FISCAL DO ICMS - SP
ESTATÍSTICA
Módulo 05: Medidas de Dispersão
Prof. Weber Campos
([email protected])
Estatística
MÓDULO 05 - MEDIDAS DE DISPERSÃO
1. Conceito:
Dispersão é a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável, em torno de um
valor de tendência central tomado como ponto de comparação.
Para qualificar os valores de uma variável, mostrando a maior ou menor concentração ou
dispersão entre seus valores e a medida de posição tomada como referência, no caso a média
aritmética, recorre-se às medidas de dispersão ou de variabilidade.
Portanto, a finalidade das medidas de dispersão é verificar a representatividade do grau de
concentração ou dispersão dos dados em torno da média.
2. AMPLITUDE TOTAL: AT
É a diferença entre o maior valor e o menor valor dos dados apresentados.
Ø Exemplo para um conjunto:
Seja o conjunto: X = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ® Teremos que: AT= 9 – 1 ® AT = 8
Ø Exemplo de Dados Tabulados não agrupados em classes:
Seja:
Xi
fi
2
5
4
10
6
15
8
12
10
5
13
3
Total
50
Teremos que: AT = 13 – 2 ®
AT = 11
Ø Exemplo de Dados tabulados agrupados em classes:
Seja:
classes
fi
2 |— 4
3
4 |— 6
5
6 |— 8
7
8 |— 10
4
10 |— 12
1
Total
20
Teremos que: AT = 12 – 2 ®
AT = 10
Obs.: Note que a Amplitude Total também pode ser determinada pela diferença entre o Ponto
Médio da última classe e o Ponto Médio da primeira classe!
Obs.: Essa medida tem aplicações muito limitadas, pois só capta o que acontece com os valores
extremos, sendo completamente insensível aos valores intermediários.
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3. DESVIO MÉDIO: DM
É a média dos valores absolutos dos desvios calculados em relação à média aritmética do
conjunto.
3.1. Para um conjunto:
DM =
å Xi - X
n
Exemplo: Seja X = {1, 3, 5, 7, 9} ® Teremos que: X = 5
Daí:
Xi
Xi – X
| Xi – X |
1
1 – 5 = -4
4
3
3 – 5 = -2
2
5–5=0
5
0
7
2
7–5=2
9
4
9–5=4
Total
12
Logo: DM = 12 / 5
®
DM = 2,4
3.2. Para Dados tabulados não agrupados:
Teremos que:
DM =
å fi. Xi - X
n
Exemplo: Calcule o desvio médio da distribuição:
Xi
2
4
6
8
10
13
Total
fi
5
10
15
12
5
3
50
Acharemos as colunas Xi – X , |Xi – X | e fi.|Xi – X | .
Calculando a média, encontraremos: X =6,5. Logo:
Xi
2
4
6
8
10
13
Total
Daí: DM = 110 / 50 ®
fi
5
10
15
12
5
3
50
Xi – X
2-6,5=-4,5
4-6,5=-2,5
6-6,5=-0,5
8-6,5=1,5
10-6,5=3,5
13-6,5=6,5
|Xi – X |
4,5
2,5
0,5
1,5
3,5
6,5
fi. |Xi – X |
4,5x5=22,5
2,5x10=25
0,5x15=7,5
1,5x12=18
3,5x5=17,5
6,5x3=19,5
110
DM = 2,20
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3.3. Para Dados tabulados agrupados em classes:
Teremos também que:
DM =
å fi. Xi - X
n
A única diferença para o DMA nos dados tabulados não agrupados é que agora a coluna
Xi – X será encontrada pela diferença entre o Ponto Médio de cada classe e a Média Aritmética
da distribuição!
Portanto, devemos aqui encontrar primeiramente a coluna dos Pontos Médios (Xi)!
4. VARIÂNCIA: V ou S2
É a média dos quadrados dos desvios dos elementos tomados em relação à média
aritmética.
Ø Para um conjunto de valores:
Para a População:
å ( Xi - X )
V=
Para a Amostra:
å ( Xi - X )
V=
ou
æ
1ç
V= ç
nç
è
ou
æ
1 ç
V=
n - 1 çç
è
2
n
2
n -1
(å Xi)
-
2
å Xi
2
n
(å Xi)
-
2
å Xi
2
n
Ø Para a Distribuição de Frequências:
Para a População:
å fi × ( Xi - X )
V=
n
å fi × ( Xi - X )
V=
2
ou
ö
÷
÷÷
ø
æ
1ç
V= ç
nç
è
ö
÷
÷÷
ø
(å fiXi)
-
2
å fiXi
2
n
(å
ö
÷
÷÷
ø
)
2
æ
fiXi ö÷
1 ç
2
fiXi ou V =
Para a Amostra:
÷÷
n
n - 1 çç
n -1
ø
è
ü Lembre-se que em uma distribuição de freqüência com classes, os elementos Xi não são
conhecidos, e que estes são representados geralmente pelos pontos médios das classes.
2
å
IMPORTANTE: Na fórmula da Variância aparece o termo (å Xi) para um conjunto de valores e o
termo (å fiXi) para os Dados Tabulados. É importante saber que há uma relação entre os
termos acima e o valor da média aritmética X . Temos as seguintes relações:
- Para o Rol ou Dados Brutos: å Xi = n. X
- Para Dados Tabulados:
å fiXi
= n. X
Deste modo, se forem fornecidos os valores de X e de n, conseqüentemente
teremos o valor do termo que aparece na fórmula da variância.
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Exemplo: Seja X = {1, 3, 5, 7, 9} ® Teremos que: X = 5
Daí:
Xi
(Xi – X )2
Xi – X
1
1 – 5 = -4
16
3
3 – 5 = -2
4
5
5–5=0
0
7
4
7–5=2
9
16
9–5=4
Total
40
Logo: V =
40
5
®
V=8
Exemplo: Calcule a variância a partir da distribuição populacional a seguir:
Xi
2
4
6
8
10
13
Total
fi
5
10
15
12
5
3
50
Acharemos as colunas Xi – X , (Xi – X )2 e fi.( Xi – X )2 .
Calculando a média, encontraremos: X =6,5. Logo:
Xi
2
4
6
8
10
13
Total
Daí: V =
382,50
50
fi
5
10
15
12
5
3
50
®
Xi – X
2-6,5=-4,5
4-6,5=-2,5
6-6,5=-0,5
8-6,5=1,5
10-6,5=3,5
13-6,5=6,5
(Xi – X )2
20,25
6,25
0,25
2,25
12,25
42,25
fi. (Xi – X )2
20,25x5 = 101,25
6,25x10 = 62,5
0,25x15 = 3,75
2,25x12 = 27
12,25x5 = 61,25
42,25x3 = 126,75
382,50
V = 7,65
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Cálculo Simplificado da Variância
Da mesma forma que usamos uma variável transformada no Cálculo Simplificado da Média
Aritmética, também usaremos no Cálculo Simplificado da Variância com a finalidade de facilitar a
obtenção da variância que dependendo dos dados fornecidos na questão pode ser bastante
trabalhosa.
Assim, transformaremos a variável original X em uma outra variável, por meio de uma
operação de subtração e depois de uma divisão. Poderemos simbolizar a nova variável (a variável
transformada) por uma outra letra, Z por exemplo. Ou W, ou Y... fica a seu critério.
Iremos, portanto, no cálculo simplificado da variância construir uma nova coluna, que será
chamada Coluna da Variável Transformada. Vejamos um exemplo:
Classes
fi
29,5 |— 39,5
39,5 |— 49,5
49,5 |— 59,5
59,5 |— 69,5
69,5 |— 79,5
79,5 |— 89,5
89,5 |— 99,5
4
8
14
20
26
18
10
n=100
Xi
(pontos
médios)
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
Zi = Xi – 64,5
10
-3
-2
-1
0
1
2
3
fi .Zi
fi .Zi2
-12
-16
-14
0
+26
+36
+30
+50
36
32
14
0
26
72
90
+270
Ø Os passos deste método são os seguintes (Para distribuições com amplitudes de classes iguais):
1) Construir a coluna da variável transformada (aqui chamada Z), seguindo a sugestão:
i) Subtrairemos os Xi pelo ponto médio de uma das classes da distribuição. A escolha mais
adequada é uma classe central da distribuição. Se a distribuição tiver um número par de
classes, escolha a classe central com maior freqüência. No exemplo acima, escolhemos o PM
da 4ª Classe.
ii) Dividiremos o resultado pela Amplitude da Classe, o “h” (no exemplo: h=10).
IMPORTANTE: Sempre que construirmos a coluna da variável transformada por meio da sugestão
apresentada acima, teremos como resultado uma seqüência de números inteiros, iniciando por
zero na classe escolhida anteriormente e incrementando de +1 para baixo e de -1 para cima. (Veja
a tabela.)
2) Construir a coluna (fi .Zi) e calcular o seu somatório;
3) Construir a coluna (fi .Zi2) e calcular o seu somatório;
4) Encontrar o valor da Variância da Variável Transformada, usando a fórmula da variância:
2
(
fi.Zi ) ö÷
1 æç
å
2
- Para a população: VZ = å fi.Zi .
÷
nç
n
è
ø
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Substituindo os dados, teremos: VZ =
(50) 2 ö
1 æ
çç 270 ÷ = 2,45
100 ÷ø
100 è
5) Cálculo da Variância
A relação entre X e Z é dada por: Z = X – 64,5_ ,
10
e ao isolarmos X, obteremos: X = 10.Z + 64,5 .
Pelas propriedades da variância, sabemos que ao somar ou subtrair uma constante a uma
variável, a variância não se altera, e que ao multiplicar (ou dividir) uma variável por uma
constante, a variância fica multiplicada ou dividida pelo quadrado da constante.
Portanto, como X = 10 × Z + 64,5 , então: VX = (10) 2 × VZ .
Substituindo o valor de VZ = 2,45 , calculado no item 4, obtemos a variância da variável X:
VX = (10)2 . 2,45 = 245 .
Propriedades da Variância:
® A variância de dados constantes é zero;
® A variância utiliza o quadrado dos desvios em relação à média, portanto terá o quadrado
da unidade dos dados, ou seja, m2, kg2, ...
® Quanto a Propriedade da Soma e da Subtração: Somando-se (ou subtraindo-se) a cada
elemento de um conjunto de valores uma constante arbitrária, a variância não se altera.
® Quanto a Propriedade do Produto e da Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada
elemento de um conjunto de valores por um valor constante, arbitrário e diferente de
zero, a variância ficará multiplicada (ou dividida) pelo quadrado desta constante.
Obs.: Veja nos resumos, ao final da apostila, o cálculo simplificado da variância!
5. DESVIO PADRÃO: dp ou S
É a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética, ou
seja, é a raiz quadrada da variância: S = V .
Caso uma questão peça o valor do desvio padrão, primeiramente calcule a variância e em
seguida tire a raiz quadrada.
5.4. Propriedades do Desvio Padrão:
® O desvio padrão de dados constantes é zero;
® O desvio padrão é uma medida que utiliza a mesma unidade dos dados.
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® Quanto a Propriedade da Soma e da Subtração: Somando-se (ou subtraindo-se) a cada
elemento de um conjunto de valores uma constante arbitrária, o desvio padrão não se
altera.
® Quanto a Propriedade do Produto e da Divisão: Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada
elemento de um conjunto de valores por um valor constante, arbitrário e diferente de
zero, o desvio padrão ficará multiplicado (ou dividido) por esta constante.
6. AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA (DESVIO QUARTÍLICO): Dq
É a metade da diferença entre o terceiro quartil (Q3) e o primeiro quartil (Q1).
Ou seja:
Dq =
(Q3 - Q1 )
2
Atenção:
→ O intervalo interquartílico é definido por: [Q1 ; Q3 ]
→ A distância ou amplitude interquartílica é definida como: Q3 - Q1
éQ Q ù
→ O intervalo semi-interquartílico é definido por: ê 1 ; 3 ú
ë2 2 û
→ A distância ou amplitude semi-interquartílica é definida como:
Q3 - Q1
2
7. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: CV (A Dispersão Relativa)
Também conhecido por Coeficiente de Variação de Pearson. É utilizada para fazer
comparação da dispersão de duas séries distintas em torno de suas respectivas médias.
É definida como o quociente entre o Desvio Padrão e a Média Aritmética do conjunto de
dados.
S
Ou seja: CV =
X
Exemplo: Considere que tenhamos duas distribuições. A primeira com média 4 e desvio padrão 1,5
e a outra com média 3 e desvio padrão 1,3. Neste caso temos os seguintes CV's:
1.5
1.3
CV1 =
= 0.375
CV2 =
= 0.43
4
3
logo conclui-se que, como CV2 é maior que CV1 , a segunda distribuição tem uma dispersão relativa
maior que a primeira.
Obs.: Quanto menor for o valor do CV, mais homogêneo será o conjunto de dados. Portanto, no
exemplo acima, a primeira distribuição é mais homogênea do que a segunda.
Obs.: Em geral CV maior ou igual a 50% é considerado alto, sendo a média pouco representativa.
Valores menores que 50% implicam CV baixo e a média é tão mais representativa quanto menor
for o valor do CV.
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8. VARIÂNCIA RELATIVA : VR
A variância relativa também é uma medida de dispersão relativa que é obtida como a razão
entre a variância e o quadrado da média aritmética.
S2
VR = 2
X
A variância relativa pode ser definida como o quadrado do coeficiente de variação, vejamos:
VR = (CV )
2
2
S2
æSö
=ç ÷ = 2
èXø
X
RESUMO DAS PROPRIEDADES DA SOMA, SUBTRAÇÃO, PRODUTO E DIVISÃO:
Se tomarmos todos os elementos de um conjunto e os...
...somarmos ...subtrairmos ...multiplicarmos ...dividirmos por
por uma constante uma constante
a uma
de uma
constante
constante
As medidas:
Média, Mediana,
Moda, Quartil,
Decil e Percentil
estarão:
O Desvio Padrão e
o Desvio Médio
ficarão:
A Variância ficará:
O Coeficiente de
Variação ficará:
Também
somada a
esta
constante
Inalterado
Também
subtraída
desta
constante
Inalterado
Inalterada
Inalterada
alterado
S
(calcular
)
X
alterado
S
(calcular
)
X
Também
multiplicada por
esta constante
Também
dividida por esta
constante
Multiplicado
pelo módulo desta
constante
Dividido pelo
módulo desta
constante
Multiplicada pelo
quadrado desta
constante
Dividida pelo
quadrado desta
constante
Inalterado
Inalterado
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EXERCÍCIOS
01. (AFC-94 ESAF) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra de dez
indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um
deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão
desta amostra é:
3
a)
c) 10
b)
9
d)
30
02. (AFPS-2002/ESAF) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção que dá o valor da
variância. Use o denominador 4 em seus cálculos.
a) 5,5
c) 3,5
e) 16,0
b) 4,5
d) 6,0
03. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de uma
amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A
unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,
10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Os valores seguintes foram calculados para a amostra:
Si Xi = 490 e Si Xi2 – (Si Xi )2/ 50 = 668
Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com
aproximação de uma casa decimal)
a) (9,0 13,6)
c) (8,0 15,0)
e) (9,0 14,0)
b) (9,5 14,0)
d) (8,0 13,6)
04. (SEFAZ/SP APOFP 2009 ESAF) Considerando que as observações apresentadas na questão
anterior constituem uma amostra aleatória simples X1, X2, ..., Xn de uma variável aleatória X,
determine o valor mais próximo da variância amostral, usando um estimador não tendencioso
da variância de X. Considere que:
a) 90,57
b) 96,85
c) 94,45
d) 92,64
e) 98,73
05. (Tec Receita Federal 2005 ESAF) Considere os seguintes conjuntos de observações referentes a
cinco diferentes variáveis:
T: 10; 10; 10; 10; 10; 8
V: 10; 10; 10; 10; 8; 8
X: 10; 10; 10; 8; 8; 8
Y: 10; 10; 8; 8; 8; 8
Z: 10; 8; 8; 8; 8; 8
O conjunto de observações que apresenta a maior variabilidade, medida pelo desvio padrão, é o
referente à variável
a) Y b) T c) V d) X e) Z
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06. (Fiscal de Rendas SP 2006 FCC) Considerando as respectivas definições e propriedades
relacionadas às medidas de posição e de variabilidade, é correto afirmar:
(A) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários dos empregados de uma empresa, temse também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10.
(B) Definindo coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da divisão do desvio padrão
pela respectiva média aritmética (diferente de zero) de uma seqüência de valores, tem-se
então que CV também poderá ser obtido dividindo a correspondente variância pelo quadrado
da média aritmética.
(C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, tem-se que o
respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do desvio padrão dos valores
anteriores.
(D) Dividindo todos os valores de uma seqüência de números estritamente positivos por 4, tem-se
que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2.
(E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana e a moda é
sempre diferente de zero.
07. (ANEEL 2004 ESAF) Em uma pesquisa de opinião para avaliar a percepção de dirigentes quanto
adequabilidade de determinado procedimento administrativo, observaram-se 40 impressões
favoráveis ao procedimento e 60 contrárias. Seja X o atributo com valor 1 para uma impressão
favorável e zero em caso contrário. Assinale a opção que dá a variância dos valores observados
de X. Use o denominador 100 no cálculo da variância.
a) 0,1600
d) 0,2424
b) 0,3600
e) 0,3636
c) 0,2400
08. (ATRFB 2009 ESA) Obtenha o valor mais próximo da variância amostral da seguinte distribuição
de frequências, onde xi representa o i-ésimo valor observado e fi a respectiva frequência.
xi 5 6 7 8 9
fi 2 6 6 4 3
a) 1,429.
b) 1,225.
c) 1,5.
d) 1,39.
e) 1, 4.
09. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto
obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências
seguinte:
Classe de Preços mi fi
[ 5 – 9)
7 3
[ 9 – 13)
11 5
[13 – 17)
15 7
[17 – 21)
19 6
[21 – 25)
23 3
[25 – 29)
27 1
As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de preços i.
Sabendo-se que: Si(fi mi2) – (Si fi mi)2 / 25 » 694
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assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral.
a) (347/12)0.5
d) 28,91
b) 6
e) 8
0.5
c) (345/12)
10. (AFRFB 2009 ESAF) A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de
uma variável X:
X
f'
– 2 6a
1
1a
2
3a
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente:
a) µX = - 0,5 e sX2 = 3,7
b) µX = 0,5 e sX2 = - 3,45
c) µX = - 0,5 e sX2 = 3,45
d) µX = 0 e sX2 = 1
e) µX = 0,5 e sX2 = 3,7
11. Determine a variância amostral de X utilizando a distribuição de frequência a seguir:
Classes
29,5 |— 39,5
39,5 |— 49,5
49,5 |— 59,5
59,5 |— 69,5
69,5 |— 79,5
79,5 |— 89,5
89,5 |— 99,5
fi
4
8
14
20
26
18
10
n=100
12. (AFRF-2002.2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois
grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:
Grupo
Média
Desvio padrão
A
20
4
B
10
3
Assinale a opção correta.
a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta.
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa.
c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A.
d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de
desvios padrão pela diferença de médias.
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos.
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13. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber,
representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o
desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente
de variação amostral de X.
a) 3,0 %
d) 17,3 %
b) 9,3 %
e) 10,0 %
c) 17,0 %
14. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância amostral 2,56.
Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X.
a) 12,9%
d) 31,2%
b) 50,1%
e) 10,0%
c) 7,7%
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
c
c
a
b
d
c
c
c
a
c
GABARITO
11 247,47
12 c
13 b
14 c
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