Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 14
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
Aula 13

Esperança Matemática

Propriedades da Esperança

Variância

Desvio Padrão

Aplicações
Esperança Matemática
Já tínhamos visto que podemos representar graficamente
uma distribuição de probabilidade com

Um gráfico de barras
Um histograma

Para entender o conceito de Esperança matemática ou
valor esperado, partiremos de um exemplo discreto com
um histograma de probabilidade  descobriremos onde
está o Centro dele (CVDOT)  estenderemos o conceito
de média para Esperança matemática ou valor esperado
 generalizaremos para distribuições contínuas
Esperança Matemática
Exemplo
Um estudo consiste na escolha aleatória de 14 recém-nascidos e na
contagem do número de meninas. Se considerarmos que meninos e meninas
são igualmente prováveis, construa a distribuição de probabilidade e calcule
a média
Distribuição
de
probabilidade
X f(x) = P(X=x)
0
0,000
1
0,001
2
0,006
3
0,022
4
0,061
5
0,122
6
0,183
7
0,209
8
0,183
9
0,122
10
0,061
11
0,022
12
0,006
13
0,001
14
0,000
histograma de probabilidade
Esperança Matemática
Onde está a média? Como calculá-la?
Lembrando do cálculo de média em dados agrupados ...
m = 0.0,000 + 0,001.1 + 0,006.2 + 0,022.3 + 0,061.4 + 0,122.5 + 0,183.6 +
+ 0,209.7 + 0,183.8 + 0,122.9 + 0,061.10 + 0,022.11 + 0,006.12 +
+ 0,001.13 + 0,000.14 = 6,993 ≈ 7
Esperança Matemática
m
CVDOT
Esperança Matemática
O que fizemos no exemplo anterior?
Vimos que uma distribuição de probabilidade pode ser
interpretada como uma distribuição de frequência dos
valores do espaço amostral
Imaginemos uma população, onde são possíveis vários
resultados  N resultados possíveis
Podemos fazer:
distribuição de frequência de cada
resultado
Calcular parâmetros  m, s2, s, ...
Esperança Matemática
O que fizemos no exemplo anterior?
Se quisermos calcular a média m a
partir dos dados agrupados
x f
f

μ
  x    x  P(x )
i
N
i
i
i
N
i
i
Onde a frequência relativa do resultado xi da população
é a probabilidade de ocorrência de xi
Esperança Matemática
Então …

As distribuições de probabilidade são modelos teóricos em que as
probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser
interpretadas como limites de freqüências relativas
 Podemos, assim, definir, para as distribuições de probabilidade as
mesmas medidas de tendência central e de dispersão utilizadas nas
distribuições de freqüência
 Assim como definimos a média de uma distribuição de freqüências
como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas
respectivas frequências relativas, define-se a média de uma v.a., ou
de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos
dos diversos valores xi da v.a. pelas respectivas probabilidades f(xi)
Esperança Matemática
Da média à esperança matemática (ou valor esperado)
A média de uma v.a. discreta é o resultado médio teórico
para um no infinito de tentativas.
Podemos considerar a média como o valor esperado no
sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as
tentativas pudessem continuar indefinidamente
Repita o processo de jogar uma moeda cinco vezes, e o no
médio de caras é 2,5. Ao jogar uma moeda 5 vezes, o valor
esperado do no de caras é também 2,5.
Esperança Matemática
Definição

A média de uma v.a. X é também chamada de valor esperado, ou
esperança matemática, ou simplesmente esperança de X

É representada por E(X) e se define como:
E(X)  xi  f(xi )
 Estendendo-se o somatório a todos os possíveis valores de X

E(X) é também chamada média populacional, denotada usualmente
por m
Propriedades da Esperança de uma v.a.

Se a e b são constantes e X é uma v.a., então:
i ) E ( a)  a
ii) E (bX )  bE ( X )
iii) E ( X  a)  E ( X )  a
iv) E (a  bX )  a  bE ( X )
Demonstração
i) E(a)   a  f(xi )  a  f(xi )  a 1  a
ii)E(bX)  bxi  f(xi )  b  xi  f(xi )  b  E(X)
Propriedades da Esperança de uma v.a.
Demonstração
iii)E(X  a)  (xi  a)  f(xi )  [xi  f(xi )  a  f(xi )] 
 xi  f(xi )   a  f(xi )  E(X)  a  f(xi )  E(X)  a 1 
 E(X) a
iv) E (a  bX )  a  bE ( X )
E (a  bX )   (a  bxi ) f ( xi )   [af ( xi )  bxi f ( xi )]
  af ( xi )   bxi f ( xi )  a  f ( xi )  b xi f ( xi )
 a(1)  bE ( X )
 a  bE ( X )
Variância da Variável Aleatória
Introdução

A média é uma medida de posição de uma v.a.

É natural que procuremos uma medida de
dispersão da v.a. em relação à média

Essa medida é a variância
Variância
Definição

Seja a v.a. X com valores numéricos x1, x2, ..., xn e probabilidades
associadas P(x1),P(x2), ..., P(xn) . Definimos como variância de X:
s 2  V ( X )  E ( X  m )2   E ( X 2 )  m 2
 s 2  [ xi2 f ( xi )] m 2
Demonstração
E ( X  m )2   E  X 2  2m X  m 2 
 E ( X 2 )  2m E ( X )  E ( m 2 )
 E ( X 2 )  2m 2  m 2
 E( X 2 )  m 2
Desvio padrão


O desvio padrão (s ) é a raiz quadrada positiva
da variância
O desvio padrão expressa a dispersão na
mesma unidade de medida da v.a.
s s
2
Aplicações
No problema da contagem do número de meninas, ache agora a variância e
o desvio padrão. Use a regra empírica da amplitude (abaixo) para achar os
valores máximos e mínimos usuais
Regra empírica da amplitude  baseia-se no princípio de que, para muitos conjuntos de dados,
a grande maioria (tal como 95%) dos valores amostrais se localiza
95% dos valores
a 2 desvios padrões da média
X f(x) = P(X=x)
0
0,000
1
0,001
2
0,006
3
0,022
4
0,061
5
0,122
6
0,183
7
0,209
8
0,183
9
0,122
10
0,061
11
0,022
12
0,006
13
0,001
14
0,000
Total
x . f(x)
0,000
0,001
0,012
0,066
0,244
0,610
1,098
1,463
1,464
1,098
0,610
0,242
0,072
0,013
0,000
6,993
x2
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
x2 . f(x)
0,000
0,001
0,024
0,198
0,976
3,050
6,588
10,241
11,712
9,882
6,100
2,662
0,864
0,169
0,000
52,467
média-2.s
média
média+2.s
s 2  EX2  m 2  52,467 (6,993)2  3,56491
s  s 2  3,56491  1,9
Valor usual mínimo = m – 2 . s = 7 – 2 .1,9 = 3,2
Valor usual máximo = m + 2 . s = 7 + 2 .1,9 = 10,8
Aplicações
Continuando o problema anterior, se uma empresa diz ter desenvolvido uma
técnica que, supostamente aumenta as chances de um casal ter uma filha.
Em um teste preliminar, foram encontrados 14 casais que desejavam ter
filhas. Após o uso da técnica, 13 deles tiveram uma filha e um teve 1 filho. A
técnica é eficaz ou devemos explicar o fato como resultado aleatório. Em
outras palavras, a técnica é eficaz ou poderíamos obter 13 meninas entre 14
bebês apenas por acaso?
Forma de solução 1:
pela regra empírica, a grande maioria dos valores devem estar entre 3,2 e 10,8.
Então 13 é um valor não usual. A técnica parece eficaz, pois é altamente improvável que,
ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês
Forma de solução 2:
Se a probabilidade de nascer 13 ou mais meninas for muito pequena, este valor é não
usual. Assim P(13 ou mais meninas) = P(13) + P(14) = 0,001 + 0,000 = 0,001.
Então, como a probabilidade é muito baixa, 13 é um valor não usual. A técnica parece
eficaz, pois é altamente improvável que, ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês
Aplicações
Em um jogo, uma aposta direta funciona da forma seguinte: aposte 50
centavos e escolha um número de 3 dígitos entre 000 e 999. Se os seus 3
dígitos coincidem com os 3 sorteados, você recebe R$ 275,00, com um
ganho líquido de R$ 274,50 (porque seus 50 centavos não serão devolvidos).
Suponha que você aposte R$ 0,50 no número 007. Qual o valor esperado de
ganho ou perda?
Solução:
há 2 resultados simples: você ganha ou você perde.
Há 1.000 possibilidades e você escolheu um número (007)
Sua probabilidade de ganhar é 1/1000 = 0,001
Sua probabilidade de perder é 999/1000 = 0,999
Evento
X
f(x)
x.f(x)
Ganha
R$ 274,50
0,001
R$ 0,2745
Perde
- R$ 0,50
0,999
- R$ 0,4995
Total
- R$ 0,225
A longo prazo, para cada 50 centavos
apostados, podemos esperar perder
uma média de 22,5 centavos. Embora
você não possa perder 22,5 centavos
em um jogo individual, o valor
esperado de – 22,5 centavos mostra
que, numa longa sequência de jogos,
a perda média é de 22,5 centavos
Aplicações
 Uma loja de materiais de construção mantém registros de vendas diárias
de furadeiras. O quadro abaixo fornece a quantidade de furadeiras vendidas
em uma semana e a respectiva probabilidade.
Quantidade
0
1
2
f(x)
0,1
0,1
0,2
3
0,4
4
5
0,2
0,1
Se é de R$ 37,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas
de uma semana?
Solução:
Calculemos inicialmente E(X), que é o número esperado de aparelhos vendidos
em uma semana:
E(X) = 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,2) + 5(0,1)
E(X) = 3,0
Para x unidades vendidas, o lucro é 37.x
Logo: O lucro é dado por : R$ 111,00 (= 37.3)
Aplicações
 O número de mensagens enviada por hora por meio de uma rede de
computadores tem a seguinte distribuição:
x = nº de mensagens
f(x)
10
11
12
13
0,08
0,15
0,30
0,20
14
15
0,20
0,07
Determine a média, a variância e o desvio padrão do número de mensagens
enviadas por hora.
m  E( X )
s 2  [ xi2 f ( xi )] m 2
s  s2
m = E(X) = 10(0,08) + 11(0,15) + 12(0,30) + 13(0,20) + 14(0,20) + 15(0,07) = 12,5
s2 = 102(0,08) + 112 (0,15) + 122(0,30) + 132(0,20) + 142(0,20) + 152(0,07) – 12,52
s2 = 1,85
s = (1,85)1/2 = 1,36
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Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues