Exercícios de Aprofundamento – Matemática – Equações e Inequações
Modulares e Quadráticas 1
1. (Mackenzie 2013) A função f(x) 
9  x2
a) S  x 
x2  x  2
/ 3  x  2 ou 1  x  3
b) S  x 
/ 3  x  2 ou 1  x  3
c) S  x 
/ 3  x  2 ou 1  x  3
d) S  x 
/ 2  x  1 ou 1  x  3
e) S  x 
/ 2  x  1 ou 1  x  3
tem como domínio o conjunto solução
 2x  3
3

2. (Espm 2013) O número de soluções inteiras do sistema de inequações  2
é igual
 x 2  2x  8

a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3. (Epcar (Afa) 2012) Considere a função real g: A 
tal que g  x  
x2  x
x2  x
.
Sabendo-se que o conjunto A é o mais amplo possível, é verdade que
a)  x  A tal que g  x    1.
b) se h  x    1  g  x  , então h possui raiz real.
c) se 0  x  1, então 1  g  x   0.
d)  x  ,  2 tal que g  x   3.
4. (Fuvest 2012) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade
x2  10x  21  3x  15 .
5. (Unesp 2012) No conjunto
dos números reais, o conjunto solução S da inequação
modular | x |  | x  5 |  6 é
a) S  {x  / 1  x  6}.
b) S  {x  / x  1 ou 2  x  3}.
c) S  {x  / x  1 ou 2  x  3 ou x  6}.
d) S  {x  / x  2 ou x  3}.
e) S  .
6. (Epcar (Afa) 2011) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo, onde a 
.
x 2  a2
 x  a x 
xa
1 1
 e a  0, então x  | x  0 ou x  a
II. se
x a
III. se a  0 e x  a, então x2  a2  0
I.
Tem-se a sequência correta em
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a) F – V – F
b) F – F – V
c) V – F – V
d) F – V – V
7. (Ita 2011) Determine todos os valores de m  tais que a equação (2 – m) x2 + 2mx + m +
2 = 0 tenha duas raízes reais distintas e maiores que zero.
8. (Unesp 2010) Três empresas A, B e C comercializam o mesmo produto e seus lucros diários
(L(x)), em reais, variam de acordo com o número de unidades diárias vendidas (x) segundo as
relações:
10 2 130
580
x 
x
9
9
9
Empresa B: LB  x   10x  20
Empresa A: L A  x  
 120, se x  15
Empresa C: LC  x   
10x  30, se x  15
Determine em que intervalo deve variar o número de unidades diárias vendidas para que o
lucro da empresa B supere os lucros da empresa A e da empresa C.
9. (Ita 2008) Dado o conjunto A = {x ∈ IR;
(3x2  2x)  x 2 }, expresse-o como união de
intervalos da reta real.
10. (Pucsp 2008) Suponha que no século XVI, (n - 23) anos antes do ano n2, Leonardo da
Vinci pintou o famoso quadro Mona Lisa. Se Leonardo nasceu em 1452 e morreu em 1519,
então quantos anos ele tinha ao pintar esse quadro?
a) 59
b) 56
c) 55
d) 53
e) 51
11. (Fatec 2007) Os números reais x e y são tais que:
y = (2 x2 + 5 x - 3)/(1 - 5 x)
Nessas condições, tem-se y < 0 se, e somente se, x satisfizer a condição
a) - 3 < x < - 1/2 ou x > - 1/5
b) - 3 < x < 1/2 ou x > 1/5
c) - 3 < x < 1/5 ou x > 1/2
d) 1/5 < x < 1/2 ou x > 3
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e) x < - 3 ou 1/5 < x < 1/2
12. (Fgv 2007) Um importante conceito usado em economia para analisar o quanto uma
variação do preço unitário p > 0 influencia na variação da receita é o de elasticidade da
demanda, denotado por E(p), uma vez que a elasticidade E é dada em função de p. Se E(p) >
1, então se diz que a demanda é elástica, o que quer dizer que um pequeno aumento do preço
unitário resulta em uma diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço
unitário irá causar um aumento da receita. Admitindo a elasticidade da demanda dada por E(p)
p2  2p  1
=
então, o intervalo de p para o qual a demanda é elástica é
4p  1
a) ] 0 ,
b) ]
1
[ U ] -1 + 2 , +∞ [.
4
1
, 2 [.
8
c) ] 0 , 2 [.
d) ] 0 ,
e) ]
1
[ U ] 2, +∞ [.
4
1
, +∞ [.
4
13. (Fuvest 2007) a) Represente, no sistema de coordenadas a seguir, os gráficos das funções
f(x) =
| 4  x2 | e g  x  
x
 7
2
b) Resolva a inequação
| 4  x2 |
2
.
x
 7
.
14. (Ufscar 2006) A fórmula de conversão da temperatura na escala Fahrenheit (F) para a
temperatura na escala Celsius (C) é C = (5/9) (F - 32).
Dada a temperatura em Fahrenheit, pode-se obter um valor aproximado da temperatura na
escala Celsius (C') através da fórmula prática
C' = (1/2) (F - 32).
Se o erro absoluto E, cometido pela fórmula prática, é dado por E = │C - C'│, pede-se:
a) Determine o intervalo de variação de F para que o erro absoluto seja menor que 50 °
Fahrenheit.
b) Construa o gráfico do erro absoluto E em função da temperatura F, em Fahrenheit.
15. (Ita 2004) Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe um número real
x satisfazendo
1  x2 ≥ a - x.
2
16. (Fgv 2003) O custo diário de produção de um artigo é C= 50 + 2x + 0,1x , onde x é a
quantidade diária produzida. Cada unidade do produto é vendida por R$ 6,50. Entre que
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valores deve variar x para não haver prejuízo?
a) 19 ≤ x ≤ 24
b) 20 ≤ x ≤ 25
c) 21 ≤ x ≤ 26
d) 22 ≤ x ≤ 27
e) 23 ≤ x ≤ 28
17. (Fgv 2002) Quantos números inteiros satisfazem a inequação x2 - 10x < -16?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
18. (Unicamp 1998) a) Encontre todos os valores reais de x para os quais - 1 ≤ [(x2 + 4)/4x] ≤
1.
b) Encontre todos os valores reais de x e y satisfazendo x2 + 4xcosy + 4 = 0.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A variação de temperatura y = f(x) num intervalo de tempo x é dada pela função f(x) = (m2 - 9)x2
+ (m + 3)x + m - 3; calcule "m" de modo que:
19. (Faap 1997) O gráfico da função seja uma parábola com a concavidade voltada para
baixo:
a) -3 ≤ m ≤ 3
b) m > 3 e m < -3
c) -3 ≤ m < 3
d) -3 < m ≤ 3
e) -3 < m < 3
20. (Fuvest 1996) O conjunto das soluções, no conjunto R dos números reais, da inequação [x
/ (x + 1)] > x é:
a) vazio
b) R
c) {x ∈ IR : x < 0}
d) {x ∈ IR : x > -1}
e) {x ∈ IR : x < -1}
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
O domínio da função será a solução da seguinte inequação
9  x2
x2  x  2
 0.
9  x2  0  x  3 ou x  3
de x2  x  2  0  x  2 ou x  1
Estudando o sinal de
9  x2
x2  x  2
, temos:
Resolvendo a inequação, temos:
S  x  / 3  x  2 ou 1  x  3
Resposta da questão 2:
[D]
Temos
 2x  3
3
2x  3


 2
2
(x  1)  9
 x 2  2x  8

3

x  

2
 3  x  1  3
3

x  

2
 4  x  2
3
   x  2.
2
Portanto, como as soluções inteiras do sistema são 1, 0,1 e 2, segue que o resultado pedido
é 4.
Resposta da questão 3:
[C]
a) Falso, pois fazendo
x2  x
 1  x2  x   x2  x  2x2  0  x  0, com 0  A, a
2
x x
afirmação é falsa.
b) Falso, fazendo h(x) = 0 temos 0   1  g  x   g(x)  1 ou g(x)  1. Para g(x)  1, vimos
(no item anterior) que a equação não apresenta solução. Fazendo, agora, g(x) = 1 temos:
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x2  x
 1  x2  x   x2  x  2x  0  x  0, e zero não pertence ao domínio, portanto
2
x x
h(x) não apresenta raízes.
c) Fazendo o estudo de sinal da função temos:
x2  x
x.(x  1)
x 1
lim
 lim
 lim
 1, no intervalo
E calculando o
2
x  0 x  x x  0 x(x  1) x  0 x  1
0  x  1, temos 1  g  x   0.
d) Falso, pois
x2  x
x2  x  3x2  3x
2x2  4x
3
0
0
x2  x
x2  x
x2  x
Portanto para x  2 temos g  x   3.
Resposta da questão 4:
s  x 
/ 1  x  4 ou 6  x  9
Resposta da questão 5:
[C]
Resolvendo a inequação, temos:
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S  {x 
/ x  1 ou 2  x  3 ou x  6}.
Resposta da questão 6:
[D]
I. Falsa, pois x deve ser diferente de a.
II. Verdadeira, pois, para que 1/x < 1/a, o valor de x deve ser maior que a, se x > 0 ou menor
que zero.
III. Verdadeiro, se o módulo de x é menor que a > 0, então o quadrado de x será sempre menor
que o quadrado de a.
Resposta da questão 7:



8.(m2  2)  0
0



2
 (2  m).f(x)  0   4  m  0 


2m
m
x V 

0
0
2.(2  m)
 m2


m  2 ou m  - 2

-2  m  2

 m  0 ou m  2

Resolvendo, temos 2  m   2 .
Resposta da questão 8:
Queremos calcular os valores de x para os quais LB (x)  LA (x) e LB (x)  LC (x), ou seja,
10 2 130
580
e
10x  20 
x 
x
9
9
9
10x  20  120 e x  15
ou

10x  20  10x  30 e x  15
10  x  15
(x  2)(x  20)  0 e
ou

x  15
2  x  20 e x  10  10  x  20.
Portanto, o intervalo pedido é ]10, 20[.
Resposta da questão 9:
A = ] - ∞, - 1[ ⋃ ] - 1, - 2/3] ⋃ ]2, +∞[
Resposta da questão 10:
[D]
1501  n2  n  23  1529  n  39.
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Portanto, a Mona Lisa foi pintada no ano de 392  (39  23)  1505, quando Leonardo da Vinci
tinha 1505  1452  53 anos.
Resposta da questão 11:
[C]
Resposta da questão 12:
[D]
Resposta da questão 13:
a)

b) S = x  IR |  5
2

 x   1 ou 1  x  3
2
Resposta da questão 14:
a) - 459,67° < F < 932°
b) Observe o gráfico a seguir.
Resposta da questão 15:
a≤ 2
Resposta da questão 16:
[B]
Resposta da questão 17:
[C]
Resposta da questão 18:
a) x = 2 ou x = - 2
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b) x = 2 e y = π + h2π, h ∈ Z ou
x = - 2 e y = h2π, h ∈ Z
Resposta da questão 19:
[E]
Resposta da questão 20:
[E]
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