeito geométrico
é transladar o bloco da plástico (e, por conseqüência, todas as
superfícies ) tal que o ponto no bloco de plástico que estava
inicialmente em (0, 0, 0) é movido para o ponto ( h , k , l ) .
z
.
x
.
(h, k , l )
y
Exemplo 7: Descreva a superfície z  ( x  1) 2  ( y  2) 2  3
Exemplo 8: Descreva a superfície
4 x  4 y  z  8 y  4 z  4
2
2
2
Técnicas para identificar
Superfícies Quádricas
Equações
x
2
a
2
x
2
a
2
z
2
c
2
b
2
y
2
b
2

x
2
a
2

z 
z
2

2
z
y
x
2
a
2
x
2
a
2

y
2
b
2

z
2
c
2
z
2
c
2
y
2
b
2



y
2
b
2

y
2
b
2
Características
1
0
0
x
2
a
2
Nenhum sinal de menos.
Elipsóide
Um sinal de menos.
Hiperbolóide de uma
folha
Dois sinais de menos.
Hiperbolóide de duas
folha
Nenhum termo linear.
Cone elíptico
Um termo linear; dois termos
quadráticos com o mesmo sinal.
Parabolóide elíptico
Um termo linear; dois termos
quadráticos com sinais opostos.
Parabolóide hiperbólico
1
1
0
Classificação