Apostila Preparatória – Ministério da Fazenda – Cargo: Assistente Técnico-Administrativo - 2014
Variância e desvio padrão
Até então estudamos medidas de tendências
centrais (média, moda e mediana). Agora
apresentamos duas medidas de dispersão. Elas
fornecem informações de como os valores de uma
variável estão dispersos em uma distribuição.
Seja
uma variável quantitativa qualquer e
, , … , seus valores. Então a variância amostral
dos valores de é o número dado por
̅
̅
⋯
̅
1
Lembrando que ̅ denota a média aritmética de
todos os valores de .
O desvio padrão amostral, geralmente denotado por
, é simplesmente a raiz quadrada da variância, ou
seja,
Atenção! Acabamos de definir a variância amostral e
o desvio padrão amostral. Existem também a
variância populacional e o desvio padrão
populacional. Neste caso a variância é denotada por
e os cálculos são feito da seguinte maneira:
̅
̅
⋯
A variância dessa amostra é
a)
b)
c)
d)
e)
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
Comentário:
Comecemos observando que os dados fornecidos
são de uma amostra e não da população inteira.
Sendo assim, o que o problema pede é a variância
amostral. Para calculá-la precisamos da média:
5 8 6 6 4 7 36
̅
6
6
6
Assim,
5
6
8
6
6
1
1
̅
6
2
4
4
5
6 6
1
0
2
5
1 10
2
5
6
0
4
6
7
6
1
Ou seja,
2,00
Note que a única diferença está no denominador
que foi trocado por . Este segundo tipo é aplicado
no caso em que se tem todos os dados da população
e o primeiro tipo quando se tem apenas uma
amostra dos dados.
Questões de concurso comentadas
1. (CESGRANRIO/BNDES/Técnico administrativo/
2010) Em uma pesquisa de preços de determinado
produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma
amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos
que o comercializam.
Gabarito: C
2. (ESAF/RF/Analista-Tributário/2009) Obtenha o
valor mais próximo da variância amostral da
seguinte distribuição de frequências, onde
representa o i-ésimo valor observado e
a
respectiva frequência.
56789
26643
a
b
c
d
e
1,429
1,225
1,5
1,39
1,4
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Portanto, a variância é
Comentário:
Sabemos que existem dois tipos de variância, a
saber, variância amostral e variância populacional.
Mas, nesta questão está bem claro que devemos
calcular a variância amostral, aquela que denotamos
por e é dada pela fórmula
̅
̅
⋯
Lembrando que
representa cada valor da
amostra, ̅ denota a média de todos os valores
(considerando suas frequências) e é o número de
valores (contando inclusive os que se repetem por
causa da frequência). Então, comecemos por
calcular a média.
Perceba que devemos usar média ponderada, visto
que a cada valor está associada uma frequência (que
seria o “peso” de cada valor, conforme explicado no
texto). Assim, a partir dos dados fornecidos
56789
26643
6⋅6 6⋅7 4⋅8 3⋅9
2 6 6 4 3
10 36 42 32 27
21
147
7
21
Pronto! Agora resta substituir na fórmula.
Atenção! No cálculo da variância aparece a parcela
̅ para cada valor da variável. Nesta questão
cada valor aparece mais de uma vez, isto é, cada
valor tem uma frequência. Então, como o valor 5
tem frequência 2, por exemplo, a parcela 5 7
deve aparecer duas vezes na fórmula. O mesmo
raciocínio se estende às outras variáveis e o
resultado é o seguinte
2⋅ 5
7
6⋅ 6
7
2⋅
2⋅4
6⋅ 7 7
21 1
2
6⋅ 1
6⋅1
6⋅0
20
4⋅ 8
3. (ESAF/RF/Auditor-Fiscal/2009) Considere a
seguinte amostra aleatória das idades em anos
completos dos alunos em um curso preparatório.
Com relação a essa amostra, marque a única opção
correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23,
27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26,
30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 28.
a) A média e a mediana das idades são iguais a
27.
b) A moda e a média das idades são iguais a 27.
c) A mediana das idades é 27 e a média é
26,08.
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é
1,074.
e) A moda e a mediana das idades são iguais a
27.
Comentário:
temos
2⋅5
Gabarito: C
̅
1
̅
1,5.
7
3⋅ 9
Perceba que várias idades se repetem. Então, vamos
organizá-las em uma tabela para facilitar o estudo.
Nossa tabela vai conter duas colunas sendo que a
primeira contém os valores (idades) e a segunda
apresenta a frequência absoluta de cada valor.
idade
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
frequência
2
3
4
5
6
4
3
1
1
2
7
6⋅ 0
4⋅ 1
3⋅ 2
20
4 ⋅ 1 3 ⋅ 4 30 3
1,5
20 2
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