Números reais. Inequações
Resolução de exercícios e problemas
Matemática 9.º ano
Números reais
1
Observa a figura e determina as abcissas dos pontos 𝐶 e
𝐷, sabendo que a semicircunferência verde tem centro em 𝐶
e passa na origem.
Para facilitar vamos chamar
𝑂, 𝐴 e 𝐵 a alguns dos
pontos da figura.
𝐴
𝑂
𝐵
Para determinar a abcissa de 𝐶,
basta determinar 𝑂𝐶 .
Matemática 9.º ano
Números reais
Sendo o triângulo [𝑂𝐴𝐵] retângulo em 𝐵, podes
determinar 𝑂𝐶 .
𝑂𝐶 2 = 22 + 22
𝑂𝐶 2 = 8
𝑂𝐶 = 8 = 4 × 2 = 4 × 2 = 2 2
A raiz quadrada do
produto é igual ao
produto das raízes
quadradas dos fatores.
Resposta: A abcissa do ponto 𝐶 é 2 2 .
Matemática 9.º ano
𝐴
𝑂
𝐵
Números reais
Para determinar a abcissa de
𝐷, temos de determinar 𝑂𝐷 .
Então
𝑂
𝑂𝐷 = 2 × 𝑂𝐶 = 2 × 2 2 = 4 2
𝑂𝐶 = 2 2
Resposta: A abcissa do ponto 𝐷 é 4 2 .
Matemática 9.º ano
𝐴
𝐵
Números reais
2 Uma pirâmide quadrangular tem 600 dm3 de volume e 9 dm de altura.
Calcula o valor exato, na forma 𝑎 𝑏 , da medida do lado da base.
Quais são os dados?
▪ O volume da pirâmide
▪ A altura da pirâmide.
1
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 = 3 𝐴𝑏 × ℎ
1
𝑽𝒑 = 𝟔𝟎𝟎 e 𝒉 = 𝟗
600 = 3 𝐴𝑏 × 9
Como a base é quadrangular vem 𝐴𝑏 = 𝑙2, onde 𝑙 representa o comprimento do
lado do quadrado.
Assim,
1
600 = 3 𝐴𝑏 × 9
1
600 = 𝑙2 × 9
3
Matemática 9.º ano
Para determinar o valor de 𝑙 basta
resolvermos esta equação de 2.º grau
Números reais
1
600 = 𝑙2 × 9
3
Falta escrever
Então,
600 = 3𝑙2
600
= 𝑙2
3
𝑙2 = 200
200 na forma 𝑎 𝑏 :
Isolar a incógnita
num dos membros
𝑙 = ± 200
𝑙 = 200
200 = 100 × 2 =
A raiz quadrada do
produto é igual ao
produto das raízes
quadradas dos fatores.
Se 𝑎 ≥ 0 , 𝑎2 = 𝑎
=
102 × 2 =
102 × 2
= 10 2
Como estamos a falar de
um comprimento, só nos
interessa a solução positiva
Resposta: O valor exato da medida do
lado da base é 10 2 , em dm.
Matemática 9.º ano
Inequações
3 Averigua se os números -2 , -1 e 0 são soluções
da inequação seguinte, sem a resolveres:
7(𝑥 − 1)
+ 1 < −6
2
-2 é solução da inequação?
𝑥 −1)
7(−2
+ 1 < −6
2
7(−3)
+ 1 < −6
2
−21
+ 1 < −6
2
− 10,5 + 1 < −6
− 9,5 < −6
Matemática 9.º ano
Começamos por substituir a
variável 𝑥 pelo número -2
Desigualdade verdadeira, logo -2 é solução
da inequação
Recorda
Para averiguares se um número é
solução de uma inequação, sem a
resolveres, basta substituíres o
valor de 𝑥 por esse número e
verificares se obténs uma
desigualdade verdadeira.
Inequações
Agora, repetindo o mesmo processo, verifica se -1 e 0 são soluções
da inequação dada.
Resposta: -1 e 0 não são soluções da inequação.
7( −1 − 1)
+ 1 < −6
2
7(−2)
+ 1 < −6
2
−14
+ 1 < −6
2
− 7 + 1 < −6
− 6 < −6
Matemática 9.º ano
Desigualdade falsa
7( 0 − 1)
+ 1 < −6
2
7(−1)
+ 1 < −6
2
−7
+ 1 < −6
2
− 3,5 + 1 < −6
− 2,5 < −6
Desigualdade falsa
Inequações
3 O Rui pensou num número natural e chamou-lhe 𝑛 .
Ele reparou que a soma do triplo do número com quatro é maior do que a
diferença entre o sêxtuplo do número e nove.
Escreve todos os números possíveis em que o Rui pode ter pensado.
Devemos começar por traduzir o problema para linguagem
matemática e, por isso, devemos ler o enunciado por partes.
• a soma do triplo do número com quatro
3𝑛
?
triplo do número
Matemática 9.º ano
+
soma
4?
quatro
Inequações
• a diferença entre o sêxtuplo do número e nove
6𝑛
?
−
sêxtuplo do número
diferença
9?
nove
• a soma do triplo do número com quatro, é maior do que a
diferença entre o sêxtuplo do número e nove
maior
3𝑛 + 4
“a soma entre o triplo do
número e quatro”
Matemática 9.º ano
>
6𝑛 − 9
“a diferença entre o sêxtuplo do
número e nove”
Inequações
Ao escrevermos o problema em linguagem matemática obtivemos uma
inequação e por isso, para sabermos a resposta ao problema, temos de a resolver.
3𝑛 + 4 > 6𝑛 − 9
3𝑛 − 6𝑛 > −9 − 4
Adicionar os termos semelhantes
− 3𝑛 > −13
−13
−3
13
𝑛<
3
𝑛<
Dividir ambos os membros por -3
e inverter o sentido da desigualdade
4
−∞
0
1
2
3
13
≈ 4,33
3
No contexto do problema só interessam os números naturais menores do que
13
Como 3 ≈ 4,33 , sabemos que há 4 soluções para este problema.
13
3
Resposta: Os números em que o Rui pode ter pensado são: 1 , 2 , 3 ou 4 .
Matemática 9.º ano
.