Aula 3
Escalares e Vetores
Física Geral I F -­‐128 2º semestre, 2012
QC1: Vetor vs Escalar
Quais das quantidades abaixo não podem ser
completamente descritas por um escalar?
A.  massa B.  volume C.  área D.  velocidade instantânea E.  velocidade escalar média o Semestre de 2012 F128 – 21o 2 Grandezas Escalares e Vetoriais
Uma grandeza física é um escalar quando pode ser
caracterizada apenas por um número, sem necessidade de
associar-lhe alguma orientação.
Exemplos:
– Massa de uma bola: 0,25 kg
– Tempo para a massa mover-se de uma certa distância
– Temperatura (lida no termômetro)
– Energia de um corpo
– Carga elétrica
Algumas grandezas escalares são sempre positivas (ex:
massa). Outras podem ter os dois sinais (ex: carga elétrica).
F128 – 2o Semestre de 2012 3 Escalar vs. Vetor
•  Algumas grandezas NÃO podem ser descritas por escalares. •  Para a velocidade importa não só o seu valor, por exemplo 2m/s, mas também a direção do movimento. •  Definição: –  QuanVdades descritas por uma magnitude (sempre posiVva) e uma direção e senVdo são chamadas VETORES. F128 – 2o Semestre de 2012 4 Vetores
Uma grandeza vetorial possui não apenas um módulo (ou
intensidade), mas também uma direção e um sentido. Deve, pois, ser
representada por um vetor.
A velocidade é uma grandeza vetorial.
Para especificá-la, não basta dar apenas o seu
módulo, por exemplo, 20 m/s, mas também
sua direção e o sentido do movimento.
Em nosso estudo de Mecânica, veremos outros
exemplos importantes de vetores.
Todos os vetores do conjunto mostrado na figura são iguais; para
especificar o conjunto, basta tomar apenas um elemento do conjunto.
F128 – 2o Semestre de 2012 5 Posição em um mapa
•  Você está no ponto A do mapa.
•  Deve andar na direção nordeste
até o ponto B.
•  O deslocamento é um vetor
representado por (com seta ou
em negrito).

D ou D
•  Cujo módulo é representado por:

D ou | D |
F128 – 2o Semestre de 2012 
D
A *
B *
N ↑
6 Exemplo de vetor: deslocamento num mapa
F128 – 2o Semestre de 2012 7 Soma de dois ou mais vetores
A soma de dois vetores é um vetor: 
  
A
R=A+ B
   
Note que A+ B = B + A (a soma é comutaVva) 
R

B

C

R

R
Soma de mais de dois vetores: Note que:    
S = A+ B+C
      
S =( A+ B )+C = A+( B+C )
F128 – 2o Semestre de 2012 
S

S
8 Subtração de Vetores

A
  

A−B = A + −B
( )

O vetor nulo ( 0 ) tem módulo zero e

−B
não tem direção e senVdo definidos. 
 


B
0 = B + (− B)
−B
MulVplicação por um escalar 
B
F128 – 2o Semestre de 2012 
2B

−0,5B
9 QC2: Soma vetorial
A.  I Qual dos vetores ao lado melhor
representa a soma vetorial de A e B?
B.  II C.  III D.  IV E.  V o Semestre de 2012 F128 – 21o 10 Componentes de um vetor

Um vetor A pode ser decomposto em uma soma da
forma:

A = Ax iˆ + Ay ĵ
onde Ax e Ay são definidos como as
componentes escalares do vetor A e iˆ
e ĵ são os versores (vetores unitários) das direções x e y, respectivamente).
Se representarmos um vetor
por um negrito: A = Ax + Ay
y
ĵ
iˆ
Ay ˆj
Axiˆ
x
Ax e Ay são as componentes vetoriais de A.
F128 – 2o Semestre de 2012
11
Representação polar de um vetor
As componentes A
 x e Ay são as chamadas componentes
cartesianas do vetor A .
Podemos ainda definir um outro conjunto de coordenadas para descrever um vetor no plano: as chamadas

coordenadas polares, dadas pelo módulo do vetor A :
A = Ax2 + Ay2
e pelo seu ângulo polar
y
Ay

A
⎛ Ay ⎞
θ = tg ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ Ax ⎠
−1
Ax = A cos θ
Relações: A = A sen θ
y
F128 – 2o Semestre de 2012 θ
ĵ
iˆ
Ax
x
12 Soma de vetores usando componentes
cartesianas

A = Ax iˆ + Ay ĵ
Se 
y ˆ
B = Bx i + By ĵ,
  
o vetor C = A + B será dado em 
C
By
componentes cartesianas por: 
ˆ + (B iˆ + B j)
ˆ
C = (Axiˆ + Ay j)
x
y
Ay
= (A + B )iˆ + (A + B )jˆ
x
x
y

B

A
y
= C xiˆ +C y jˆ
C x = Ax + Bx
onde: C = A + B
y
y
y
F128 – 2o Semestre de 2012 Ax
Bx
x 13 QC3: Módulo vetorial
Ordene os vetores abaixo, de forma crescente (menor
para o maior), de acordo com seu módulo.
A.  3i+4j B.  4i+4j C.  8i+1j D.  6j E.  7i F128 – 2o Semestre de 2012 14 Produto escalar de dois vetores
Definição:
 
A·B = AB cos(θ)
 
onde θ é o ângulo formado entre as direções de A e B .

Geometricamente,
projeta-se A

na direção de B e multiplica-se
por B (ou vice-versa). Então:
 
A ⋅ B = (A cosθ )B = (B cosθ )A

A
θ
A cosθ

B
B
F128 – 2o Semestre de 2012 15 Propriedades do produto escalar
O produto escalar é
comutativo:
 
 
A·B = B·A
O resultado do produto escalar entre dois vetores é
um escalar.
http://www.falstad.com/dotproduct/
http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/
F128 – 2o Semestre de 2012 16 Produto escalar usando componentes
Devido à distributividade do produto escalar de dois
vetores, podemos escrevê-lo em termos das suas compo
nentes cartesianas:
 
A⋅ B = ( Ax iˆ + Ay ĵ + Az k̂) ⋅( Bx iˆ + By ĵ + Bz k̂) =
= Ax Bx iˆ ⋅ iˆ + Ax By iˆ ⋅ ĵ + Ax Bz iˆ ⋅ k̂ +
+ Ay Bx ĵ ⋅ iˆ + Ay By ĵ ⋅ ĵ + Ay Bz ĵ ⋅ k̂ +
+ Az Bx k̂ ⋅ iˆ + Az By k̂ ⋅ ĵ + Az Bz k̂ ⋅ k̂
Mas como: iˆ ⋅ iˆ = ĵ ⋅ ĵ = k̂ ⋅ k̂ = 1 e iˆ ⋅ ĵ = iˆ ⋅ k̂ = k̂ ⋅ ĵ = 0 ,
teremos:
 
A ⋅ B = Ax Bx + Ay By + Az BZ
F128 – 2o Semestre de 2012 17 QC4: Produto Escalar
Qual dos produtos escalares abaixo é diferente de
zero?
ˆ
ˆ
(5
i
)·(10
j)
A.  ˆ iˆ + 1j)
ˆ
B.  (1
iˆ −1j)·(1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
(1
i
−
2
j)·(2
i
+
1
j)
C.  ˆ
ˆ
ˆ
10
i·(2
i
+
1
j)
D.  ˆ kˆ + 1j)
ˆ
E.  10
i·(2
F128 – 2o Semestre de 2012 18 Produto vetorial de dois vetores


Definição: o produto
vetorial de dois vetores A e B
 
  
representado por A× B , é um vetor C = A × B tal que:

C
i) a direção de é perpendicular
 
ao plano formado por A e B ;

C

B
θ
ii) o seu módulo é igual à área
 
do paralelogramo formado por A e B

A
C = A B sen θ

B
iii) o seu sentido obedece à regra da
mão direita (figura) ou do saca-rolhas.
θ

A

−C
F128 – 2o Semestre de 2012 19 Propriedades do produto vetorial
O produto vetorial não é
comutativo:
 
 
A× B = −B × A
O produto vetorial entre dois vetores é um vetor
perpendicular ao plano formado pelos 2 vetores.
http://www.phy.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html
F128 – 2o Semestre de 2012 20 Produto vetorial usando componentes
O produto vetorial também é distributivo.
Podemos escrevê-lo em termos das suas componentes
cartesianas como:


ˆ
ˆ =
ˆ+ B jˆ + B k)
A × B = (Axiˆ+ Ay jˆ + Azk)×(B
i
x
y
z
ˆ + ...
ˆ + A B (iˆ × k)
A B (iˆ × iˆ) + A B (iˆ × j)
x
x
x
y
x
z
ˆ + ...
ˆ + A B ( jˆ× k)
+Ay Bx ( jˆ× iˆ) + Ay By ( jˆ× j)
y z
ˆ
ˆ + A B (kˆ× k)
+A B (kˆ× iˆ) + A B (kˆ× j)
z
Mas como
x
z
y
z
z
iˆ × iˆ = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0 e
iˆ × ĵ = k̂, k̂ × iˆ = ĵ, ĵ × k̂ = iˆ, teremos:
 
A × B = (Ay Bz − Az By ) iˆ + (Az Bx − Ax Bz ) ĵ + (Ax By − Ay Bx ) k̂
F128 – 2o Semestre de 2012 21 O produto vetorial e o determinante
Outra forma  de se escrever o produto vetorial de dois vetores A e B é através do determinante da matriz ˆ , ˆj e k ˆ e pelas componentes i
formada pelos versores 

cartesianas dos vetores A e B ao longo das suas linhas: iˆ
Ax
Bx
ˆj
Ay
By
kˆ
Az =
Bz
= ( Ay Bz − Az B y ) iˆ + ( Az Bx − Ax Bz ) ˆj + ( Ax B y − Ay Bx ) kˆ
F128 – 2o Semestre de 2012 22 Exemplo 1:
Dados os vetores: calcule:  
a) a + b
 
b) a − b
 
c) a ⋅ b
 
d) a ×b

a = 2iˆ − 2 ĵ + k̂

b = 4 iˆ − 3k̂ ,
6iˆ − 2 jˆ − 2kˆ
−2iˆ − 2 jˆ + 4kˆ
ˆ k)
ˆ =5
ˆ iˆ)− 3(k·
8(i·
ˆ 8( jˆ× iˆ) + 6( jˆ× k)
ˆ + 4(kˆ× iˆ) =
−6(iˆ× k)−
ˆ + 6(iˆ) + 4( j)
ˆ 8(−k)
ˆ =
−6(−j)−


⎛a·b ⎞
ˆ
ˆ
ˆ
6i + 10 j + 8k  θ = Arc cos ⎜⎜ ⎟⎟ =

⎜⎜⎝ a.b ⎟⎟⎠
e) o ângulo formado por a e b . = Arc cos(1 / 3) = 70.5o
F128 – 2o Semestre de 2012 23 Exemplo 2:

Considere o vetor A , tal que A > 1. O vetor unitário que
aponta na direção de A é dado por:

a) | A |
A

b) A
|A|
 
c) | A | A
1
 
d) | A | A
F128 – 2o Semestre de 2012
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