CÁLCULO III
AULA 3 – Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal
e Curvatura
CÁLCULO III
Conteúdo Programático
1. Vetor tangente
2. Reta tangente
3. Vetor tangente unitário
4. Vetor Normal principal
5. Curvatura
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VETOR TANGENTE

f ` t 
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EXEMPLOS
1. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no
ponto indicado.

f
( t )  ( t , t , t ),
2
3
P (  1, 1,  1)
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t
que satisfaz a curva.
x  t  t  1
y  t  t   1   1,
2
zt  t
3
3
vamos considerar
t0  1
 1  1
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Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = -1.

f
´( t )  (1, 2 t , 3 t ),
t0  1
2

f
´(  1)  (1,  2 , 3 )
2. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no
ponto indicado.

g
( t )  ( t , e ),
t
P (1, e )
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Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que
satisfaz a curva.

g
( t )  ( t , e ),
t
P (1, e )
ye
t
xt
x  t  t 1
y  e  e  e  t  1,
t
t
vamos considerar
t0  1
Agora podemos calcular a derivada da g(t) no ponto t0 = 1.

g ´( t )  (1, e ),
t

g ´(1)
t0  1
 (1, e )  1, e 
1
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3. Determinar o vetor tangente da seguinte função, no
ponto indicado.

f
1
1
3
,
( t )   sent , cos t ,
2

2
2


x
1
sent
2
1
x
1
 1
3
P  0, ,
 2 2





cos t
2
sent  0  t  
2
1
2
cos t 
1
2
 cos t  1  t   ,
vamos considerar
t0  
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Agora podemos calcular a derivada da f(t) no ponto t0 = π.

f

f

f
1
1
3
,
( t )   sent , cos t ,
2

2
2


 1
3

P 0, ,
 2 2





1
1

' ( t 0 )   2 cos t ,  2 sent , 0 


1
1
 1

' ( )   2 cos  ,  2 sen  , 0    2 , 0 , 0 

 

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RETA TANGENTE
Seja C uma curva representada por




r ( t )  x t  i  y t  j  z t  k ,
t  a , b 
Vamos considerar P(x,y,z) um ponto de C e to um parâmetro.

Conforme estudamos na aula 1 o vetor  ' t  é tangente à
curva no ponto P.
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O vetor σ’(to ) determina a reta tangente em cada ponto
da curva.

Considerando σ(to ) = P e σ’(to ) =
v o vetor tangente a
curva em P. A reta passa por um ponto P com direção

v
Tem como equação r(t) = σ(to ) + t. σ’(to ) , t é um
parâmetro real.
Podemos escrever: x  x ( t )  t . x ' ( t )
0
0
y  y (t 0 )  t . y ' (t 0 )
z  z ( t 0 )  t .z ' ( t 0 )
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EXEMPLO 1
Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto
indicado.

f
( t )  ( t , t , t ),
3
2
P (1, 1,1)
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t
que satisfaz a curva. Vamos considerar t0 = 1.
Derivamos a função vetorial dada.

f
´( t )  ( 3 t , 2 t ,1),
2
t0  1
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
f

f
´( t )  ( 3 t , 2 t ,1),
2
t0  1
´(1)  ( 3 1  , 2 1 ,1)  3 , 2 ,1 
2
Esta função nos leva ao vetor diretor ou seja, o vetor v
= (3,2,1).
A reta tangente será:
x  1  3t
y  1  2t
z  1 t
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OBSERVAÇÃO
r  t    t 0   t.  ' t 0 

v
P
r  t   1,1,1   t. 3,2,1
  1,1,1   3t,2t, t  
x  1  3t
y  1  2t
z  1 t
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EXEMPLO 2
Determinar a reta tangente da seguinte função, no ponto
indicado.

f


( t )  2 cos t i  2 sent j ,
P(
2,
2)
Para obter o valor de t0, correspondente ao ponto P, usamos
as equações paramétricas da curva.
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x t   2 cos t  2 cos t 
y ( t )  2 sent  2 sent 
2
2  cos t 

 t 
2
2  sent 
2
4
 t 

2
t0 
4

4

2
 
x ' t    2 sent  x ' 
 2.
 
   2 sen
4
2
 4 

2
 
y ' ( t )  2 cos t  y ' 
 2.

  2 cos
4
2
 4 
2
2
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A equação da reta tangente será dada por
r t  

 
2 , 2  t. 
 
2, 2 
 
2, 2  
x 
2 
2t
y 
2 
2t

2t , 2t 
Podemos também escrever
r (t ) 

2 
i  

2t
2 
j

2t
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VETOR TANGENTE UNITÁRIO
Dada a curva C, desejamos encontrar,
em cada ponto dessa curva, um vetor
tangente à curva, que seja unitário.
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C é uma curva representada por
r (t) = (x(t),y(t), z(t)) e vimos que o
vetor r’(t) é tangente à curva C.
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DEFINIÇÃO
O vetor

T (t ) 
 ' t 

 ' t 

 ' t   0
é chamado de vetor tangente unitário à curva C.
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Observação:
Quando uma partícula se move ao longo de uma curva C, o
vetor T(t), sendo de comprimento constante, muda somente
de direção, conforme pode ser visto na figura abaixo.
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EXEMPLO 1
Encontre o vetor T(t) a curva (t) = ( cos t, sen t), t ≥0
 ' ( t )  (  sent , cos t )

T (t ) 
 ' t 

 ' t 


sent , cos t 

1
 ' (t ) 
  sent 

2
sent , cos t 
 cos t   1
2
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EXEMPLO 2
Encontre o vetor T(t) a curva (t) = (et + 1, e-t – 1,t) no
ponto P(2,0,0).
Para obter o valor de t0, correspondente ao ponto P, usamos
as equações paramétricas da curva.
x(t) = et + 1 → et + 1 = 2 → et = 1 → t = 0
y(t) = e-t - 1 → e-t - 1 = 0 → e-t = 1 → t = 0
z(t) = t→ t = 0
Portanto t0 = 0.
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(t) = (et + 1, e-t – 1,t)
’(t) = (et, -e-t,1)
’(0) = (e0, -e0,1) = (1,-1,1)
T0 = 0
 ' (t ) 
e 
 ' (0) 
e
t
  e
2
2 0 
e
t
2 0 

2
 1  
1 
2
e
2t
e
2t
e  e 1 
0
0
1
3
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Portanto,

T (t ) 
 ' t 

 ' t 

T (0) 

 


3
3
 ' 0 

 ' 0 
,

1,  1,1 
3
 1
 
,
3

1 
,
 
3
3 
1
3 

,
3
3 

3
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VETOR NORMAL PRINCIPAL
...quando uma partícula se move ao longo
de uma curva C, o vetor T(t), sendo de
comprimento constante, muda somente de
direção.
A variação desta direção é
medida pela derivada.
Podemos concluir que T(t) é
perpendicular a T’(t).
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DEFINIÇÃO
Considerando T’(t) ≠ 0, o vetor unitário na direção de
T’(t) é chamado normal principal à curva C.
N t  
T ' t 
T ' t 
, onde
T ' t   0
 ' ' t 
 ' ' t 
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Geometricamente o vetor Normal unitário é perpendicular
a ’(t) apontando para parte interna da curva, onde a
curva muda de direção. Veja.
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EXEMPLO 1
Vamos encontrar o vetor N(t) a curva (t) = ( cos t,
sen t), t ≥0
’(t) = (-sent, cos t)
’’(t)= (-cos t, -sent)
N t  

 ' ' t 
 ' ' t 

  cos t ,  sent 
cos t  sen t
2
2
  cos t ,  sent 
2
2
  cos t     sent 
   cos t ,  sent


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EXEMPLO 2
Vamos escrever o vetor normal principal da curva

r t  

2 cos t i 


2 sent j  4 k
no
ponto P 1 , 1, 4 
Calculando as derivadas:
 2 cos t , 2 sent , 4 
r ' t    2 sent , 2 cos t , 0 
r ' ' t    2 cos t ,  2 sent , 0 

r t  


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N t  



 ' ' t 
 ' ' t 



2 cos t ,  2 sent , 0
2 cos t , 
2 cos t ,  2 sent , 0
2 cos t  2 sen t
2
2
 
2
  


2
2 sent

2 cos t ,  2 sent , 0

2
Agora precisamos escrever o vetor normal principal no
ponto dado inicialmente, isto é, precisamos determinar
N(t0).
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Determinando t0:

r t  
x (t ) 

2 cos t ,
2 cos t 
2 sent , 4

ponto
P (1, 1, 4 )
1
2 cos t  1  cos t 
 t 

4
2
y (t ) 
2 sent 
2 sent  1  sent 
1
2
Logo ,
t0 
 t 

4

4
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 
N  
 4 





2.



 
2 cos   , 
 4 

2
2
,
2

2.
,0 

2

2

 


  
2 sen   , 0 
 4  
2

  1,  1, 0 

2

,
,0 

2
2

2
2
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APLICAÇÕES
Componentes tangencial e normal da aceleração
No teorema abaixo veremos que o vetor aceleração
é formado pela soma de dois vetores.
Teorema
Considere uma partícula se movendo com vetor posição
σ(t). Se v(t) = ||σ’(t)||≠ 0 é a velocidade da partícula ,
então o vetor aceleração A(t) é dado pelo modelo
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).T’(t)
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Considerando:
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).T’(t)
N t  
T ' t 
T ' t 
, onde
T ' t   0
Substituindo
Podemos escrever
N t  
T ' t 
T ' t 
 T ' t   N t . T ' t 
Agora temos
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).||T’(t)||.N(t)
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OBSERVAÇÃO SOBRE O TEOREMA
O teorema apresentado mostra através do modelo abaixo
o vetor aceleração A(t) está sempre no plano definido
pelos vetores T(t) e N(t).
A(t) = v’(t).T(t) + v(t).||T’(t)||.N(t)
T(t) é chamado de componente tangencial da aceleração
Notação: A T
N(t) é chamado de componente normal da aceleração
Notação: A N
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EXEMPLO 1
Uma partícula se move ao longo da involuta de equações
paramétricas
x t   cos t  tsent
y t   sent  t cos t ,
t  0
Vamos determinar as componentes
tangencial e normal da aceleração.
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Vamos recordar algumas definições da aula 2.


Vetor velocidade → V  t    '  t 
Velocidade escalar → v(t) = ||σ’(t)|| = ||V(t)||



Vetor aceleração → a  t    ''  t   V '  t 
 t    cos t  tsent , sent  t cos t 


Vetor velocidade → V  t    '  t   (t cos t , tsent )
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Vetor aceleração



a  t    ''  t   V '  t    tsent  cos t , t cos t  sent 
Velocidade escalar → v(t) = ||σ’(t)|| = ||V(t)||


2
v (t )  V  t    '  t  
v (t ) 
2
2
2
t c o s t   t se n t 
2

2
t cos t  t sen t  t
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Componente Tangencial
AT
 t   v '(t)
v (t )  t  v '(t )  1  AT  t   1
Componente Normal
AN
t  
AN t  
a t 
2

 AT  t  
2
2
2
  tse n t  c o s t    t c o s t  se n t   1
AN t   t
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EXEMPLO 2
Uma partícula se move ao longo da curva C dada por
 t   e t cos t , e t sent

Determinar:
a) Os vetores velocidade e aceleração;
b) A velocidade escalar;
c) As componentes tangencial e normal da aceleração.
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RESPOSTA
a) Os vetores velocidade e aceleração;


V  t    '  t   (  e sent  e cos t , e cos t  e sent )


t
t

t
t
a  t    ''  t   V '  t     2 e se n t , 2 e c o s t 
t
t
b) A velocidade escalar;


v (t )  V  t    '  t   e
t
2
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c) As componentes tangencial e normal da aceleração.
AT
AN
 t   v '(t ) 
t  
a t 
2 e
2

t
 AT  t  
2
 e
t
2
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CURVATURA
Definição
A curvatura de uma curva é a taxa de variação de sua
direção, ou seja, a velocidade com que a tangente à curva
muda de direção por unidade de comprimento.
k 
dT
ds
A expressão acima nos diz que a curvatura é a taxa de
variação do vetor tangente unitário em relação ao
comprimento de arco.
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Cálculo da curvatura
k t  
T ' t 
v t 
Exemplo 1
Determine a curvatura da circunferência de raio a e
centro na origem.
A parametrização de tal curva será:
() = ( a cos , a sen ), 0 ≤  ≤ 2
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RESOLUÇÃO
k t  
T ' t 
v t 
() = ( a cos , a sen ), 0 ≤  ≤ 2
’() = (-a sen , a cos )

v ( )  V  

   '   

T ( ) 
 '  

 '  


asen  , a cos 
a
2
2
 a se n    a c o s    a

   sen  , cos 

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k 

T ' 

v  
v ( )  a
T ( )    sen  , cos    T ' ( )    cos  ,  sen 
k 

cos
2
  sen 2
a


1
a
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TEOREMA
Se uma partícula em movimento possui vetor velocidade
V(t), velocidade escalar v(t), vetor aceleração a(t) e
curvatura k(t), então
k t  
V t   a t 
v
3
t 

 ' t    ' ' t 
 ' t 
3
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RAIO DE CURVATURA DA TRAJETÓRIA EM UM DADO
PONTO P
Seja C uma curva e P um ponto em C tal que k(t) existe e
k(t) ≠ 0. O inverso da curvatura (k(t) é o raio de
curvatura.
Vamos chamá-lo de ρ(t) = 1/k(t)
O círculo passando por P de raio ρ(t) e cujo centro está na
semi-reta normal que contém N(t) é chamando de círculo
de curvatura ou círculo osculador. Ele é tangente a C em
P.
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EXEMPLO
Determinar o raio de curvatura da parábola r(t) = (t,t2).
A curvatura da parábola é dada por
k t  

2
1  4t
2

3
Considerando r(t) na origem, t = 0. Assim, o raio de
curvatura é
ρ(t) = 1/k(t) → ρ(0) = 1/k(0) = 1/2
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RESUMINDO
1. Vetor tangente
2. Reta tangente
3. Vetor tangente unitário
4. Normal principal
5. Curvatura
Os Vetores Tangente Unitário, Normal Principal e Curvatura – Aula 3