UNIVERSIDADE FEDERAL
DE PERNABUCO - UFPE
Disciplina: ELEMENTOS DE
ESTATÍSTICA ET-301
Curso: SECRETARIADO
Professor: WALDEMAR SANTA
CRUZ OLIVEIRA JR
VARIÁVEL ALEATÓRIA
Def. Dado um espaço amostral Ω, definimos como Variável Aleatória
VA qualquer função X que associe a cada elemento em Ω um número
real. Ou seja,
Uma VA X leva cada ω em apenas um número real X(Ω) = x.
Exemplo: Considere uma urna com três bolas vermelhas e duas
brancas. Sorteamos duas bolas sem reposição. Então, o número de
bolas brancas sorteadas é uma VA.
Ω={
X(BB) =
X(VB) =
X(BV) =
X(VV) =
}
Exemplo: Uma aeronave com capacidade para trinta passageiros tem
um custo operacional de R$ 1.500,00 para voar de Recife a Maceió.
A empresa XXX LTDA proprietária desta aeronave opera esta rota.
Sabe-se que se o preço da passagem de Recife a Maceió for R$
120,00, a probabilidade de vender apenas dez passagens é de 5%,
de vender vinte passagens é de 25% e de vender todas as
passagens é de 70%. Então, o lucro é uma variável aleatória que
assume os valores:
Def. Uma VA que assume valores em apenas um conjunto
enumerável da reta é dita ser discreta.
Exemplo: Seja X o número de caras no lançamento de n moedas.
Exemplo: Seja X um número real selecionado no intervalo [0,1]. Aqui
X não é discreta.
Def. Seja X uma VA discreta que assume os valores x1; x2 ; ... ; então,
definimos a função de probabilidade p(xi) ou apenas pi como a
probabilidade de X ser igual a xi. Ou seja,
pi = p(xi) = P(X = xi)
Exemplo: Encontre a função de probabilidade dos exemplos
anteriores.
Como uma VA associa todos os elementos de Ω a um número real,
no caso discreto, temos duas propriedades da função de
probabilidade,
Obs. É comum chamar a função de probabilidade de distribuição de
probabilidade de X:
Exemplo Uma moeda é lançada três vezes. Seja X a VA definida
como o número de caras que aparece nos lançamentos. Determine a
distribuição de probabilidade de X.
Esperança e Variância
Seja X uma VA discreta que assume os valores x1, x2, ...,
definimos a Esperança de X; ou o valor Esperado de X; ou a
Esperança Matemática de X, ou a média de X; ou o valor médio
de X, como.
E a Variância de X como
E o Desvio Padrão de X como a raiz quadrada da variância
Exemplo: Calcule a esperança, a variância e o desvio padrão
nos exemplos anteriores
Def. Dadas uma VA X e uma função h(X) desta VA definimos a
esperança de h(X) como
E de maneira similar definimos a variância de h(X) como
Exemplo: Seja X a VA definida como o número de caras em um
lançamento de duas moedas honestas. Calcule a esperança e a
variância da VA Y=3X+5
Propriedades da Esperança e da Variância
Exemplo: Calcule a variância no exemplo anterior usando esta
fórmula
Função de Distribuição Acumulada F(x): Dada uma VA X
definimos a Função de Distribuição Acumulada F(x) como a
probabilidade da VA X ser menor ou igual a x: Ou seja,
Obs. Também é comum chamar F(x) apenas de função de
distribuição. Não confundir distribuição de probabilidade de X com
função de distribuição de X.
Exemplo: Nos exemplos anteriores construa os gráficos da
distribuição de probabilidade e da função de distribuição da VA X.
Exemplo: Seja X a VA o valor da face voltada para cima no
lançamento de um dado honesto. Construa o gráfico da distribuição
acumulada F(x), determine F(0); F(0,33); F(2); F(2,58); F(7) e calcule
a esperança e a variância de X
Exemplo: Seja X a VA o valor da soma das faces voltadas para cima
no lançamento de dois dados honestos. Construa o gráfico da
distribuição acumulada F(x), determine F(0); F(1); F(2); F(2,58); F(7);
F(8,595) ; F(12,1) e calcule a esperança e a variância de X
Exemplo: O lucro L de determinada empresa é uma VA com a
seguinte distribuição de probabilidade:
Lucro
Probabilidade
R$ 100,00
10%
R$ 150,00
40%
R$ 200,00
30%
R$ 250,00
15%
R$ 300,00
5%
Construa o gráfico da distribuição acumulada do lucro. Determine a
probabilidade: do lucro ser menor que R$ 100,00; menor que R$
250,00; menor ou igual a R$ 250,00; menor que R$ 400,00. Calcule
o lucro médio e a variância do lucro.