Prof. Rajane G Weber
C.A. João XXIII - UFJF
Introdução
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A Geometria
espacial (euclidiana) funciona
como uma ampliação da Geometria plana
(euclidiana) e trata dos métodos
apropriados para o estudo de objetos
espaciais assim como a relação entre
esses elementos.
Os objetos primitivos do ponto de vista
espacial, são: pontos, retas, segmentos
de retas, planos, curvas, ângulos e
superfícies.
Tomaremos ponto, reta e plano como
conceitos primitivos, os quais serão
aceitos sem definição.
Um pouco de História
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O estudo da geometria espacial pelos
povos da mesopotâmia (região situada no
Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e
Eufrates) é datada desde,
aproximadamente, dois mil anos antes de
Cristo e todo o conhecimento que temos
hoje se baseiam em documentos de
denominamos papiros.
Dentre os principais podemos citar o
“papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”.
“PAPIRO DE MOSCOU”
“PAPIRO DE RHIND
Fundamentos
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O espaço
É o marco físico que nos rodeia e em que vivemos.
Uma casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo,
não são corpos geométricos, mas estão no espaço.
Os prismas, as pirâmides, o cilindro e a esfera são
corpos geométricos no espaço.
Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de
pontos. Nesse espaço consideram-se três
dimensões: comprimento, altura e largura.
Entes Primitivos –Aceitos sem
definição
•Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
•Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
•Planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Plano α (alfa)
•Espaço: é o conjunto de todos os pontos
que estão no plano e fora dele.
•B
•A
Por exemplo, da figura a seguir,
podemos escrever
Figuras Coplanares e
Colineares
PONTOS
PONTOS
COPLANARES
COLINEARES
Os pontos A,B,C estão
no mesmo plano
Os pontos P e Q estão
sobre a mesma reta
Posições relativas de duas
retas
Se as retas são Coplanares:
Concorrentes
Paralelas Distintas
Ou
Perpendiculares
Posições relativas de duas
retas
Se as retas não são coplanares
Reversas
Ortogonais
Posições relativas de dois
planos
Concorrentes
Coincidentes
Ou
Verificação 1
1)Observando a figura,identifique
que ente geométrico se refere :
F
E
a) A,B,C,D,E,...J
C
B
D
A
H
I
G
J
b) AB, CD, EF,AI,BJ ...
c) ABCD, ABIJ
2) Verifique se as retas são
paralelas,concorrentes ou
reversas:
a)EF e CD
c) BC e BJ
b)EF e AD
d) AB e HG
Pense Bem!!
Verificação 2
Considere a figura e responda com V ou F:
A
B
C
D
H
G
F
E
a) AB//DC
b) DC//HG
c) EF//FG
d) CB e HE são reversas
e) CF e HE são reversas
f) DB e AC são concorrentes
g)AB e EF são coplanares
h) DB e HF são coplanares
i) A e C são colineares
j) H e G são colineares e coplanares
Sólidos Geométricos
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Duas caixas de madeira serão construídas
com as formas e medidas indicadas nas
figuras.
40cm
30cm
30cm
30cm
30cm
50cm
40cm
Em qual delas será usada mais madeira?
Qual delas terá o espaço interno maior?
Problemas como este serão resolvidos com o estudo
dos sólidos geométricos
1- POLIEDROS
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Para saber
mais sobre este
tipo de sólido
geométrico, clique
no sólido ao lado.
VÍDEO SOBRE POLIEDRO 1
POLIEDROS DE PLATÃO
VÍDEOS SOBRE POLIEDROS
QUADRADO ,CUBO & Cia
PRISMAS
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta r
secante a esses planos e uma região poligonal convexa
A1A2A3...An contida em α. Consideremos todos os
segmentos de reta, paralelos a r, de modo que cada um
deles tenha um extremo pertencente à região poligonal e o
outro extremo pertencente a β:
ELEMENTOS DO PRISMA
bases (polígonos);
faces (paralelogramos);
arestas das bases (lados
das bases);
arestas laterais (lados das
faces que não pertencem
às bases);
vértices (pontos de
encontro das arestas);
altura (distância entre os
planos das bases).
TIPOS DE PRISMA
Prisma reto
.As arestas laterais têm o
mesmo comprimento.
.
As arestas laterais são
perpendiculares ao plano
da base.
.
As faces laterais são
retangulares.
TIPOS DE PRISMA
Prisma oblíquo
•As arestas laterais têm
o mesmo comprimento.
•As arestas laterais são
oblíquas ao plano da
base.
•As faces laterais não
são retangulares.
Nomenclatura
São nomeados de acordo com o polígono da
sua base:
Prisma
Base
Triangular
triângulo
Quadrangular
quadrado
Esboço geométrico
Classificação
Pentagonal
pentágono
Hexagonal
hexágono
Prisma Regular
• É um prisma reto cujas bases são
regiões poligonais regulares.
• Exemplo:
• Um prisma triangular regular é um
prisma reto cuja base é um triângulo
equilátero.
Paralelepípedo Reto-Retângulo
Todo prisma reto cujo polígono das bases são
retângulos é chamado de paralelepípedo retoretângulo.
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Medida de uma
diagonal de um
paralelepípedo retoretângulo
Consideramos um
paralelepípedo retoretângulo, que tem as
dimensões,
comprimento, largura e
altura, sejam as
medidas a, b e c. Sejam
d e D as medidas de
uma diagonal da base e
de uma diagonal do
Continuação
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Aplicando o teorema de Pitágoras no
triângulo retângulo A1A8A6 , temos:
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Aplicando o teorema de Pitágoras no
triângulo retângulo A5A8A6, temos:
Finalizado:
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Substituindo (II) em (I), temos: