FUNÇÃO
QUADRÁTICA
INEQUAÇAO
Estudo do sinal da função quadrática
1o caso
( > 0)
a > 0
a < 0
2o caso
( = 0)
3o caso
( < 0)
Resumindo:
x’’
x’
m/a
c/a
m/a
macama
x’ = x’’
m/a
m/a
m/a
m/a
mama
mama
Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos
a) Vamos estudar o sinal da função quadrática f(x) = x2 + x – 6.
Primeiro, determinamos os zeros de f: x2 + x – 6 = 0  x = –3 ou x = 2
Em seguida, fazemos um esboço do gráfico da função.
Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade é voltada para cima e a função tem
dois zeros reais distintos, obtemos o seguinte esboço do gráfico:
Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais
valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas.
Concluímos que:
Estudo do sinal da função quadrática
Exemplos
b) Vamos estudar o sinal da função g(x) = –x2 – 2x + 15.
Zeros da função g: –
Como o coeficiente de x2 é negativo, a concavidade é voltada para
baixo, obtemos o seguinte esboço do gráfico:
Agora, observando esse esboço, vamos determinar para quais
valores de x as imagens são positivas, negativas ou nulas. Portanto:
Exercícios
1.
Determinar k real de modo que a função f(x) = x2 – 5x + k seja
positiva para todo x real.
Resolução
Como o coeficiente de x2 é positivo, a concavidade da parábola é voltada para cima.
Para que a função seja positiva para todo x real, o discriminante de f deve ser negativo.
Coeficiente de x2 positivo e  < 0
Assim, como  < 0:
x
(–5)² – 4 ∙ 1 ∙ k = 25 – 4k
Como  < 0, então: 25 – 4k < 0
Logo:
Inequações do 2o grau
Inequação do 2o grau na incógnita x é toda inequação que pode ser
reduzida a uma desigualdade em que o primeiro membro é um
polinômio do tipo ax2 + bx +c (com a ≠ 0) e o segundo membro é zero.
Exemplos
a) 3x² – 8x – 3 ≥ 0
c) 5x² – 2 < 0
b) –x² + 0,5x ≤ 0
d) –4x² + x +
>0
Inequações do 2o grau
Vamos resolver a inequação 3x² – 8x – 3 ≥ 0 no conjunto dos números
reais.
Para encontrar a solução, devemos estudar o sinal da função f:
Primeiro, determinamos os zeros de f: 3x2 – 8x – 3 = 0
3x² – 8x – 3 ≥ 0
f(x)
 = 64 + 36 = 100
Depois destacamos no esboço do gráfico os valores de x para os quais a função f é positiva
ou nula.
Assim, o conjunto solução da inequação é:
S=
Inequação produto ou quociente
Exemplo: Vamos resolver a inequação quociente
Sinal de f
 f(x) = x – 5 (zero de f: 5)
Sinal de g
 g(x) = x² – x – 42 (zeros de g: –6 e 7)
.
Observe que –6 e 7 não são soluções da inequação. A “bolinha” é aberta, pois
são as raízes do denominador. Logo, o conjunto solução da inequação é:
S=
Inequação produto ou quociente
Exemplo: Vamos resolver a inequação produto –x3 – 4x < 0.
14243
 f(x) = x (zero de f: 0)
–x3 – 4x < 0  x(–x2 – 4) < 0
Sinal de f
 g(x) = –x² – 4
(g não tem zeros)
Sinal de g
Logo, o conjunto solução da inequação é:
S=
Exercícios
1. Resolver a inequação
em ℝ.
Resolução
Atente que o quadro de sinais só pode ser usado quando o segundo membro da
inequação-quociente for igual a zero. Então fazemos:
 f(x) = x² – 9
zeros de f: 3 e –3
Sinal de f
 g(x) = 2x + 10
zero de g: –5
Sinal de g
Observe que –5 não é solução da inequação, pois:
2x + 10 ≠ 0  x ≠ –5
Logo, o conjunto solução é:
S=
Inequações simultâneas
Vamos resolver, no conjunto dos números reais, o seguinte sistema de
inequações:
Para começar, reduzimos a 2a inequação a uma forma mais simples:
Assim temos:
f(x)
g(x)
S1 =
 Zeros de f: –4 e 2
 Zeros de g: 1 e 2
Sinal de f
Sinal de g
S2=
A seguir fazemos a intersecção das soluções de cada uma das inequações:
Logo, o conjunto solução do sistema é: S =
Exercícios
2. Resolver, em ℝ, a inequação 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4.
Resolução
Inicialmente reduzimos as inequações a uma forma mais simples:
(I) 4x2 – 7x + 2 ≤ 2x2 – 3x + 2
2x2 – 4x ≤ 0
f(x)
 f(x) = 2x2 – 4x zeros
de f: 0 e 2
Sinal de f
(II) 2x2 – 3x + 2 < –3x + 4
2x2 – 2 < 0
g(x)
Logo S =
 g(x) = 2x2 – 2 zeros
de g: –1 e 1
Sinal de g
Determinação do domínio de uma função
Exemplo
Vamos determinar o domínio da função dada pela lei
f(x)
Em
Primeiro, vamos resolver a inequação-quociente:
, devemos ter:
h(x)
 f(x) = x² – 2x + 1
zero real duplo de f: x = 1
Sinal de f
 h(x) = 2x – 7
zero de h: x =
Sinal de h
Logo, D =