Inequações do Primeiro Grau
Quando comparamos dois números reais a e b , somente uma das três afirmações é verdadeira: a < b ou a = b ou a > b
Se os números a e b forem distintos, então a < b ou a > b e dizemos que a e b são desiguais, isto é, existe entre eles uma desigualdade.
Vejamos alguns exemplos de desigualdades, todas verdadeiras:
4<7
4 é menor que 7
32 é maior que 11
32 > 11
- 12 é menor que 0
- 12 < 0
7/2 é maior que 2/3
7/2 > 2/3
Vejamos agora algumas sentenças abertas representadas por desigualdades:
O dobro de um número é maior que 8
2x > 8
O consecutivo do triplo de um número é menor que menos 14
3x + 1 < - 14
A metade do triplo de um número não é maior que 5
Se o número não é maior que cinco, ele pode ser menor ou igual a cinco
O quádruplo de um número adicionado a sua metade não é menor que 0
Se a expressão não é menor que zero, ela pode ser maior ou igual a zero
A essas sentenças abertas denominamos
Inequação é uma sentença aberta expressa por uma desigualdade entre duas expressões
algébricas.
A letra x em cada uma das desigualdades é denominada incógnita ou variável e cada expressão algébrica são os membros da
inequação. O membro à direita é o 1º membro e a expressão situada à esquerda é o 2º membro da inequação. Todas as quatro
inequações apresentadas são Inequações do primeiro grau, já que o grau da variável x é 1.
Solução de uma Inequação
Consideremos, como exemplo, a inequação
Se a expressão 3x + 7 precisa ser maior que 16
3x precisa ser maior que 9. E dessa forma, x precisa ser maior que 3.
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos naturais ou o conjunto dos números inteiros, x poderá ser qualquer inteiro
maior que 3.
{ 4; 5; 6; 7; ... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números racionais, x poderá ser qualquer racional maior que 3.
{ 3,01; ... 3,012;..., 3,333...;.... 4;... 4, 3; .... }
Se o Conjunto Universo dessa inequação for o conjunto dos números reais, x poderá ser qualquer real maior que 3.
{ 3,01; ... 3,011 ;... 4;... ; ...7, 81; ... }
Sentido de uma Inequação
As inequações: 5x + 7 > 3 e 2 + 5x > 0 têm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de desigualdade.
As inequações: 2x - 7 < - 2 e 4x < 7 têm o mesmo sentido, pois possuem o mesmo sinal de desigualdade.
As inequações: x + 11 > 1 e 1 - 7x < 1 têm sentidos contrários, pois possuem sinais diferentes de desigualdade.
As inequações: 8 - x < - 3x e 6x > 11 têm sentidos contrários, pois possuem sinais diferentes de desigualdade.
Propriedades das Desigualdades
Propriedade I - Uma desigualdade não se altera que quando adicionamos ou subtraímos um mesmo
número a
ambos de seus membros.
Consideremos a desigualdade 7 > 4.
Se adicionarmos 3 unidades a cada membro, teremos : 7 + 3 > 4 + 3
Se diminuirmos 4 unidades de cada membro, teremos : 7 - 4 > 4 - 4
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
10 > 7
3>0
Consideremos a desigualdade - 5 < 2.
Se adicionarmos 1 unidade a cada membro, teremos : - 5 + 1 < 2 + 1
Se diminuirmos 2 unidades de cada membro, teremos : - 5 - 2 < 2 - 2
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
-4<3
-7<0
Propriedade II - Uma desigualdade não se altera que quando multiplicamos ou dividimos ambos de
seus membros
por um mesmo número positivo.
Consideremos a desigualdade 6 > 4.
48 > 32
Se multiplicarmos cada membro por 8, teremos : 6 x 8 > 4 x 8
Se dividirmos cada membro por 2, teremos : 6 : 2 > 4 : 2
3>2
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Consideremos a desigualdade - 8 < 10.
Se multiplicarmos cada membro por 3, teremos : - 8 x 3 < 10 x 3
- 24 < 30
Se dividirmos cada membro por 4, teremos : - 8 : 4 < 10 : 4
- 2 < 2,5
Em ambos os casos as desigualdades mantêm o mesmo sentido.
Propriedade III - Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos ambos de
seus membros
por um mesmo número negativo.
Consideremos a desigualdade 12 > 5.
Se multiplicarmos cada membro por - 7 , teremos : 12 x (- 7) > 5 x (- 7)
- 84 < - 35
- 6 < - 2,5
Se dividirmos cada membro por - 2, teremos : 12 : (- 2) > 5 : (- 2)
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.
Consideremos a desigualdade - 4 < 12.
Se multiplicarmos cada membro por - 2, teremos : - 4 x ( - 2 ) < 12 x ( - 2 )
8 > - 24
Se dividirmos cada membro por - 1 , teremos : - 4 : ( - 1 ) < 10 : ( - 1 )
4 > - 10
Em ambos os casos as desigualdades mudaram de sentido.
Resolução de uma Inequação do Primeiro Grau.
Sistemas de Inequações do Primeiro Grau
Exercícios Propostos - Inequações
Respostas dos Exercícios Propostos