UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROVA DE CÁLCULO 1
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 29/11/2015
CANDIDATO:
CURSO PRETENDIDO:
OBSERVAÇÕES:
1.
2.
3.
4.
Prova SEM consulta;
A prova PODE ser feita a lápis;
PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;
Duração: 2 HORAS.
Questão 1 (10 pontos).
Avalie:
(3 − x3 )4 − 16
x→1
x3 − 1
lim
a) 0
b) −16
c) −32
d) −∞
e) @
Resposta: c)
Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, apliquemos a Regra de L’Hospital.
4(3 − x3 )3 (−3x2 )
= −32.
x→1
3x2
lim
√
3 x−1
Questão 2 (10 pontos). Dada a função f(x) = e
√
3
a) −1
b) 0
c) e
Resposta: b)
d) −e
√
3 x−1
0
f (x) = e
x+1
2/3
x+1
√
3
e) e
, o valor de f 0 (1) é
2/3
2
1 x − 1 3 (x + 1) − (x − 1)
.
,
.
3 x+1
(x + 1)2
então, f 0 (1) = 0.
Questão 3 (10 pontos). Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva
y3 + y − x = 0, no ponto (0, 0).
a) −1
b) 1
c) 2
d) −2
e) 0
Resposta: b)
Caculando a derivada implı́cita obtemos,
y0 =
1
3y2 + 1
Avaliando em (0, 0), temos:
y0 =
1
= 1.
0+1
Questão 4 (10 pontos). Dada função f(x) = x3/5 (4 − x) no intervalo (1, 2), encontre
o ponto crı́tico e classifique-o em ponto de máximo ou minı́mo local.
a) {2; máx}
b) {−2; min}
c) {−3/2; min}
d) {3/2; máx}
e) {4; máx}
Resposta: d)
Encontrando os pontos crı́ticos da função, isto é, f 0 (x) = 0, a derivada sempre existe em
(1, 2), pois
12 − 8x
f 0 (x) =
x2/5
Assim, obtemos x = 3/2 como ponto crı́tico. Como o denominador de f 0 (x) é sempre
positivo o sinal de f 0 (x) é o mesmo da função 12 − 8x, portanto, f 0 (x) > 0 para 1 < x <
3/2, pois multiplicando por 8 esta desigualdade, obtemos 8 < 8x < 12, então 12−8x > 0 e
f 0 (x) < 0 para 3/2 < x < 2, pois multiplicando também por 8 esta desigualdade obtemos
12 < 8x < 16, então 12 − 8x < 0. Portanto, x = 3/2 é ponto de máximo local.
Questão 5 (10 pontos).
Qual o valor de
Z3
0
a) 2
b) −2
c) 0
d) −16/3
x
√
dx.
x+1
e) 8/3
Resposta: e)
Usando a substituição t = x + 1, temos
Z3
0
x
√
dx =
x+1
Z4
1
t−1
√ dt =
t
Z4 √
1
1
t − √ dt =
t
2
4
2 3/2
8
1/2 t − 2t
= .
3
3
1
Questão 6 (10 pontos).
em x = 2.
Encontre o valor de M para que a função abaixo seja contı́nua
 3
x −8


, se x < 2

x−2
f(x) = M, se x = 2


 2
x − 4x + 16, se x > 2
Resposta:
Basta calcular os limites laterais pela direita e esquerda de 2. Veja que
x3 − 8 = x3 − 23 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)
Assim,
lim−
x→2
x3 − 8
= lim− (x2 − 4x + 16) = 12.
x→2
x−2
e
lim (x2 − 4x + 16) = 12.
x→2+
Portanto, como os limites laterais são iguais a 12, temos que f é contı́nua em x = 2
se, e somente se, M = 12.
Questão 7 (10 pontos).
Considere a função contı́nua em x = −1
 2
 2x + 6x + 4
,
x < −1
f(x) =
x+1

x2 + 1,
x ≥ −1
A função f é derivável em x = −1?
Resposta:
Como f é contı́nua em x = −1, basta verificar as derivadas laterais quando x tende a −1.
lim+
x→−1
f(x) − f(−1)
x2 − 1
= lim+
= lim+ (x − 1) = −2,
x→−1 x + 1
x→−1
x − (−1)
f(x) − f(−1)
lim−
= lim−
x→−1
x→−1
x − (−1)
2x2 +6x+2
x+1
−2
2x2 + 4x + 2
x2 + 2x + 1
=
lim
2
= 2.
= lim−
x→−1
x→−1−
x+1
(x + 1)2
(x + 1)2
Como as derivadas laterais são diferentes, f 0 (−1) não existe.
Questão 8 (10 pontos).
Seja
f(x) = e
3
2
−x
2
.
Estude f com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
Resposta:
A concavidade é dada pelo sinal de f 00 (x). Temos que
f 00 (x) = (x2 − 1)e
2
−x
2
2
−x
Como e 2 > 0 para todo x, o sinal de f 00 (x) é o mesmo que de x2 − 1. Logo, f 00 (x) > 0
para todo x < −1 e todo x > 1, portanto temos concavidade para cima e f 00 (x) < 0
para −1 < x < 1, portanto temos concavidade para baixo neste intervalo. Além disso
como as concavidades mudam em x = −1 e x = 1, estes, são portanto os pontos de
inflexão de f.
Questão 9 (10 pontos). Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito
no semi-cı́rculo x2 + y2 = r2 , y ≥ 0, r > 0.
Resposta:
O retângulo tem dois vértices no semi-cı́rculo e dois no eixo x. Seja (x, y) o vértice no 1o
quadrante. Temos que a área do retângulo é
A = 2xy
Como y =
√
r2 − x2 , logo,
A = 2x
p
r 2 − x2 ,
0 ≤ x ≤ r.
Derivando com respeito a x, obtemos
2(r2 − 2x2 )
A0 = √
,
r2 − x 2
√
A(0) = A(r) = 0 (alternativamente
A0 > 0
que se anula em √
x = r/ 2, pois x ≥ 0. Como
√
√
para 0 < x < r/ 2 e A 0 < 0 para x > r/ 2), temos que x = r/ 2 é ponto de máximo.
Portanto, a área do maior retângulo é dada por esse valor de x, assim,
r
√
r
r2
A(r/ 2) = 2 √
r2 −
= r2 .
2
2
Questão 10 (10 pontos). Determine a área delimitada pelas curvas f(x) = x3 − x e
g(x) = sen(πx), para x ∈ [0, 1].
4
Resposta: No intervalo [0, 1], temos g(x) = sen(πx) ≥ 0 e f(x) = x(x2 − 1) ≤ 0.
Logo, a área é dada por
Z1
Z1
[sen(πx)] dx −
0
0
4
1
3
2 1
cos(πx)
x
x2 = + .
x − x dx = −
−
−
π
4
2
π 4
0
5
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
QUÍMICA – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE
DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 29/11/2015
CANDIDATO: ________________________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: ________________________________________________________
OBSERVAÇÕES:
01 – Prova sem consulta.
02 – Duração: 2 HORAS
1a Questão (10 pontos): Silício é o segundo elemento químico mais abundante da terra,
constituindo 27% da crosta terrestre. Quantos átomos de Si estão presentes em 56 g? Dados:
Massa Atômica (Si) = 28 g/mol; 1 mol = 6,02 x 1023 átomos
a) 2,8 x 1024
b) 28 x 1023
c) 6,02 x 1023
d) 1,2 x 1024
e) 1,2 x 1023
2a Questão (10 pontos): O dicromato de potássio é um dos reagente utilizados na determinação
da demanda química de oxigênio (DQO). Em solução aquosa, íons cromato (CrO4)2- de cor
amarela, coexistem em equilíbrio com íons dicromato (Cr2O7)2-, de cor alaranjada, segundo a
reação:
Para a determinação de (DQO), é mais fácil evidencial visualmente a coloração alaranjada do
íon dicromato. Desta forma, quando a solução está amarelada para facilitar sua visualização
deve-se:
a) adicionar OH-.
b) diminuir o pH.
c) diminuir a pressão.
d) acrescentar mais água.
e) acrescentar um catalisador.
3a Questão (10 pontos): Segundo a teoria de hibridação dos orbitais na molécula do etano, a
ligação C-C é formada pelo emparelhamento dos spins de dois elétrons, um em cada orbital sp3
de um átomo de C. Em relação ao arranjo dos elétrons nos orbitais sp3 pode-se esperar uma
geometria:
a) linear
b) trigonal planar
c) tetraédrica
d) bipirâmide trigonal
e) octaédrica.
4a Questão (10 pontos): Analisado o gráfico abaixo, pode-se afirmar que ele representa:
a) O comportamento da cinética de reação de
composto intermediário
b) O comportamento da cinética de rea ção de
reagente
c) O comportamento da cinética de reação de
catalisador
d) O comportamento da cinética de reação de
produto
e) O comportamento da cinética de reação de
composto inerte
um
um
um
um
um
5a Questão (10 pontos): Em um estudo para testar novos tipos de pilha, um pesquisador
pensou no seguinte sistema: Zn(s)Zn2+(aq)  Cu2+(aq)  Cu(s) E=1,10V. Para este sistema, é
correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
O zinco sofre redução
Os íons cobre sofrem redução
O cobre sofre oxidação
O eletrodo de zinco é o catodo
O eletrodo de cobre é o anodo
6a Questão (10 pontos): Em um dos processos de obtenção de Bário, alumínio fundido e
aquecido com óxido de bário sólido, ocorre reação vigorosa e bário elementar fundido e óxido de
alumínio sólido se formam. Escreva a equação química balanceada para essa reação

2Al (l) + 3 BaO(s) → Al2O3(s) + 3Ba(l)
7a Questão (10 pontos): Um escalador está fazendo os cálculos da quantidade de ar que ele
necessitará quando estiver no topo de uma determinada montanha. Chegou a conclusão que o
volume de ar inicial que deve levar é de 1,0x103 L. Considerando que o cilindro empregado será
cheio até a pressão de 10 atm, à temperatura de 20ºC, e que no topo da montanha a temperatura
é –10ºC, qual será a pressão atmosférica no interior do cilindro, se o volume e a quantidade de
ar forem mantidos constantes até o topo da montanha? Considere o ar comportando-se como
um gás perfeito. Dados: PV=nRT; 0ºC= 273k; R= 8,20574x10-2 L atm K-1mol-1.
P1V1/T1 = P2V2/T2; V1=V2; logo P2= P1T2/T1=10atm.263K/293K; P2=9,0atm
8a Questão (10 pontos): Na análise térmica de um material, verificou-se que a maior perda de
massa ocorreu em temperaturas próximas a 500ºC. O analista interpretou que a reação ocorrida
foi:
C(s,gr) + O2(g) CO2(g).
Analisando a curva de perda de massa ele verificou que essa queima aconteceu em duas etapas:
1) C(s,gr)+ 1/2O2(g) CO(g).
Hº= -110,5 KJ
2) CO(g)+ 1/2O2(g) CO2(g).
Hº= - 283 KJ
Com base nesses dados, qual é a entalpia envolvida na queima total do carbono sólido,grafite?
rHº= -110,5 KJ +(- 283 KJ )= - 393,5 KJ
9a Questão (10 pontos): Com base na teoria de Bronsted-Lowry um ácido é a espécie capaz de
doar próton e a base é a espécie que aceita o próton. O ácido quando doa próton forma uma
base conjugada. E uma base quando aceita próton forma um ácido conjugado. De acordo com
esta teoria, qual é a
a) base conjugada de HPO42-? PO4-3
b) ácido conjugado de OH-? H2O
10a Questão (10 pontos): Em um laboratório de análise, o estagiário encontrou no armário uma
solução de NaOH que não apresentava em seu rótulo a concentração. Para determinar a
concentração em mol L -1 ele pipetou 20,00mL da solução de NaOH, e reagiu com uma solução
de ácido clorídrico 0,1000 mol L-1. Neste experimento foram consumidos 10,00mL de HCl. Qual
é a concentração da solução de NaOH?
M1V1=M2V2
0,1000 mol L-1 x10,00mL= 20,00m X
X= 0,05 mol L-1