UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Mecânica dos Sólidos
EME302
Prof. Ancelotti
[email protected]
Sala IEM a definir / ramal a definir
ORIENTAÇÕES GERAIS
• Horário de Aula
- Segunda-feira: 16:40h – 19:40h
- Quarta-feira: 13:30h – 15:30h
• Local: sala I2103 (prédio elétrica)
• Provas: 2 (1 por bimestre) + 1 exame
– Datas: Prova 1 (XX/YY) Prova 2 (XX/YY) Exame (XX/YY)
• Trabalhos: 4 listas de exercícios (2 por bimestre)
Para contribuir na nota: 4 exercícios em sala de aula
• Média final: média da provas somado até 10 pontos
(exercícios em sala de aula)
• Atendimento ao aluno: toda quarta-feira pela manhã no IEM
EME 302 PG:2
Orientações Gerais
Bibliografia Principal
• MERIAM,J.L.,KRAIGE L.G. Mecânica - Estática. Quinta
Edição, LTC Editora, 2004.
• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Resistência dos Materiais.
Makron Books, 3a edição, 1995.
• BEER, F. P., JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para
Engenheiros - Estática. Makron Books, 1994.
• HIBBLER, R. C. Mechanics of Materials. Printice Hall, 1997
EME 302 - 3
Objetivo
• Objetivo do Curso:
Fornecer ao aluno os fundamentos teóricos
necessários para se calcular esforços, tensões
e deformações em elementos estruturais do
projeto mecânico.
EME 302 PG:4
Conteúdo Programático
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Sistemas de Forças
Estática dos Corpos Rígidos
Estruturas (Treliças, Pórticos e Máquinas)
Centro de Gravidade Momento Estático
Momentos e Produtos de Inércia
Esforços em Vigas
Conceito de Tensão
1 Prova Bimestral
EME 302 PG:5
Conteúdo Programático
8. Tensões e Deformações para Cargas Axiais
9. Torção
10. Flexão Pura
11. Flexão Simples
12. Tensões Combinadas
13. Análise de Tensões no Estado Plano
2 Prova Bimestral
EME 302 PG:6
Revisão
Unidades Básicas
Massa
Tempo
Comprimento
Temperatura
Sistema Internacional
kg
s
m
C
Sistema Inglês
lb
s
ft
R
Fatores de Conversão
Massa: 1 kg = 2,205 lb
1 kg = 35,27 oz
Comprimento: 1 m = 3,28 ft
1 in = 25,4 mm
1 milha  1,61 km
1 slug= 14,59 kg
1 yd = 0,9144 m
1 ft = 12 in
EME 302 - 7
Revisão
Unidades Derivadas Sistema Internacional
Sistema Inglês
Área
m
2
ft2
Volume
Velocidade
m3
m/s
ft3
ft/s
Densidade
Deformação
kg/m3
m/m
lb/ft3
ft/ft
Força
N (kg m/s2)
lbf
Tensão
Energia
Pa (N/m2)
J (N.m)
(lbf/in2)2)
PSI (lbf/ft
lbf.ft
EME 302 PG:8
Revisão
PREFIXOS
EME 302 PG:9
Revisão
Exemplos:
• Converter 2km/h para m/s e depois para ft/s
EME 302 PG:10
Revisão
• de km/h para m/s:
• de m/s para ft/s:
EME 302 PG:11
Revisão
• Avaliar expressões em unidades SI com prefixo
adequado
EME 302 PG:12
Revisão
= 300 M N2
EME 302 PG:13
Introdução - Conceitos
• Mecânica dos sólidos é essencial para o projeto e análise de
componentes
• Mecânica é dividida em três grandes áreas: mecânica dos
corpos rígidos, dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos
• A mecânica dos corpos rígidos é dividida em duas áreas:
Estática e Dinâmica
• A Estática lida com equilíbrio dos corpos em descanso ou
velocidade constante, ou seja, aceleração nula.
• A Dinâmica lida com a condição de movimento acelerado de
corpos.
EME 302 PG:14
Introdução – Conceitos Estática
Modelos e idealizações
Partícula: corpo que contém
massa, mas seu tamanho
pode
ser
negligenciado
(simplificação)
EME 302 PG:15
Introdução – Conceitos Estática
Corpo rígido: corpo que não deforma sob
efeito de carregamento
Forças concentradas: são forças que atuam
em um ponto de um corpo
EME 302 PG:16
Leis de Newton
• Primeira Lei : uma partícula em descanso, ou
movendo-se a velocidade constante, tende a
permanecer em seu estado (equilíbrio).
EME 302 PG:17
Leis de Newton
• Segunda Lei: uma partícula de massa m onde
uma força F atua, ganha aceleração a que tem
a mesma direção e magnitude proporcional à
força aplicada.
EME 302 PG:18
Leis de Newton
• Terceira Lei : forças mútuas de ação e reação
entre duas partículas são iguais, opostas e
colineares.
EME 302 PG:19
Escalar e Vetor
• Escalar é uma quantidade física (positiva ou
negativa) que pode ser especificada por sua
magnitude. Exemplo: massa, comprimento e
tempo
• Vetor é uma quantidade física que para sua
descrição requer magnitude e direção.
Exemplos na estática: força, posição e
momento
EME 302 PG:20
Vetor: Indicação gráfica
• Um vetor é caracterizado por sua intensidade
(comprimento da linha), direção (ângulo entre
uma referência e a linha de ação) e o sentido
(indicado pela seta).
EME 302 PG:21
Operações com vetores
• Multiplicação e divisão de vetores por escalares
EME 302 PG:22
Operações com vetores
• Adição de Vetores
Regra do Paralelogramo: lei baseada
em evidência experimental, não pode
ser comprovada matematicamente
Regra Paralelogramo: R=A+B
Regra Triângulo: R=A+B
EME 302 PG:23
Operações com vetores
• Subtração de Vetores
EME 302 PG:24
Vetor Adição de Forças
• Determinar Vetor Resultante Força: FR = F1+F2
EME 302 PG:25
Vetor Adição de Forças
• Determinar componentes de um vetor de força
EME 302 PG:26
Vetor Adição de Forças
• Adição de várias forças
EME 302 PG:27
Resolução: Trigonometria
• Trigonometria
Lei Cossenos
Lei Senos
EME 302 PG:28
Exemplo 1
1) Um olhal é submetido à duas forças, F1 e F2.
Determinar a intensidade e direção da força
resultante.
EME 302 PG:29
Exemplo 1
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
EME 302 PG:30
Exemplo 1
• Trigonometria
– Determinar força resultante:
EME 302 PG:31
Exemplo 1
• Trigonometria
– Determinar direção força resultante:
EME 302 PG:32
Exemplo 2
• Determinar a intensidade dos componentes
da força de 600 lb aplicada na estrutura da
figura no eixos u e v.
EME 302 PG:33
Exemplo 2
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
EME 302 PG:34
Exemplo 2
• Determinação da intensidade das componentes
EME 302 PG:35
Exemplo 3
• Determinar a intensidade da componente de
força F e da força resultante FR, considerando
que a FR é direcionada ao longo do eixo y
positivo.
EME 302 PG:36
Exemplo 3
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
EME 302 PG:37
Exemplo 3
• Intensidade componente F:
• Intensidade da resultante FR:
EME 302 PG:38
Exemplo 4
• Na estrutura abaixo é requerido que a
resultante de força seja direcionada ao longo
do eixo x e que F2 tenha intensidade mínima.
Determinar a intensidade, o ângulo , e a
força resultante.
EME 302 PG:39
Exemplo 4
• Resolução Lei paralelogramo/ Triângulo:
OBS: F2 é mínimo quando  é 90
EME 302 PG:40
Exemplo 4
• Trigonometria
EME 302 PG:41
Sistemas Bidimensionais de Força
• Notação Escalar
Utilizando ângulo
Utilizando proporção de lados
EME 302 PG:42
Sistemas Bidimensionais de Força
• Notação vetorial:
Vetores unitários: i e j
EME 302 PG:43
Sistemas Bidimensionais de Força
• Resultante de forças coplanares
Notação vetorial
Notação escalar
EME 302 PG:44
Sistemas Bidimensionais de Força
Decomposição forças
Intensidade vetor resultante
Direção vetor resultante
EME 302 PG:45
Exemplo 1
• A estrutura abaixo é submetida à forças F1 e
F2. Determinar a intensidade e direção da
força resultante utilizando notação escalar e
vetorial.
EME 302 PG:46
Exemplo 1 – Notação escalar
Decomposição de forças
Intensidade vetor resultante
Direção do vetor resultante
EME 302 PG:47
Exemplo 1 – Notação vetorial
Decomposição de forças
Intensidade vetor resultante
Direção do vetor resultante
EME 302 PG:48
Momento de uma força em relação a um ponto
• Formulação escalar:
A intensidade de momento é dada por: Mo= F.d , onde d é distância
perpendicular do eixo no ponto O para linha de ação da força. O momento
é dado em N.m
M= F.d
M= 0
M= F.d.sen
EME 302 PG:49
Momento de uma força em relação a um ponto
• Direção do momento é definido pelo eixo Momento.
A regra da mão direita é utilizada para estabelecer o
sentido (dedos) e direção do momento (polegar).
EME 302 PG:50
Momento de uma força em relação a um ponto
• Momento Resultante
Convenção
Sentido horário (negativo)
Sentido Anti-horário (positivo)
EME 302 PG:51
Exemplo 1
• Determinar o momento da força sobre o
ponto O para cada um dos casos abaixo:
EME 302 PG:52
Exemplo 1
• Resultados:
EME 302 PG:53
Exemplo 2
• Determinar o momento resultante das forças
atuando no ponto O da estrutura abaixo.
EME 302 PG:54
Exemplos
• Resultado:
EME 302 PG:55
Momento de uma força em relação a um ponto
• Formulação Vetorial: magnitude e direção
EME 302 PG:56
Momento de uma força em relação a um ponto
• Formulação Vetorial (Cartesiano)
rx,ry,rz são componentes do vetor
posição r do ponto O a qualquer ponto
da linha de ação da força
Fx,Fy,Fz são componentes do vetor força
EME 302 PG:57
Momento de uma força em relação a um ponto
Mo = Determinante
EME 302 PG:58
Momento de uma força em relação a um ponto
• Momento Resultante de um Sistema de Forças
MRo = r1xF1 + r2xF2 + r3xF3
EME 302 PG:59
Exemplo
• Determinar o momento produzido pela força F sobre
o ponto O. Expressar o resultados em termos de
vetor cartesiano.
EME 302 PG:60
Exemplo 1
• Resolução: Tanto o vetor rA como o vetor rB podem ser
utilizados para determinar o momento no ponto O.
EME 302 PG:61
Exemplo 1
• A força F expressa em vetor cartesiano é dada por:
EME 302 PG:62
Exemplo 1
Assim, Mo fica:
Resolver para vetor rB
EME 302 PG:63
Exemplo 2
• Duas forças atuam na estrutura abaixo.
Determinar o momento resultante na flange
(ponto O). Expressar resultados como vetor
cartesiano.
EME 302 PG:64
Exemplo 2
• Vetores posição
• Momento resultante
EME 302 PG:65
Exemplo 2
Cálculo da direção do momento resultante
EME 302 PG:66
Teorema Varignon
• O momento de uma força sobre um ponto é igual à
soma dos momentos dos componentes da força
sobre o ponto.
Desde que
, fazendo a distributiva:
Para problemas bidimensionais:
EME 302 PG:67
Princípio Transmissão de Força
• Define que a condição de equilíbrio (ou movimento) de um
corpo-rígido permanecerá a mesma, se a força F atuando em
um dado ponto do corpo rígido for substituída por uma força
F’ de mesma intensidade e direção, mas atuando em um
ponto diferente (na mesma linha de ação)
F é equivalente a F’
F
F’
EME 302 PG:68
Princípio Transmissão de Força
• Matematicamente:
A força F pode ser
aplicada a qualquer ponto
de sua linha de ação e o
momento sobre o ponto O
será o mesmo.
EME 302 PG:69
Exemplo
• Determinar o momento da força F sobre o
ponto O.
EME 302 PG:70
Exemplo
• Solução I
Determinar o braço de momento
em relação ao ponto O
Momento em O:
Momento em O, negativo, direção para o quadro
EME 302 PG:71
Exemplo
• Solução II: decompor forças em x e em y
EME 302 PG:72
Exemplo
• Solução III: orientar os eixos x e y de forma a coincidir com
o eixo da barra eliminando o momento em x
EME 302 PG:73
Exemplo
• Determinar o momento da força F sobre o
ponto O (solução escalar e vetorial)
EME 302 PG:74
Exemplo
• Solução I (escalar): decompor a força nas componentes
Fx e Fy.
EME 302 PG:75
Exemplo
• Solução II (vetorial): escrever os vetores força e posição
Resolver: Mo = r x F (determinante matriz)
EME 302 PG:76
Binário e Momento de um Binário
• Duas forças F e –F com mesma intensidade, linha de
ação paralelas, de sentidos opostos e separadas por
uma distância d são chamadas de binários.
A força resultante de um
binário é nula. O binário
gera somente tendência
de rotação.
EME 302 PG:77
Binário e Momento de um Binário
• O momento produzido por um binário é
chamado de momento binário.
M= (rB x F) + (rA x (–F)) = (rB – rA) x F
rB = r A + r
ou
r = rB - rA
Portanto:
Mo = r x F (Vetorial)
EME 302 PG:78
Exemplo
• Determinar o momento binário resultante de
três binários atuando na estrutura da figura
abaixo.
EME 302 PG:79
Exemplo
• Solução:
Por convenção: momento binário no sentido anti-horário positivo.
 F.d = (F1.d1) + (F2.d2) + (F3.d3)
 F.d = (-200lb).(4ft) + (450lb).(3ft) + (-300lb) (5ft)
 F.d = MR = -950 lb.ft (sentido horário)
EME 302 PG:80
Exemplo
• Determinar a intensidade e direção do
momento binário atuando na engrenagem
EME 302 PG:81
Exemplo
• Solução: decompor forças em x e y
EME 302 PG:82
Redução de sistemas de força e momento
• Algumas vezes é conveniente reduzir um sistema de forças e
momentos binários atuando em um corpo substituindo por um
sistema equivalente, de uma força e um conjugado.
Sistema Equivalente
EME 302 PG:83
Exemplo
• Substituir as forças na estrutura abaixo por um
sistema equivalente de força e momento atuando no
ponto O.
EME 302 PG:84
Exemplo
• Solução: decompor as forças de 3 kN e 5 kN nos eixos x e y.
EME 302 PG:85
Exemplo
• Achar a intensidade e direção do vetor força resultante
• Somatória dos momentos:
(MR)o = (3kN)sen30(0,2m) – (3kN) cos30(0,1m) + (3/5)5kN(0,1m) 4kN(0,2m) – (4/5)5kN(0,5m)
(MR)o = -2,46 kN.m (sentido horário)
EME 302 PG:86
Exemplo
• A estrutura abaixo é submetida a um momento M e forças F1
e F2. Substituir esse sistema por um sistema equivalente
resultante de força e momento atuando na base O.
Dica: utilizar notação vetorial
EME 302 PG:87
Exemplo
• Solução: expressar forças e momento na forma de vetor
EME 302 PG:88
Exemplo
• Força resultante:
• Momento Resultante em O
EME 302 PG:89
Momento de uma força sobre um eixo
• Em algumas situações conhecer uma componente do
momento (My) é mais importante do que determinar o
momento total (Mo).
EME 302 PG:90
Momento de uma força sobre um eixo
• Análise escalar:
Para um eixo qualquer (ex: eixo a), o momento é dado por:
Ma= F . da
Exemplo
prático:
para
evitar
tombamento, momento gerado pela
força F deve ser calculado sobre um
eixo que passa pelos pontos A e B do
guindaste.
Eixo AB
EME 302 PG:91
Momento de uma força sobre um eixo
• Análise Vetorial
• uax , uay , uaz representam os componentes
x,y,z de um vetor unitário que define a direção
do eixo a
• rx, ry,rz representam os componentes do
vetor posição que qualquer ponto O do eixo a,
para qualquer ponto da linha de ação da força
•Fx, Fy, Fz representam os componentes x,y,z
do vetor força
EME 302 PG:92