Disciplina: Sistemas de Controle 1 - ET76H
Prof. Dr. Ismael Chiamenti
2014/2
Aula 6
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Conceitos básicos de sistemas de controle;
Sistemas em malha aberta e malha fechada;
(Revisão TL) e Simplificação de diagrama de blocos;
Funções de transferência ;
Modelo na forma de variáveis de estado;
Caracterização da resposta de sistemas de
primeira ordem, segunda ordem e ordem superior;
Erro de estado estacionário;
Estabilidade;
Introdução a controladores PID;
Sintonia de controladores PID;
Método do lugar das raízes;
Projeto PID via método do lugar das raízes;
Resposta em frequência;
Margens de ganho e fase e estabilidade relativa;
Projeto de controlador por avanço e atraso de fase;
Controlabilidade e Observabilidade.
Considerando uma entrada conhecida (ok!), quais os aspectos
significativos das respostas dos sistemas ?
Na aula passada analisamos os aspectos da resposta transitória.
Agora, trataremos das características da resposta estacionária,
particularmente o erro de estado estacionário.
ERRO DE ESTADO ESTACINÁRIO: definido como a diferença entre a
entrada de teste e a saída do sistema, para t → ∞
Entradas de teste
típicas:
Todos os sistemas
que serão analisados
são estáveis. Para
sistemas instáveis
não é possível
determinar o e.e.e.
Exemplo:
Entrada em degrau
Entrada em rampa
Erros de estado estacionário (ou de regime) NÃO são devidos,
principalmente, a:
-Não linearidades (folga em engrenagens, zona morta em motores elétricos);
-Mudanças (aleatórias) no sinal de entrada dos sistemas;
-Desgaste inerente nos sistemas reais;
-Instrumentação.
Será observado que, para um dado sistema, a saída pode ser capaz de seguir
um tipo de entrada, significando erro de estado estacionário zero, enquanto o
mesmo sistema não é capaz de seguir outro tipo de entrada, podendo
apresentar erro de estado estacionário finito e, em alguns casos, infinito.
Considere um sistema com realimentação unitária, representado pelo seguinte
diagrama de blocos:
A função de transferência do sistema considerado pode ser escrita como:
G( s) 
K ( s  z1 )(s  z2 )...(s  zm )
s N ( s  p1 )(s  p2 )...(s  pr )
O sistema pode ser classificado pelo número de integrações contidas na função
de transferência G(s), ou seja, ao valor de N no termo sN, sendo
Tipo 0 para N = 0, Tipo 1 para N = 1, Tipo 2 para N = 2,....
• O tipo do sistema não se refere a ordem do sistema.
• Quanto maior o tipo, melhor a precisão, porém, mais crítica a estabilidade.
1. E.E.E. (erro do estado estacionário) em termos de T(s)
Inicialmente, será estabelecida a forma de determinação do e.e.e. para sistemas
com realimentação unitária. Depois será considerado o caso para
realimentação não unitária.
Considere o sistema representado pelo seguinte diagrama de blocos:
T (s) 
G( s)
1  G( s)
Para escrever o e.e.e. em termos de T(s)...
E ( s )  R( s )  C ( s )
E(s)  R(s)1  T (s)
C (s)  R(s)T (s)
Considerando o Teorema do Valor Final:
e()  lim e(t )  lim sE ( s )
e()  limsR ( s )1  T ( s )
s 0
t 
s 0
Exemplo: Determinar o erro de estado estacionário para a entrada em (a)
degrau e (b) rampa, considerando um sistema modelado pela seguinte função
de transferência:
5
e()  limsR ( s )1  T ( s )
T (s)  2
s 0
s  7 s  10
 1 
5
 
edeg rau ()  lims  1  2
 
s 0
  s  s  7 s  10  
2

  1  s  7 s  5  

 
edeg rau ()  lims   2
s 0

  s  s  7 s  10  

5
edeg rau () 
 0,5
10
 1 
5
 
erampa ()  lims  2 1  2
 
s 0
  s  s  7 s  10  
2

  1  s  7 s  5  

 
erampa ()  lims  2  2
s 0

  s  s  7 s  10  

 1  5 
erampa ()  lim    
s 0 s 10
  
2. E.E.E. em termos de G(s)
Considere o sistema representado pelo seguinte diagrama de blocos:
E ( s )  R( s )  C ( s )
E ( s) 
R( s)
1  G (s)
C (s)  E (s)G(s)
E(s)  R(s)  E(s)G(s)
  R( s ) 

e()  lim s
s 0
  1  G ( s ) 
K p  lim G ( s )  G (0)
s 0
K v  lim sG ( s )
s 0
K a  lim s 2G ( s )
s 0
A partir da informação sobre uma dada constante de erro estacionário, é
possível determinar uma série de informações sobre um dado sistema.
Por exemplo, se um sistema tem como especificação que Kv = 1000, pode-se
concluir que:
1) O sistema é estável;
2) O sistema é do Tipo 1 (somente sistemas deste tipo possuem Kv diferente
de zero e finito.
3) A entrada de teste é do tipo rampa
4) O erro de estado estacionário entre a entrada e a saída do sistema, uma vez
que o e.e.e. é igual ao inverso de Kv.
Exemplo: Determinar o valor de K para que o sistema abaixo tenha um erro de
estado estacionário de 0,08.
1
e(  ) 
 0,08  K v  12,5
Kv
Explique escolha de Kv!
K v  12,5  lim sG ( s )
s 0
12,5  lim s
s 0
K ( s  5)
s( s  6)(s  7)(s  8)
K 5
12,5 
6 78
K  840
Exemplo: Considerando um sistema com realimentação unitária, determinar o
erro de estado estacionário para as entradas 15u(t), 15tu(t) e 15(t^2)u(t).
10( s  20)(s  30)
G( s) 
s( s  25)(s  35)
Sistema é estável, portanto é possível analisar as constantes de e.e.e.
  R( s ) 

e()  lim s
s 0
  1  G ( s ) 
K p  lim G ( s )
s 0
K v  lim sG ( s )
10( s  20)(s  30)

s 0 s ( s  25)(s  35)
K p  lim
s 0
K a  lim s 2G ( s )
s 0
e() 
15
 0,
1 K p
Continuação...
10( s  20)(s  30) 10 20 30

s 0
s( s  25)(s  35)
25 35
K v  6,8571
K v  lim s
10( s  20)(s  30)
K a  lim s
0
s 0
s( s  25)(s  35)
2
15
e() 
 2,1875
Kv
e() 
15

Ka
Considere a seguinte representação por diagrama de blocos de um sistema com
realimentação:
Deslocando G1 para a direita do ponto de soma:
G(s)  G1 (s)G2 (s)
H (s)  H1 (s) / G1 (s)
O seguinte arranjo é organizado para obtenção de uma realimentação unitária:
As duas realimentações agregadas ao sistema original não o alteram, pois em
um realimentação há um acréscimo de 1 enquanto na outra um decréscimo de 1.
Combinando o bloco H(s) em paralela com “-1”:
Simplificando o bloco resultante da etapa anterior com G(s):
Exemplo: Para o sistema representado abaixo, determinar o tipo do sistema, a
constante de erro apropriada e o erro de estado estacionário para uma entrada
em degrau unitário.
Para determinar o tipo do sistema, é necessário organizar o diagrama de blocos
original de tal forma que o diagrama resultante contenha uma realimentação
unitária:
100
G(s)
s ( s  10)
Ge ( s) 
Ge ( s) 
1  G( s) H ( s)  G( s)
 100   1 
100
1 
  ( s  5)   s( s  10)
s
(
s

10
)



Continuação...
Ge ( s) 
100 ( s  5)
s 3  15 s 2  50 s  400
De acordo com a função de transferência de malha aberta do sistema com
realimentação unitária, o sistema é do Tipo 0 e, portanto, Kp diferente de zero
e Kv = Ka = 0.
K p  lim G ( s )
s 0
K p  lim
s 0
100 ( s  5)
s 3  15 s 2  50 s  400
100  5
 1,25
s  0  400
K p  lim
Para Kp = -1,25, o erro do estado estacionário é determinado por:
1
1
e() 

 4
1  K p 1  1,25
O sinal negativo do e.e.e. indica que a o sinal
de saída é maior que o degrau de entrada.
Considere um sistema descrito no espaço de estados pelas seguintes equações:
x  Ax(t )  Br(t )
y  C x(t )
Aplicando a Transformada de Laplace para a expressão do erro:
E (s)  R(s)  Y (s)
Mas:
Y ( s)  R( s)T ( s) , logo
E(s)  R(s)1  T (s)
Usando a expressão que relaciona o modelo no domínio s com o modelo no
espaço de estados:
T (s)  C(sI  A)1 B  D


e()  limsE ( s)  lim sR ( s) 1  C( sI  A) 1 B
s 0
s 0

A sensibilidade de um sistema, a um dado parâmetro, indica o quanto o
sistema é influenciado por tal parâmetro.
Parâmetros que variam de forma aleatória, por exemplo em função da
temperatura, ou umidade, ou interferência eletromagnética, devem ter sua
influência sobre o sistema minimizada.
Exemplo) Considere a função F dependente dos parâmetros K e a:
F ( K , a) 
K
( K  a)
Para K = 10 e a = 100, logo F = 0,091.
A qual parâmetro F é mais sensível, K ou a?
Continuação...
Se a = 300, então F = 0,032. Logo, uma variação de 200% de a produz uma
variação de -65% em F.
Se K = 30, então F = 0,2308. Logo, uma variação de 200% de K produz uma
variação de 154% em F.
Portanto, F é mais sensível a variações do parâmetro K do que a variações do
parâmetro a.
De forma padronizada, a sensibilidade pode ser calculada por:
F
F  lim PF
P 0 P
P 0 FP
P
S F :P  lim
F: função do sistema e P parâmetro do sistema.
S F:P 
P  F 


F  P 
Exemplo) Calcule a sensibilidade do seguinte sistema em relação ao
parâmetro a.
S F:P 
ST :a
P  F 


F  P 

a s 2  as  K

K
ST:a 
 
a  T 


T  a 

2
2
 s  as  K 

 sK

K
K
s(s  a)
T
 2
K
s  as  K
1
s(s  a)
ST :a  
as
s 2  as  K
A expressão resultante mostra que, para um dado valor de s considerado, a
sensibilidade do sistema ao parâmetro a pode ser reduzida com o aumento de K.