Capítulo 3
Valor esperado;
dispersão e
correlação
A distribuição de uma V.A. contém toda a
informação sobre esta V.A..
Entretanto, a distribuição pode não ser fácil de
estimar, especialmente se o problema é
multivarado e a dimensão não é baixa
Então, valores numéricos que sumarizem uma
distribuição são de muita utilidade
Esperança em Distribuições Discretas
Se X é uma V.A. com distribuição discreta, a
esperança, ou valor esperado de X é dado por:
E( X ) 
 x f ( x)
todo x
Exemplo: Um concorrente em um programa de TV
tem 4 caixas fechadas com prêmios, 1 está vazia, 2
tem R$ 5000,00 e 1 tem R$ 20000,00. Ele deverá
escolher e abrir um destas caixas. Por quanto o
concorrente deveria aceitar uma oferta da produção
para vender sua caixa?
Seja X uma V.A. com o valor do prêmio, então:
E(X) = 0.25 x 0,00 + 0.50 x 5000,00 + 0.25 x 20000,00 =
= R$ 7500,00
Esperança em Distribuições Contínuas
Se X é uma V.A. com distribuição contínua, a
esperança, o valor esperado de X é dado por:

E( X ) 
 x f ( x) dx

Variância
Var(X) = E[ (X- )2 ];
onde  E(X)
Note que:
A variância mede a dispersão em torno da média 
A variância mede o ‘preço a pagar se
representássemos tos os pontos como sendo
iguais à média 
A variância é o valor esperado de uma V.A.
positiva (X- )2, e portanto var(X) ≥ 0
Covariância
Seja X  n ( X= (x1, x2, ... ,xn ) vetor aleatório,
então define-se a matriz de covariância como:
 = E[ (X- ) (X - )T ]  nxn
Por exemplo, se X 2 teremos:
2



(
x


)
(
x


)(
x


)
1
1
1
1
2
2

E 

2
 ( x   )(x   )

(
x


)
1
2
2
2
2

 1
Podemos definir o coeficiente de correlação ‘’
como:
 ( x1 , x2 ) 
Cov( x1 , x2 )
xx
1
2
 x  E ( x )  x  E ( x ) 
1  2
2 
 E  1

  x

  x


1
2
pode-se mostrar que |  | < 1.
O coeficiente de correlação é uma espécie de
covariância padronizada
Teorema: Sejam X e Y 2 V.A.s com variâncias finitas
e positivas, então:
(x1 , x2 ) = 1  P(x2 = ax1 + b) = 1
para algum a > 0 e b 
(x1 , x2 ) = - 1  P(x2 = ax1 + b) = 1
para algum a < 0 e b 
Então, podemos concluir que o coeficiente de
correlação (X,Y) representa a dependência
linear das V.A.’s X e Y
Diz-se que x1 e x2 :
são positivamente correlatadas se ( x1, x2 ) > 0
são negativamente correlatadas se ( x1, x2 ) < 0
são descorrelatadas se (x1 ,x2 ) = 0
*
*
x
*
*
*
*
*
y
*
*
correlação positiva
x
*
*
*
*
y
*
*
*
correlação negativa
x
* * *
*
* *
*
y
descorrelatado
x
*
*
*
*
* *
descorrelatado
y
X e Y independentes  X e Y descorrelatadas
X e Y descorrelatadas > X e Y independentes